1-1数列的极限

n →∞ n →∞
lim(a n ± bn ) = α ± β
n →∞ n →∞
lim (a n ⋅ bn ) = α ⋅ β an α ) = , ( β ≠ 0) n→∞ b β n c 是 常 數 ， lim (c ⋅ a n ) = c ⋅ α lim(
n →∞
註 ： 只 要 極 限 存 在 (但 仍 需 有 意 義 )， 四 則 運 算 及 次 方 運 算 之 極 限 均 存 在
Ex19. 求 lim ( 3 ⋅ 4 3 ⋅ 8 3 ⋅ ..... ⋅ 2 n 3 ) 。 答 :3
n →∞
Ex20. 求 lim(
n →∞
3n 2 + 1 2n − 6 11 − )。答: 2 35 5n + 3n + 2 7n + 2
1 1 ) 。答： 2 2 n
1 1 1 Ex21. 求 lim (1 − 2 )(1 − 2 )(1 − 2 ) n→∞ 2 3 4 1 2
n →∞
(3) ∀n ∈ N ， 恆 有 an ≤ bn ≤ cn ， 且 < a n > 及 < c n > 均 收 斂 ， 則 < b n > 也 收 斂 (4) ∀n ∈ N ， 恆 有 an ≤ bn ≤ cn ， 且 < a n > 及 < c n > 均 收 斂 到 7 ， 則 < b n > 也 收 斂 到 7 (5) 設 < a n > 及 < b n > 均 收 斂 且 lim an =α ， lim bn =β ， 若 ∀n ∈ N ， 恆 有 an < bn ， 則 α<β
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Ex15. 設 a =
π
3
， b=
π
4
， c=
π
6
， 求 lim(
n→∞
6 an 7 bn 8 cn + + )。答：6 3 + a n 4 + bn 5 + cn
1+ 5 f (n + 1) 。答: f ( n) 2
Ex16. 設 α , β 為 x 2 − x − 1 = 0 之 二 根 , 令 f (n) = α n + β n ， 求 lim
二、數列極限的求法 1、 等 比 型 (1) 若 a n = a1 ⋅ r n−1 ， 且 a1 = 0 時 ， 則 數 列 < a n > 收 斂 且 極 限 值 為 0
(2) 若 a n = a1 ⋅ r n−1 ， 若 − 1 < r ≤ 1 ， 則 數 列 < a n > 收 斂 ， 否 則 為 發 散 pn + qn 型，化為公比絕對值小於 1 之等比數列之組合 r n + sn ( 即 除 似 p, q, r , s 中 的 最 大 值 的 n 次 方 ) Ex5. 設 a = 1.1 ， b = 0.99 ， c = 1.01 ， α ， β ， γ 為 常 數 ， (3) 若 a n =
x→∞
答 ： a= 3 ， b=
2 3 17 ； 3 3 18
Ex24. 求 lim n →∞
n+3− n+2 。答： 2 2n + 1 − 2n n −1 3 − n) 。 答 ： − 2 n+2
Ex25. 求 lim (n
n →∞
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Ex26. 設 an = 1 + 2 + 3 + ... + n ， 則 lim ( an +1 − an ) 。 答 ：
Ex13. 求 lim[
n →∞
Ex14. 設 正 項 數 列 < a n > 滿 足 a1 = 4 ， a n = 3a n −1 + 10 ， (n = 2,3,4,
< a n > 有 上 界 (2) 數 列 < a n > 為 遞 增 數 列 (3) 並 求 其 極 限 值 。 答 ： 略 ,5
求 lim(
n→∞
α an
2 + an
+
β bn
3 + bn
+
γ cn
4 + cn
) 。 答 ： α+γ
Ex6. n ∈ N 且 an 表 10 n 的 所 有 正 因 數 的 總 和 ， 求 lim
an 5 。答： n n → ∞ 10 2
2 、 分 式 型 ： an =
p k n k + p k −1 n k −1 + qt n t + qt −1 n t −1 + p (1) 若 k = t 時 ， 則 lim an = k n →∞ qt (2) 若 k < t 時 ， 則 lim an =0
n =1 n→∞
∞
(6) 若 數 列 an 、 bn 均 不 收 斂 ， 則 數 列 an + bn 不 收 斂
答：○，╳，╳，╳，○，╳
3an + 1 = 2 ， 求 lim an 。 答 ： 1 n →∞ 4 a − 2 n→∞ n
Ex4. 若 數 列 an 收 斂 ， 且 lim
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1-1 數 列 的 極 限 一、數列極限的意義 1、 直 觀 意 義 ： 一 個 無 窮 數 列 an ， 當 n 趨 近 於 無 限 大 時 ， 若 a n 的 值 能 夠 趨 近 於 某 一 定 值 L ， 稱 數 列 an 收 斂 到 L ， L 稱 為 數 列 an 的 極 限 ， 記 為 lim an = L
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Ex2. 試 判 斷 下 列 有 關 無 窮 數 列 的 敘 述 的 真 偽 。 若 偽 ， 試 舉 反 例 。 (1) 若 lim an = ∞ 且 lim bn = 0 ， 則 lim a n bn = 0 n →∞
n →∞ n →∞
(2) ∀n ∈ N ， 恆 有 an+1 > an > 0 ， 則 lim an = ∞
n −>∞ n −>∞ n −>∞
※精神：ㄚㄌㄅ ※難在左右護法的尋找
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1 1 + + Ex10. 求 lim 2 n →∞ ( n + 1) (n + 2) 2 [ HINT ] ：
+
1 之值。答：0 ( n + n) 2
1 1 1 ≤ ≤ 2 2 ( n + n) (n + k ) (n + 1)2
n →∞
Ex17. 若 下 列 各 數 列 為 收 斂 , 求 x 之 範 圍
( 1 3x n ) ， x( x − 1) n ， ( x − 1)n 。 答 : − < x ≤ 1 ； 0 ≤ x ≤ 2 ； 0 < x ≤ 2 2x + 1 5 Sn 7 。答： n n →∞ 21 4
Ex18. 設 S n 表 示 自 然 數 21 n 所 有 正 因 數 的 和 ， 求 lim
n→∞
此 時 稱 數 列 an 為 收 斂 數 列 ； 否 則 稱 為 發 散 數 列 。 註 ： lim an = ∞ 不 收 斂 ， 因 為 ∞ ( 無 限 大 ) 不 是 一 個 定 值
n→∞
2、 高 中 數 學 定 義 ： 當 n 非 常 大 ， 誤 差 值 an − L 隨 著 n 變 大 而 逐 漸 變 得 非 常 接 近 零 。 3、 數 學 上 的 嚴 謹 定 義 ： ∀ε > 0 ， ∃n0 ∈ N ， ∋ n > n0 ⇒ an − L < ε 註 ： ∀ ( for each ) ， ∃ ( exist ) ， ∋ ( such that ) ， ε ( epsilon ) 註：誤差可隨心所欲的小，亦即可無限接近，稱極限 4、 實 數 的 完 備 性 ： (1) 任 一 有 上 界 的 遞 增 數 列 必 收 斂 。 ( 但 極 限 未 必 等 於 界 限 ) (2) 任 一 有 下 界 的 遞 減 數 列 必 收 斂 。 ( 但 極 限 未 必 等 於 界 限 ) (3) 任 一 非 空 實 數 集 合 若 有 上 界 則 必 有 最 小 上 界 。 (4) 任 一 非 空 實 數 集 合 若 有 下 界 則 必 有 最 大 下 界 。 (5) 設 an 與 bn 為 二 無 窮 數 列 ， 其 中 an 遞 增 ， bn 遞 減 ， 且 ∀n ∈ N , an ≤ bn 若 lim ( bn − an ) = 0 ， 則 an 與 bn 均 收 歛 且 lim an = lim bn
∞
Ex12. 設 a ， b 為 實 數 ， 若 無 窮 級 數
a b a b a b + 2 + 3 + 4 + … + 2 n −1 + 2 n + … = 3 且 1 2 2 2 2 2 2
a+b=5， 則 求 a 與 b。 答 ： 4， 1 1 1 1 1 + + ..... + ]。 答 : 1⋅ 3 3 ⋅ 5 (2n − 1)(2n + 1) 2 ) ， 試 證 ： (1) 數 列
(2)表示法： ∑ a n = S ⇔ lim S n = S
n =1 n→∞
∞
2、 無 窮 等 比 級 數 的 收 斂 性 ：
∑ ar
n =1
∞
n −1
= a + ar + ar 2 + ...... + ar n −1 + ..... 中
a(1 − r n ) , (r ≠ 1) ， 或 Sn = na, (r = 1) ， 則 1− r ∞ a (1) 當 r < 1 為 收 斂 級 數 ， 即 ∑ ar n −1 = 1− r n =1 (2) 當 r ≥ 1 為 發 散 級 數 Sn = 1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n 7 Ex11. 求 ∑ 。答: n 2 3 n =1
n →∞ n →∞
， pk ≠ 0 ， qt ≠ 0
(3) 若 k > t 時 ， 則 lim an 不 存 在 ( 發 散 )
an 2 + bn + 9 Ex7. 若 a ， b 是 常 數 ， 且 lim = 2 ， 求 a ， b 之 值 。 答 ： a = 0 ， b = 10 n →∞ 5n − 3
3、 根 式 型 ： 分 母 有 理 化 或 分 子 有 理 化 Ex8. 求 lim n ( n + 3 − n + 1) 。 答 ： 1
n →∞
Ex9. 求 lim
n →∞
n+4 − n+2
2n + 3 − 2n − 1
。答:
2 2
4、 夾 擠 ： 若 n0 為 定 值 ， ∀n ≥ n0 ， a n ≤ bn ≤ c n ， 且 lim an = lim cn = L ， 則 lim bn = L
n →∞ n →∞
答：╳，╳，╳，○，╳
Ex3. 試 判 斷 下 列 有 關 無 窮 數 列 的 敘 述 的 真 偽 。 若 偽 ， 試 舉 反 例 。 (1) 若 lim a n = 0 ， 則 lim an = 0
n →∞ n →∞
(2) 若 lim an = L ， 則 lim an = L
n→∞ n→∞
n →∞ n →∞ n →∞
Ex1. 設 數 列 < a n > 滿 足 a1 = 4 ， a n =
1 4 (a n −1 + ) ， (n = 2,3,4, 2 a n−1
)，
(1) 試 證 ： 數 列 < a n > 有 下 界 2( 算 幾 ) (2) 試 證 ： 數 列 < a n > 為 遞 減 數 列 (3) 並 求 其 極 限 值 。 答 ： 2 2、 基 本 四 則 運 算 法 則 ： 若 lim a n = α , lim bn = β 則
三、無窮級數
1、無窮級數的收斂性 (1) 定 義 ：
無 窮 級 數 ∑ a n = a1 + a 2 + ...... + a n + ..... 中 前 n 項 和 S n , 即 S n = ∑ a k
n =1 k =1
∞
n
當 n 趨 近 於 ∞時 ， 若 Sn 趨 近 一 個 定 值 S， 稱 S 為 這 無 窮 級 數 的 和 ， 並 稱 此 級 數 收 斂 於 S， 否則稱為此級數發散
(3) 設 lim (a n + bn ) 存 在 ， 則 lim (a n + bn ) = lim a n + lim bn
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞
(4) 若 數 列 an 收 斂 ， 則 數 列
1 收斂 an
(5) 若 ∑ a n 是 收 斂 級 數 ， 則 lim an = 0
(1 −
Ex22. 求 lim ( n + n − n ) 。 答 :
n →∞
Ex23. (1) 若 lim[ 3x 2 + 4 x + 7 − (ax + b)] = 0 ， 試 求 a 與 b 之 值
x→∞
(2) 承 (1) 的 結 果 ， 求 lim x[ 3x 2 + 4 x + 7 − (ax + b)] 之 值 。