广东教育出版社广东省职业技术教研室版《数学》第一章 方程、集合与不等式

二、集合元素的性质
（1）确定性：任意一个元素和一个集合，它们的 关系只有两种：这个元素要么属于这个集合，要 么不属于这个集合； （2）互异性：一个给定的集合里面的元素是互不 相同的，即集合中的元素是不重复出现的； （3）无序性：集合中的元素是没有顺序的．
2 这两点的外侧，反之，在-2 和 2 两点的外侧的
任意一点到原点的距离都是大于 2 的.因此不等 式 x >2 的解是 x <-2 或 x >2. 如图 1-4 所示 .
| x |>2
-2

0

2
图 1-4
一般地，如果 a 0 ，那么 如图 1－5、1－6.
x a(a o)
x a a x a, x a x a或x a.
例 1 用配方法解方程 x 8x 9 0 解：把常数项移到方程的右边，得
2
x 2 8x 9
两边都加上 4 2 （一次项系数 8 的一半的平方） ，得
x 2 8x 4 2 9 4 2
即： ( x 4) 2 25
x 4 5 开平方， 得 即 x 4 5 ，或 x 4 5 .
把未知数的系数化为 1，得
x 1.
2．随堂练习：第1题
4x 2x 1 3 3．例 2 解方程 2[ ( )] x 3 3 2 4
4x 2x 1 3 解： 2[ ( )] x 3 3 2 4 4x 2x 1 3 2( ) x （去括号） 3 3 2 4 8x 4x 3 1 x 3 3 4 8x 4x 3 x 1 （移项） 3 3 4 32 x 16 x 9 x 12 （去分母） 7 x 12 （合并同类项） 12 x . 7
例3
5．例3 解决导入中提出的实际问题. 解：由题意，距离下午出车的地点为 （+15）+（-2）+（+5）+（-1）+（+10） +（-3）+（-2）+（+12）+（+4）+（-5） +（+6）= 15-2+5-1+10-3-2+12+45+6 = 52-13 = 39（公里）. 所以，小刘将最后一名乘客送到目的地时，距离 下午出车的地点是39公里.
例1
2 4 1 1 1．例 1 已知 a 的倒数是 ，b 的负倒数是 ，c 与 d 互为相反数，求 8a 4b c d 的 3 3 2 2 值.
2．随堂练习：第1题
例2
3. 例2比较a与2a的大小. 解：由于a-2a = - a，所以 当a>0时，- a<0，则 a-2a<0，即a<2a； 当a=0时，- a=0，则 a-2a=0，即a=2a； 当a<0时，- a>0，则 a-2a>0，即a>2a. 4．随堂练习：第3题
3．有限集：含有有限个元素的集合，比如｛我国古 代的四大发明｝． 4．无限集：含有无限个元素的集合．比如｛正方形｝ 5．单元素集：只有一个元素的集合．比如｛1｝． 6．空集：不含任何元素的集合．比如｛内角和大于 180°的三角形｝． 7．点集：由点所组成的集合．比如｛（x，y）︱ y=3x+2．｝ 8．方程（不等式）的解集：满足方程（不等式）的 解的全体． 9．数集：由数组成的集合．比如｛1～20以内的所 有质数｝．
x ( x 0) 以上关系可用式子表示为： x 0 ( x 0) x ( x 0)
2. x < a 、 x > a ( a >0 ) 型的不等式 象式子 x <2， x >1， x 1 ≤2 等都有这样 的特点：在绝对值符号内含有未知数.我们把绝 对值符号内含有未知数的不等式叫做含有绝对 值的不等式.
-a -a

0 图 1-5
0

a
x a
-a
0 图 1—6
a
例1解决开头提出的实际问题.
解：在足球门所在直线上建立数轴，设数轴上的点 对 应 的 实 数 是 x ， 那 么 x 满 足 ： x <3.66 ， 即 -3.66< x <3.66.类似地，若设在足球门两端（对应的数 是-3.66 和 3.66） 以外水平方向的射线上的点对应的实 数是 x ，则 x 应满足： x >3.66,即 x <-3.66 或 x >3.66.
将 ③代入① 得 5x (3x 1) 7 解得
x 1
将 x 1 代入 ③
得 y 3 1 1 2
x 1 所以，原二元一次方程组的解是 y 2
① 2 x 7 y 8 （2） 3x 8 y 10 0 ②
6 x 21y 24 由① ⒊ ② ⒉ 得： 6 x 16 y 20
x <2
在数轴上，凡是到原点的距离小于 2 的点都 集中在-2 到 2 的内部，反之，在-2 和 2 这两点之 间的任意一点到原点的距离都是小于 2 的.因而不 等式 x <2 的解是-2< x <2，如图 1-3 所示.
| x |<2

-2
图 1-3
0
2

x >2
凡是到原点的距离大于 2 的点则分散在-2 和
x 1 x2 2 1. 例 1 解方程 x 2 3
解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得
6 x 3( x 1) 12 2( x 2)
6 x 3x 3 12 2 x 4
6 x 3x 2 x 12 4 3
5x 5 ，
实数的概念
有理数和无理数统称为实数.实数可分类为：
正整数 整数 有理数 分数 实数 负分数 正无理数 无理数 负无理数 无限不循环小数 零 负整数 正分数 有限小数或无限循 环小数 自然数
3 如：-3，0， ，5 ， 等都是实数. 4

实数的相关概念
（1）数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线叫 做数轴。 每个实数都可以用数轴上的点来表示. （2）相反数——只有符号不同的两个数，其中一个数叫 做另一个数的相反数. 若a,b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则 a,b互为相反数. （3）倒数——1除以一个非零数的商叫做这个数的倒数. 若a,b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a,b互为 倒数.
例4
分析：这是求有特定条件的代数式的 值的问题；故通常从条件出发，寻找 条件与所求的切入点.
6．随堂练习：第2题
二、绝对值和不等式
1.绝对值 在数轴上， 一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数 的绝对值.数 x 的绝对值可表示为 x .由绝对值的意义可知： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0 .
4．随堂练习：第2、3题
一元二次方程
一起来观察如下方程： 1 2 x x0 4
( x 8)(x 2) 2 x 2 3x 2 0
（1） （2） （3）
我们发现，它们都是含有一个未知数,并且 未知数的最高次数是2的整式方程，我们把 这样的方程叫做一元二次方程
任何一个一元二次方程都可以化成 ax2 bx c 0 的 形 式 ， 因 此 ， 我 们 把 形 如 ： ax2 bx c 0
次数是 1 的整式方程，叫做一元一次方程. 一元一次方程的一般形式是： ax b （ a 0) .
能使方程左右两边的值相等的未知 数的值叫做这个方程的解（根）.求这 个未知数的过程就叫做解方程. 解方程的依据就是等式的性质，通 过同解变形求得未知数即方程的解。 2.解一元一次方程的步骤 解一元一次方程一般有：去分母、去 括号、移项、合并同类项、把未知数的 系数化为1, 最终把一元一次方程变形 为 的形式等步骤.
实数的相关概念
（4）平方根——如果一个数的平方等于a，那么 这个数叫做a的平方根.即如果 那么 就叫做a的平 方根.记作 ①正数的平方根有两个，他们互为相反数； ②零的平方根只有一个，仍是零； ③负数没有平方根（因为任何实数的平方不可能 是负数）.
2、实数大小的比较
比较任意两个实数的大小，这里主要学习差比法， 即： 如果a - b > 0 ， 那么 a > b ； 如果a - b =0 ， 那么 a = b ； 如果a - b < 0 ， 那么a < b .
所以 x1 1 ， x2 9
2．随堂练习：第2题
3．例 2 用公式法解方程 2 x 4 7 x
2
解： 移项，得 即
2 x 2 7x 4 0
a 2, b 7, c 4 .
b 2 4ac 7 2 4 2 (4) 81 0
代入公式得
第一章 方程、集合与不 等式
提出问题：
出租车司机小刘某天下午的营运全是在南北方向 的白云大道上进行的，如果规定向南为正，向北 为负，他这天下午的行车里程（单位：km）是这 样记录的：+15，-2，+5，-1，+10，-3，-2， +12，+4，-5，+6，请算算小刘将最后一名乘 客送到目的地时，距离下午出车的地点是多少公 里？
方程的根是
5 x1 -2， x 2 Hale Waihona Puke Baidu . 3
（2） 3x x 10 0
2
方法：拆两边，凑中间，因式横向写。
二元一次方程组
例 1 解下列二元一次方程组
5 x y 7 （1） 3x y 1
解： （1）由
① ① 2 x 7 y 8 （2） ② 3x 8 y 10 0 ② ② 得 y 3x 1 ③
随堂练习：第1题
例 3 解下列不等式：
1 （1） x 3 ； （2） x 3 ； （3） x 1 1 2
随堂练习：第3题
第二节 方程和方程组
1. 一元一次方程 一起来观察如下式子：
2x 0
（1）
1 ( x 1) 3 x 2 （2） 2 2 y 3( y 2) （3） 3 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高
③ ④
4 由③－④得： 5 y 4 即 y 5 4 4 6 将 y 代入①得： 2 x 7 8 即 x 5 5 5
6 x5 所以，原二元一次方程组的解是 4 y 5
集合
1．集合：我们把具有某种特定属性的对象所 构成的整体称为集合（简称为集） ． 2．元素：集合中的每个对象叫做这个集合的 元素。 ※元素与集合的关系： （1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a A，读作“a 属于 A” ； （2）如果 a 不是集合 A 的元素，就 说 a 不属于 A，记作 a A，读作“a 不属于 A”
7 81 7 9 x 2 2 4
1 所以 x1 , x 2 4 2
例 3 用因式分解法解方程（1） 3x( x 2) 5( x 2)
解： （1）移项，得
3x( x 2) 5( x 2) 0
提公因式，得 ( x 2)(3x 5) 0 所以
(a, b, c为常数，a 0) 的方程，称为一元二次方程的一般
形式.
解一元二次方程
1.配方法 化成 ( x m) n 的形式
2
2.公式法
ax2 bx c 0 (a 0) 时，得到的根是
关于 a, b, c 的表达式：
b b 2 4ac x (b 2 4ac 0) . 2a
例 2 利用绝对值的意义，化简： （1) x 1 ( x 1) ； (2) x 1 ( x 1) .
解： （1）因为 x 1 ， x 1 0 ， 所以 x 1 x 1 （2）因为 x 1 ， x 1 0 ，所 以 x 1 ( x 1) 1 x
x 2 0或3x 5 0
方程的根是
5 x1 -2， x 2 3
（2） 3x x 10 0
2
方法：拆两边，凑中间，因式横向写。
解：由十字相乘法，方程 3x x 10 0 化为
2
( x 2)(3x 5) 0
所以
x 2 0或3x 5 0