05弯曲应力

Mz dA y
公式
A
内力
应力
1 M Mz
EIz
物理 E
几何 应变
变形
1
y
y
Ey M z y Iz
中性轴——通过 形心，且垂直于
Mz
x
z
外力方向的形心
主惯轴。
—分布图
M zy : Iz
•z轴即中性轴，垂直于外力方
向的形心主轴。
•截 面 有 一 对 称 轴 时 ， 对 称 轴
必为主轴之一，
A
1m C
B 1m
z y2 120 D 1m
Iz=763cm4
M (kNm)
2.5
y1=52mm
x
校核强度
4
C
B
需校核： B：σc、 σt C： σt
例5.5 把直径d=1mm的钢丝绕在直径为2m的卷 筒上，试计算该钢丝中产生的最大应力。设 E=200GPa。
解：
y
E
max
Ed/2100MPa
例5.6 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出 A、B两点间长度的改变为Δl=0.027mm， 材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯 矩M。
的静矩，即A1 对z轴的静矩
F N (2)A 2M IzdM y1 dA M Izd M Sz
dFsyxbdx
F N (2)F N (1)d IM z SzdF syxbdx
xyyxddM xIS zzbF IzSS bz 矩形截面剪
F S——横截面上的剪力。
应力公式
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩。
ctm maaxxyy12 [[ct]] 注意：如何放置
等强度梁的概念:
使各截面σmax=[σ]，变截面梁W(x)
maxW M((xx)) []
W(x)
M(x)
[]
矩形截面 W(x)1b(x)h2(x) F
6
x
悬臂梁: M F x
h
6
z
(h b 2)：h 12cm,b 6cm
( A 72cm2 )
b
工字钢：查表I16
W 185
z
( A 30.756cm2 )
材料要分布在外边缘应力最大处，才能发挥作用 （好钢要用在刀刃上！）
h
z
b
h 1b 2
A115cm2
z
A129cm2
200 F
例5.1：已知： II III
64
2. 开口向上：
拉伸危险点
C t max
MC Iz
y2
47.62M Pa
压缩危险点
B t max
MB Iz
y1
28.43M Pa
C c max
MC Iz
y1
99.96MPa
B c max
MB Iz
y2
13.54M Pa
例5.3：（续）
225 M
3. 开口向下：
(kN . m)
64
拉伸危险点 tmaxC
F N (1 ) A 1 (1 )d AF N (2 )A 2 (2 )d A
yx xy
1
F N 1
2 d F s
这里 A1 ： A2b1 2hy
dx
(1)
M Iz
y1
F N (1 )A 1M Izy1 d A M Iz A 1y1 d A M IzSz
y
A1
z
y1
dA
S*z——在y以外部分的面积对中性轴
F=25.3kN φ85 φ95
[σ]=100MPa 校核强度
危险截面： A
11I0 F
I、II、III
＝WM
MI
950 φ88
W
d3
32
F 115 IV FB
MIV
例5.2：
箱形截面，l=4m， h=0.3m， b=0.2m，
t=0.02m， [σ]=120MPa。试估算合理的
[F] 。
F
解：1. 内力
q
A B
l 8m
C y
y1 y2 z
a2m
例5.3： 解：
1. 内力 从剪力、弯矩图看出，
危险截面C
Mmax=MC=225kN.m 危险截面B
MB=64kN.m 为什么是两个？
q
A B
l 8m
120
FS (kN)
3.75m
225
a2m 64
136
M
(kN . m)
64
225
例5.3：（续）
M
(kN . m)
50mm
M
5mm AB
M
四、 弯曲切应力
1、矩形截面梁（平面弯曲）
平面弯曲条件:(外力平面为主轴平面之一)
1)、中性轴是形心主轴之一;
平面弯曲正应力：
My
Iz
2)、外力垂直于中性轴且在 一个主轴平面内.
决定剪应力分布的原则：（由于变形分 析困难，所以直接使用力学知识推理、 假设然后由实践加以证实）。
分及翼缘板中性轴的静矩）
b0
F
S
S
* z
Iz b0
( F S 的95 － 97%腹板承担)
2)、翼缘板中的剪应力
假设
（1） yx //周边； （2）沿厚度均匀分布（厚度很小）。 （薄壁！平行 F S 的剪应力就是有，也一 定很小，因为自由表面没有 ）。
切应力比较小，一般不做计算。
的方向改变象连通管里的液流一样，
FN(2)
d F s
S*z S*z中，翼缘板的S*z的不变 ， 只有腹板中y在变
FN(2)
Mz dMz Iz
A2 y1dA
dx
FN(1)
dFsdxb0
F N (1)F N (2)dF s d IM z Sz *b0dx
F
S
S
* z
Iz b0
F S ——整个横截面上的剪力；
Iz——整个横截面的Iz ； b0——腹板的厚度； S*z——计算点以外的面积对 中性轴的静矩。（腹板一部
M —变形 F S —变形
同时存在，且弯曲变 形总是为主
1)、假设（儒拉夫斯基）
(1) / / F s (因为 的合力, 是F s .根据剪应力互
等， //周边，F s 平行于截面的两侧边，上下
边缘剪应力可能等于0。 （2）在距中性轴同一高度（y）上， 是 相等的，（因为矩形截面，宽度小，就是 不等，相差也不会太大）。
称之为“剪流”。
FS
FS
FS
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力：
My Iz
最大值在距中 性轴最远处
max
M W
剪应力：
F
S
S
* z
I zb
最大值在 中性轴处
max
k
FS A
2） 危险截面：
对于正应力σ： i） Mmax处， ii）截面突然变化处 iii） 铸铁：正负Mmax处
对于剪应力τ： i） FSmax处， ii）截面突然变化处
对纤维伸长 没影响,公 式仍适用
（2）分布力作用
梁段当 l / h 5,
挤压作用较小，
F s 可以忽略。
（3）集中力局部正应力
h/2 F h
局部应力造成的横截面 应力
1.范围
2.使正弯曲应力减小
纯弯曲公式可以推广用到横力弯曲
1、按正应力进行强度校核
max （纵向纤维处于简单拉压状态）
[] —许用应力
3） 强度条件：
正应力起控制作用，优先考虑：max[]
剪应力一般可满足，校核 max[]
需校核剪应力的情况： i) 短跨度梁或载荷在支座附近。 ii）腹板薄而高的型钢。 iii）复合梁的结合面。
六、 提高弯曲强度的措施
弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素， 提高弯曲强度的方法：降低σ F一定，减小M；M一定，增大Wz
要求：设计截面
2KN
1m 2 KN.m <M—图>
max
Mz max Wz
WM z14 20 0 10 08 143cm3
最小
D
h h
圆形： W0.1D3 143
z
D11.3cm (A100cm2)
z 正方形：W 1 h3 143 6
h 9.5cm ( A 90cm 2)
y
矩形：W 1 bh2 143
A
B
2. 估算载荷
bl
t
I z 2 .1 5 7 1 0 4 m 4 ； W z 1 .4 3 8 1 0 3 m 3
h
max
Mmax Wz
Fl []
Wz
M
F[]Wz 43.13kN
Fl
l
例5.3：槽形截面，q=32kN/m，l=8m，
a=2m， y1=0.1355m，y2=0.06455m， Iz=3.05×10-4m4， [σt]=50MPa， [σc]=160MPa。 试分析合理的截面放置方式。
2）分散载荷：
F/l F
l
l
Fl/4
Fl/8
3）载荷靠近支座：
F 5Fl/36
l/6 5l/6
F
l/2
l Fl/8
Fl/8
设计合理的截面
1）提高W/A 由195页表5.1可查得不同截面的W/A， 从正应力考虑，相同高度，材料远离 中性轴为好。 2）利用材料拉压强度不同的特性 铸铁：[σc]>[σt] 用T形截面
支反力
截面法
外力
平衡
FS
M
M
FS
内力
合成
y z
应力
一、 纯弯曲
使问题“单纯化”，先讨论只有弯矩M，
没有剪力F S 的情况。
F
F
F
FS 图
Fa
•纯弯曲—只有弯矩、
没有剪力的梁段.
•横力弯曲—有弯矩，
又有剪力的情况。
•弯曲—梁的主要变形，
故先讨论“纯弯曲”。
M图
ab cd
o
y
现象观察：
z •ac、 bd直线仍然保
推论：由受拉过渡到受压，中间必然经过 一层，它既不伸长，也不缩短。这层纤维 称之为“中性层”。中性层与横截面的交 线，称为“中性轴。 根据这两条假设和中性层的概念，便不难 用一个简单的指标来描写变形的程度，就 是用中性层的“曲率” 来描写变形。
（变形指标）1 中性层曲率
愈大,变形程度就愈大 愈小,变形程度就愈小
合理安排梁的受力情况 设计合理的截面 等强度梁的概念
合理安排梁的受力情况
1）合理安排支承：
ql2/8
x
MI
MII
M原8 1q2l0.12q52l
x0.2l MI 410 q2l0.02q5 2l MII510 q2l0.0q22l
最佳：x 221l0.20l7M 1IM II38 22q2l0.02q 1 2
•“ ＋ ” 、 “ － ” 号 由 “ 拉 、
压”直接判别。
Mz
+
+
Mz
-
三、 横力弯曲时的正应力
Ey M z y Iz
以上公式是纯弯曲推导
q
的，能否直接用于横力
F
h 弯曲？
分析横力弯曲
l
有剪力、有局部应力， 纤维间有挤压作用。
q
F
l
q h
（1）在无荷重梁段
h （ F S =常数时）
对于圆截面
F
S
S
z
弦长
Iz b
剪应力应与周边相切
AC
B
FS
max
4 3
FS A
Hale Waihona Puke Baidu
2、工字截面梁的剪应力
1)、腹板的剪应力
腹板
b
0
z y
翼缘板
假设 （1） FS //yx （2） 沿腹板厚是均匀分
布的。
F N (1 ) A 1 (1 )d A A 1M Izzy 1d A M Izz A 1y 1 d A
二、 纯弯曲时的正应力
1、
Mz
变
形 内力
几
何
关
系
Mz dA y
A
? 1 变形
几何
应力
=E 应变
对y层（任意一层纤维）
A点——曲率中心
曲率半径
O—O中性层
A
y
2、物理关系
当：
1
一定，即变形一定时,
——按直线规律变化（ =0处，即中性轴）
E y 分布规律已知
Mz
3、静力关系
正应力（法向应力）
max
Mz max Iz
ymax
令 Iz W ymax
截面抗弯系数，它以强度观点体现 了截面的抗弯好坏
max
Mz max W
强度条件
例：求W
y
h
z
b
W
Iz
1 bh3 12
bh2
ymax
h
6
2
y
D
z
W Iz
D4 64
D3
0.1D3
ymax
D 32
2
2．梁的合理截面设计 已知：[]=1400MPa
MC Iz
y1
99.96 MPa
B t max
压缩危险点
MB Iz
y2
13.54 MPa
C c max
MC Iz
y2
47.62MPa
结论：开口向上cma合xB理。MIzB y1 28.43MPa
例5.4：已知：
FA F1=9kN
FB
F2=4kN y1 80
20
[σt]=30MPa [σc]=160MPa
b——横截面宽度。
S*z ——计算点y以外的面积对中性轴的 静矩。
分布规律： FS ,Iz ,b是常量，只有S*z是变量。
Szb12hyh 22yb2h42y2
FS S z Iz b
FS bh3 b
b 2
h2 4
y2
12
6 FS bh3
h2 4
y2
y的二次方程
剪应力 是在纯弯曲正应力公式基础推导的， 故只能是近似的，能否推广到任意横截面 ？ 显然不行！
持直线，各平行线呈
辐射状。
M
ab
•ab缩短， cd伸长，纵
M 线均成圆弧形。
cd
•直角保持直角。
由现象——分析——推理——假设 横截面的平面假设：各横截面变形后，仍然 保持平面，只是相互间转动了一个角度。
纵向纤维简单拉压假设： 纵向纤维互不挤压，处于简单拉压状态。
利用测定纵横变形关系，可以证明
是简单拉压 /
这两条假设最初是比较粗糙的，但多年 实践证明是可靠的。
2)、剪应力公式推导
y
y
M
FS z
yx=xy=
yx
xy
z
xy其中：
x代表所在平面；
FS
xy yx y代表方向
M
q(x)
M FS
M+dM
FS dFS
dx 12
FN 2
yx xy
1
2 d F s
dx
F N 1
b
y
zh
FN 2
第五章 弯曲应力
一、 纯弯曲 二、 纯弯曲时的正应力 三、 横力弯曲时的正应力 四、 弯曲切应力 六、 提高弯曲强度的措施
F1
F2 纵向对称面
轴线
R1
R2
受弯构件，一般有一个纵向对称面。
受力特点：外力都在纵向对称面内。
变形特点：变形后轴线将变为位于平面 内的一条曲线。
对称弯曲：符合上述条件。
载荷