线性方程组的解空间
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。
线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。
线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。
线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。
线性空间是指一个能进行线性运算的集合。
线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。
线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。
首先，线性方程组的解是一个向量空间。
向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。
在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。
其次，线性方程组的解是一个子空间。
子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。
线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。
1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。
2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。
3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。
总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。
线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。
线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。
线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。
高等代数3.6 线性方程组解的结构
又设 ( l1 , l2 , … , ln ) 是导出组 (1) 的一个解，即
n
aijl j 0 (i 1,2,, s) ,
j 1
显然
n
n
n
aij (k j l j ) aijk j aijl j
j 1
j 1
j 1
bi 0 bi (i 1,2,, s) .
推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解
是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.
证明 充分性 如果方程组 (9) 有两个不同的
解，那么它的差就是导出组的一个非零解. 因此， 如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解.
必要性 如果导出组有非零解，那么这个解 与方程组 (9) 的一个解 (因为它有解) 的和就是 (9) 的另一个解，也就是说，(9) 不止一个解. 因之， 如果方程 (9) 有唯一解，那么它的导出组只有零解.
x3 x3
4 3
, ,
x1 2 bx 2 x3 4 .
讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时 求其解.
单击这里开始求解
三、直线平面间的位置关系的判断
平面和直线之间的位置关系是指平面与平面、 平面与直线、直线与直 线之间的位置关系. 由于 平面和直线在直角坐标系下的方程，是三元线性 方程 a1x1 + a2x2 + a3x3 = b 和两个三元线性方程组成 的方程组，因此，讨论它们之间的位置关系 ( 如平 行、重合、相交等 )，可用线性方程组的解的理论 阐明.
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密 切的关系：
1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解.
线性代数齐次线性方程组解的结构PPT资料(正式版)
x1 b1, r1k1 b1nknr
x2
b2,r1k1 b2nknr
xr br,r1k1 br nknr
xr1 k1
xr2
k2
xn
knr
其中， k1,k2, ,knr 任意取值。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
b 1 ,r 1
b 1 ,r 2
即 X k k k , (2) A X = 0 有非零解的充要条件是
只需按前面的求解过程完成即可。 设 A 为 n 阶方阵，且 r ( A ) = n - 1，证明 称之为齐次线性方程组的解空间，
1 12 2 n rn r
由 r ( A ) = n - 1，有
因此 (2) 若 为
一组基础解系，那么 AX0的通解可表示为
x k 11 k 22 k tt,P119
其中 k1,k2, ,knr是任意常数。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r(A )rn,
不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为
x1
b1,r 1 xr 1
b1n xn
x2
b2,r1 xr 1 b2n xn
xr
br ,r 1 xr 1 brn xn
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，共有 ( n r ) 个。
由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
线性表出。
称 1,2, ,t为方程组 AX0的(一个)基础解系。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，
线性方程组的解集与解空间
线性方程组的解集与解空间
介绍
在线性代数中，线性方程组是一组包含线性方程的方程组。
通过求解线性方程组，我们可以确定一组解，该组解称为解集。
解集可以用解空间的概念来进行描述。
解集
解集是一个包含所有解的集合。
对于一个线性方程组，可能存在以下几种情况：
1. 无解：如果线性方程组不存在解，则解集为空集。
2. 唯一解：如果线性方程组存在且只存在一个解，则解集包含该唯一解。
3. 无穷解：如果线性方程组存在无穷多个解，则解集可以用参数表示。
对于无穷解的线性方程组，我们可以使用参数表示解集中的每
个解。
通过给参数赋予不同的值，我们可以得到不同的解。
解集可
以通过列举其中的几个解，并使用参数表示其他解。
解空间
解空间是解集所在的向量空间。
对于一个线性方程组，其解空
间可以通过解集中的向量生成。
解空间包含了线性方程组所有的解。
解空间是一个向量空间，其维数可以通过方程组的变量个数和自由
变量的个数来确定。
解空间中的向量可以表示为方程组的一个特解加上线性组合形
式的自由变量向量。
通过改变自由变量的取值，我们可以得到解空
间中的不同向量。
结论
通过求解线性方程组，我们可以确定一组解，即解集。
解集可以通过参数表示，并且它们在解空间中生成一个向量空间。
解空间是一个包含线性方程组所有解的向量空间。
对于线性方程组的解集与解空间的研究，对于理解向量空间的性质以及解集的特性有着重要意义。
线性方程组典型习题解析
3 线性方程组3.1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)3.1.1 基本概念1、方程组1111221n 12112222n 2m11m22mn mx x b x x bx x b a a a a a a a a a +++=⎧⎪+++=⎪*⎨⎪⎪+++=⎩称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组，i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零，则该线性方程组称为非齐次线性方程组； ii)若12m b =b ==b 0=，则该线性方程组就是齐次线性方程组，这时，我们也把该方程组称为1111221n 12112222n 2m11m22mn mx x x x x x a a a a a a a a a +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩c c c 的导出组，（其中12m c ,c ,...c 不全为零）2、记11111221n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 则线性方程组（*）又可以表示为矩阵形式 x b A =**3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2,n a a a α⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b.ααα+++=***。
同时，为了方便，我们记(,b)A A =，称为线性方程组（*）的增广矩阵。
3.1.2 线性方程组解的判断1、齐次线性方程组x 0A =，（n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组，它是一定有解的（至少零就是它的解）， i)那么，当r n A =秩()=时，有唯一零解；ii)当r n A =秩()<时，又非零解，且线性无关解向量的个数为n-r. 2、非齐次线性方程组x b A =()<() ()=()=n, ()=()()=()<n,n ().()>() A A A A A A A A A A A ⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩秩秩无解；秩秩有唯一解，秩秩秩秩有无穷多解，且基础解系个数为 -秩秩秩不可能3.1.3 线性方程组的解空间 1、齐次线性方程组的解空间（作为线性方程组的一个特殊情形，在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间） 定理：对于数域K 上的n 元齐次线性方程组的解空间W 的维数为 A dim(W)=n-秩()=n-r ，其中A 是方程组的系数矩阵。
第七讲齐次线性方程组的解空间
第七讲:齐次线性方程组的解空间པད་མ་སྲི་ཆོད་དང་ཧྲི་ཐར་སོལ་མ།白玛石久和石塔卓玛一:0Ax =的解集是一个向量空间 设{}{}()0N A x Ax ===全体A x=0的解证明：首先看()N A 中能否做加法运算:任意取,(),x y N A ∈()0,0A x y Ax Ay Ax Ay +=+⎫⎬==⎭即 ()000A x y Ax Ay +=+=+=所以()x y N A +∈即()N A 里可以做加法运算。
再看()N A 里能否做数乘运算，任意取一个数,a R ∈任取()x N A ∈，()()00A ax a Ax a ===，所以()ax N A ∈即()N A 中可以做数乘运算。
总结：()N A 中可以加法运算和数乘运算，即 ()N A 为一个向量空间。
()N A 的不同名称;① 的解空间②的零空间 二：0Ax =的完整求解例1：设112213314415A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123x X x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 00000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
求解0Ax = 解：在化简过程中右边始终就是0向量，因此只需化简左边系数矩阵。
112112112112101213011011011011314314022022022415115415033033A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−→−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦101101101011011011000000000033000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0Ax =化简为13230x x x x +=⎧⎨+=⎩0Ax =A因为，()r A =真方程个数=2，未知量个数=3，所以，自由未知量个数=3-2=1即有一个自由未知量。
线性方程组的解空间
线性方程组的解空间线性方程组是数学中的基本概念之一，它描述了若干个线性方程的集合。
解空间是指方程组的全部解构成的向量空间。
本文将介绍线性方程组的解空间及其性质。
一、线性方程组的定义线性方程组由若干个线性方程组成，每个方程可表示为：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1, a2, ..., an为已知系数，x1, x2, ..., xn为未知数，b为常数。
线性方程组可写成矩阵形式：AX = B其中A是一个m×n的矩阵，X是一个n维列向量，B是一个m维列向量。
二、线性方程组的解空间线性方程组有三种解情况：无解、唯一解和无穷解。
当方程组无解时，解空间为空集；当方程组有唯一解时，解空间为唯一解构成的向量空间；当方程组有无穷解时，解空间为一维或多维线性子空间。
三、线性方程组解的充要条件若线性方程组的矩阵A的秩rank(A)等于其增广矩阵[A|B]的秩rank([A|B])，则方程组有解。
若rank(A)<rank([A|B])，则方程组无解。
当方程组有解时，可通过高斯消元法或矩阵的初等行变换求得方程组的解。
四、线性方程组解空间的性质1. 零空间：线性方程组AX = 0的解称为零空间，它是解空间的一个重要子空间。
零空间中的向量满足齐次线性方程组的条件，即A的任意一列的线性组合为0。
2. 特解和齐次解：若AX = B有解，其中X0是AX = 0的一个特解，则AX = B的解集为X = X0 + Xc，其中Xc为齐次线性方程组的解集。
3. 解空间的维数：解空间的维数等于方程组的未知数个数n减去矩阵A的秩rank(A)。
五、应用领域线性方程组的解空间在数学和工程等领域有广泛的应用。
在数学中，它用于研究线性变换和线性方程组的理论；在工程中，它用于求解工程问题，如电路分析、高频通信、图像处理等。
总结：线性方程组的解空间是指方程组的全部解构成的向量空间。
解空间的性质包括零空间、特解和齐次解、解空间的维数等。
线性方程组解的几何意义
线性方程组解的几何意义解的几何意义是指线性方程组的解在几何空间中的表示和意义。
线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，而线性方程又可以看作是一条直线的方程。
因此，线性方程组的解可以理解为几何空间中的点、线或超平面。
一元一次方程的解的几何意义非常直观，即为直线上的一个点。
当方程为二元一次方程时，解的几何意义为平面上的一个点。
当方程为三元一次方程时，解的几何意义为三维空间中的一个点。
在一般情况下，线性方程组的解可以表示为几何空间中的一个线性子空间。
对于二维的线性方程组，解可以表示为平面上的一条直线；对于三维的线性方程组，解可以表示为三维空间中的一个平面；对于n维的线性方程组，解可以表示为n维空间中的一个超平面。
具体来说，当线性方程组的系数矩阵可逆时，也即不存在自由变量，解的几何意义为一个点或一个超平面。
如果方程组存在唯一解，则解的几何意义为一个点，表示几何空间中的一个特定位置。
如果方程组有无穷多个解，则解的几何意义为一个超平面，表示几何空间中的一个子空间。
当系数矩阵不可逆时，也即存在自由变量时，解的几何意义为一个超平面，表示几何空间中的一个子空间。
这是因为系数矩阵的秩小于变量的个数，导致方程组的维数被限制在一个低维的空间中。
除了几何空间中的表示外，线性方程组的解还有一些重要的几何意义。
首先，解空间的维数等于方程组的自由变量的个数，可以通过解空间的维数判断方程组的解的情况。
其次，解空间可以表示为系数矩阵的零空间，也即Ax=0的解集，其中A是线性方程组的系数矩阵。
零空间可以有助于理解方程组的解在几何空间中的分布和性质。
总而言之，线性方程组解的几何意义是几何空间中的点、线或超平面的表示，反映了方程组的解在几何空间中的分布和性质。
通过几何意义，我们可以更直观地理解和分析线性方程组的解及其相关性质，为解决实际问题提供帮助。
线性方程组的解法与线性空间
线性方程组的解法与线性空间线性方程组是数学中常见的问题，它涉及到线性代数的基本概念和解法。
本文将讨论线性方程组的解法以及与其相关的线性空间的概念。
一、线性方程组的解法线性方程组由多个线性方程组成，通常用矩阵表示。
解线性方程组的一种常见方法是高斯消元法。
其步骤如下：1. 将线性方程组表示为增广矩阵，其中矩阵的最后一列为等号右侧的常数向量。
2. 利用初等行变换将增广矩阵化为行最简形式，即化为上三角矩阵或行最简阶梯形矩阵。
3. 利用回代法计算出每个未知数的值，从最后一行开始逐个回代。
举例来说，考虑以下线性方程组：2x + 3y - z = 63x - 4y + 2z = 7x + 2y + z = 4我们可以将其表示为增广矩阵：[ 2 3 -1 | 6 ][ 3 -4 2 | 7 ][ 1 2 1 | 4 ]接下来，应用高斯消元法进行求解。
通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[ 1 2 1 | 4 ][ 0 -1 2 | -5 ][ 0 0 -5 | -14 ]然后，进行回代法，计算出每个未知数的值。
最终得到：x = 1y = 2z = 3二、线性空间的概念线性空间是线性代数中的重要概念，它是指一个集合，其中包含了满足加法和纯量乘法运算的一些向量，并满足一定的性质。
线性空间的基本性质包括封闭性、交换性、结合性、分配性以及关于零向量和负向量的存在性。
一个线性空间可以包含各种各样的向量，例如实数向量、复数向量、多项式向量等。
线性空间可以由一组基来描述，基是一个线性无关的向量组，通过线性组合可以表示出线性空间中的任意向量。
举例来说，考虑二维向量空间R^2，其基可以是{(1,0),(0,1)}，这两个向量构成了R^2的基。
利用这个基，我们可以表示出R^2中的任意向量。
同样地，考虑三维向量空间R^3，其基可以是{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，这三个向量构成了R^3的基。
利用这个基，我们可以表示出R^3中的任意向量。
线性方程组的解的性质
线性方程组的解的性质线性方程组是数学中的一个重要概念，它描述了一组关于未知数的线性关系。
线性方程组的解是指满足所有方程的未知数值组合。
在本文中，我们将讨论线性方程组解的性质。
一、解的存在性和唯一性解的存在性是指线性方程组是否有解。
对于一个线性方程组而言，解的存在性可以通过矩阵的行列式来判断。
若行列式的值为非零，则线性方程组有解；若行列式的值为零，则线性方程组无解。
解的唯一性是指线性方程组解的个数。
对于一个线性方程组，解的个数取决于方程的个数和未知数的个数。
如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值不为零，那么线性方程组存在唯一解。
如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值为零，那么线性方程组可能存在无穷多个解，也可能无解。
二、解的线性相关性在解的性质中，我们还需要讨论解的线性相关性。
解的线性相关性是指线性方程组的解之间是否存在线性关系。
如果线性方程组有解且解之间存在线性关系，那么解是线性相关的；如果线性方程组有解且解之间不存在线性关系，那么解是线性无关的。
线性相关性的判断可以通过矩阵的秩来进行。
对于一个n阶矩阵A，如果它的秩r等于未知数的个数n，那么线性方程组的解是线性无关的；如果秩r小于n，那么线性方程组的解是线性相关的。
三、解空间和基础解系解空间是指线性方程组所有解构成的集合。
解空间的维数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。
解空间的维数也可以理解为线性方程组解的自由变量的个数。
基础解系是指线性方程组解空间中的一组向量，它们可以通过线性组合得到解空间中所有解。
基础解系的个数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。
四、解的特殊情况除了一般情况下的解的性质，线性方程组还存在一些特殊情况。
1. 无解情况：当线性方程组中出现矛盾的方程时，线性方程组无解。
2. 无穷多解情况：当线性方程组的方程个数小于未知数个数时，线性方程组可能存在无穷多个解。
此时解空间的维数大于0，存在自由变量。
通过以上讨论，我们可以看出，线性方程组的解的性质有：存在性和唯一性、线性相关性、解空间和基础解系以及特殊情况。
1线性代数 3.3线性方程组的解
x1 x2 x3 x4 0,
例4
求解方程组
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解 对增广矩阵B施行初等行变换:
1 1 1 1 0 B 1 1 1 3 1
1 1 2 3 1 2
~
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
c1
br
1
r1 1
br
2
r2 0
n
br ,n 0
r
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 b11 xr1 b1,nr xn
x
r
br1 xr1
br ,nr xn
3 x3 3 x3
5 x4 2 x4
5x5 0 x5 0
3 x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0
解 对系数矩阵施 行初等行变换
1 1 1 4 3
A
2 1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1 1 1 4 3 1 1 1 4 3
~
0 0
1 2
1 2
若至少有一个bi 0(i 1, 2, , m), 则称方程组(3.3)为非齐次线性方程组;
能使每个方程变为恒等式的n个数 x1, x2 , xn 称为
方程组的解.
至少有一个解的方程组称为相容的. 如果方程组没有解,就称这个方程组不相容.
具有惟一解的方程组称为确定方程组. 具有多于一个解的方程组称为不定方程组.
第四讲 线性方程组
(1)
a11
a12 a 22 M
根据定理2的推论， 的列向量组等价， 根据定理 的推论，知AT与BT的列向量组等价， 的推论 即A与B的行向量组等价 证毕 与 的行向量组等价. 的行向量组等价
3) 证
证明R( AT A) = R( A).
设A为m × n矩阵, x为n维列向量 .
若x满足Ax = 0, 则有AT ( Ax ) = 0,即 ( AT A) x = 0;
例4 问
取何值时， λ 取何值时，齐次方程组
(1− λ)x1 − 2x2 + 4x3 = 0 2x1 + (3 − λ)x2 + x3 = 0 x + x + (1− λ)x = 0 2 3 1
有非零解？ 有非零解？
要使方程组有非零解，系数行列式必须等于零， 解 要使方程组有非零解，系数行列式必须等于零，
若x满足( A A) x = 0, 则 x ( A A) x = 0,即
T T T
( Ax )T ( Ax ) = 0, 从而推知 Ax = 0.
综上可知方程组 Ax = 0与( A A) x = 0同解,
T
因此
R( AT A) = R( A).
非齐次性线性方程组 Am×n xn×1 = bm×1
[
]
= (5λ − 7 ) + (1 − λ )(7 − 4λ + λ2 ) = λ ( − λ2 + 5λ − 6) = − λ (λ − 2)(λ − 3) = 0
线性代数拓展案例4 线性方程组的解与空间平面的关系
线性代数拓展案例 线性方程组的解与空间平面的关系 1.问题描述已知线性方程组 123123123123x x x x x x x x x λλλλ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=+⎩，试讨论λ为何值时，方程组有唯一解、无穷多个解、无解，并分别用空间平面的关系表示。
2.模型分析三个未知量的线性方程是空间的平面，空间平面的位置关系体现了方程组有没有解的情形。
本题中，只有一个参数λ，我们可以使用克拉默法则或者矩阵初等行变换来求解。
1. 模型求解通过对增广矩阵进行初等行变换化为阶梯形，有()()()2111113112011511300122r B λλλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭-+-+⎝⎭ 解的情况分为：（1）当1λ≠且2λ≠-时，3R AR B 方程组有唯一解； （2）当1λ=时，1R A，2R B ，方程组无解； （3）当2λ=-时，23R A R B，方程组有无穷多个解。
4. MATLAB 求解代码这里给出绘制空间平面图形的源代码。
含参数的方程组的求解问题，是线性代数学习的一个重要组成部分。
我们设计程序，分别给出不同的λ时三个空间平面的位置关系，加深了对问题的三维直观和几何理解。
通过该例子，让学生理解了方程组的解和空间平面的关系，并学会使用MATLAB 来绘制空间曲面，举一反三。
x=-5:0.1:5;y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y); %生成平面网格数据lbd=[1 -2 -1]; %分别对应唯一解for i=1:3lambda=lbd(i); %三个参数对应于无解 无穷多解和唯一解Z1=-lambda*X-Y+1; %方程1所对应的平面Z2=-X-lambda*Y-2; %方程2所对应的平面Z3=(-X-Y+lambda+3)/lambda;%方程3所对应的平面figure; mesh (X,Y,Z1);hold on;mesh(X,Y,Z2);hold on;mesh(X,Y,Z3) %在同一个坐标系中绘出三个平面的图形end5.实验结果与分析图形如下图所示：(a) λ=1,唯一解； (b) λ= -2,无穷多解； （c ）λ= -1,无解图1 方程组的解与三个空间平面的位置关系6.思考与提高在上例中，无穷多解的情形表现为三个平面有一条直线。
线性空间 知识点及其注释
第五章线性空间-知识点及其注释知识点：n 维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示, 向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间, 子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和 子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。
#n 维数组向量#简称为n 维向量，是指由数域F 中n 个数印包,…，寺组成 的n 元有序数组，常记为（a i ,a 2,|||,a n ）T或（a i ,a 2,…，a .），又称为n 元（数组） 向量。
由数域F 上所有n 维数组向量所构成的线性空间称为n 维（元）（数 组）向量空间，记为F n。
#线性组合#表达式k ^<H k ^^ ^l + k ^s 称为向量组a 1,口2；" Q s 的系数分别为k i ，k 2，|||,k s 俨F ）的线性组合，k i ，k 2,…，k s 称为线性组合系数。
#线性表示#向量a 可由向量组…,叫线性表示（出）是指存在数域F 中的数ki,k2,…,ks ,使a =k ^^k ^a^)| + k ^s 。
向量组Ct 」2,…,叭可由向量组际码川卫线性表示是指每个a i（i=l2...,s ）都可由向量组Pi,p2,IH,3t线性表示。
显然，向量组的线性表示具有传递性。
在F n 中，向量《可由向量组a /2,…，叫线性表示二 线性方程组S X i + a x 2111 +a sX s = a 有解二 ran “"，企，川,ct s ,® =rank(%,a 2,HI ,叫)。
#向量组等价#向量组％,冬,…,叫与向量组匕,卩2,lll,P t 等价是指向量组 %巴2,…,叫与向量组Pi,p2,lll,P t 可以相互线性表示。
显然，向量组等价是 等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。
1)2) 1, 2,若矩阵A经过有限次行初等变换成为B,则A与B的行向量组等价。
线性空间-知识点归纳及其注释
线性空间-知识点归纳及其注释第五章知识点:n 维数组向量,向量空间,线性空间,线性组合,线性表示,向量组等价,线性相关,线性无关,极大无关组,秩,生成子空间,子空间,基,维数,坐标,基变换,坐标变换,同构,交子空间,和子空间,直和,线性方程组的解空间,基础解系,特解,通解。
#n 维数组向量#简称为n 维向量,是指由数域 F n 个数n a a a ,,,21 组成的n 元有序数组,常记为12(,,,)T n a a a 或),,,(21n a a a ,又称为n 元(数组)向量。
由数域F 上所有n 维数组向量所构成的线性空间称为n 维(元)(数组)向量空间,记为n F 。
#线性组合#表达式1122s s k k k ααα+++称为向量组s ααα,,,21 的系数分别为12,,,()s k k k F ∈的线性组合,s k k k ,,,21 称为线性组合系数。
#线性表示#向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示(出)是指存在数域 F 的数s k k k ,,,21 ,使1122s s k k k αααα=+++。
向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示是指每个i α(1,2,...,i s =)都可由向量组12,,,t βββ线性表示。
显然,向量组的线性表示具有传递性。
在n F ,向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示⇔线性方程组1122s s x x x αααα+++=有解⇔ 1212(,,,,)(,,,)s s rank rank ααααααα=。
#向量组等价#向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ等价是指向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ可以相互线性表示。
显然,向量组等价是等价关系,即具有自反性、对称性和传递性。
若矩阵A经过有限次行初等变换成为B,则A与B的行向量组等价。
#线性相关#向量组s ααα,,,21 线性相关是指存在数域 F 不全为零的数s k k k ,,,21 ,使02211=+++s s k k k ααα ;否则称为线性无关。
齐次线性方程组解的结构
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
线性代数 齐次线性方程组解的结构
18
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 5
分别
1 0 , , 0 6
得到方程组的一个基础解系为
7 1 5 1 1 1 , 2 0 . 2 0 6 0
1 2 2 1 r3 r2 r1 2r2 0 1 2 4 / 3 r2 (3) 0 0 0 0
1 0 2 5 / 3 2 4 / 3 0 1 0 0 0 0
14
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
由于 n r ( A) 5 2 3 , 故方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。 16
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 4 x 5
分别
1 0 , 0
x r 1 k 1 xr 2 k2 xn
其中，
k1 , k 2 , , k n r
k n r
任意取值。
10
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 性 b1,r 1 b1,r 2 b1n 方 程 b b b 组 r ,r 1 r ,r 2 rn 令 1 1 , 2 0 , , n r 0 , 0 1 0 0 0 1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为 性 方 程 组
§3齐次线性方程组解的结构
时，即可写出与之对应的方程组：
所以可以让x2,x4为自由未知量，让 依次取 ， 即可求出原方程组的一个基础解系：
1＝ ,2＝ .
例3设1＝(1, 2, 1, 0),2＝(－1, 1, 1, 1)，
1＝(2, －1, 0, 1)，2＝(1, －1, 3, 7)；
教学环节
一、数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理6.3.1齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵A的秩小于n.
证由定理6.1.2知, 当r(A)＝n时，(1)有唯一解，那只能是零解；当r(A)<n时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. □
推论6.3.2如果m<n，那么齐次线性方程组(1)有非零解.
证当m<n时，r(A)≤min{m,n}＝m<n.所以由定理6.3.1即知(1)有非零解.
二、数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间
下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式
AX＝0, 其中A是系数矩阵，
X＝ .
(1)的每一个解都可以看成是一个n维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. (1)的解向量有以下的性质.
例2求出齐次线性方程组
的一个基础解系.
对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得
，
这里我们交换了矩阵的2、3两个列. 与上述最后一个矩阵相对应
的齐次线性方程组是
(5)
依次取 为 , 即可求出(5)的两个解
, .
再把i的第2、第3两个坐标互换，(i＝1,2),即得
1＝ ,2＝ .
线性代数10.线性方程组解的结构、向量空间
1 0
0
0
1
0
例
在Rn中，取
e1
0
,
e2
0
，
，en
0 ，
0
0
1
则e1，e2， ，en是Rn的一个基（称为Rn的自然基），
x1
注意：（1）如果向量空间V 没有基，则规定 dim(V ) 0. 0 维向量空间只含一个零向量．
（2） 若把向量空间 V 看作向量组， 则 V 的基就是向量组 V 的一个最大无关组，
dim V 就是 V 的秩．
由此可见，一个向量空间就是由它的一个基生成的向量空间．
0
例
记V0
x2 xn
A1 2 b b 0.
即1 2满足方程Ax 0.
性质2 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程Ax 0的解,
则x 仍是方程 Ax b 的解.
证明
A A A
b 0 b,
所以 是方程 Ax b的解.
证毕．
２．非齐次线性方程组的通解
综合上面的讨论,不难得到非齐次线性方程组解的结构：
集合V 对于加法运算封闭是指：
若 V , V , 则 V;
集合V对于乘数运算封闭是指：
若 V , R, 则 V .
x1
例.
记：Rn
x2 xn
x1,
x2 ,
,
xn
R
,R
n是否为向量空间?
因为任意两个n维向量之和仍然是n维向量,
数乘n维向量仍然是n维向量，它们都属于Rn. 因此R n是向量空间．
xi
R，i
2,
3
n
,
写出V0的一个基并求
dim(V0
)．
线性方程组的解空间
第六章 向量空间6.1 定义和例子6.2 子空间6.3 向量的线性相关性6.4 基和维数6.5 坐标6.6 向量空间的同构6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间返回教案总目录6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间一、教学思考1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。
2、注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成n F 的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。
3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。
二、内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。
2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。
三、教学过程1、矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ⨯∈，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m n a a a a A 1111，A 的每一行看作n F 的一个元素，叫做A 的行向量，用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。
类似地，A 的每一列看作m F 的一个元素，叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。
注：)(F M A n m ⨯∈的行空间与列空间一般不同，分别是n F 与m F 的子空间；下证其维数相同。
引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈，1）若PA B =，P 是一个m 阶可逆矩阵，则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =，Q 是一个n 阶可逆矩阵，则C 与A 有相同的列空间。
分析：设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ⨯⨯⨯===,,，),2,1(m i i =α是A 的行向量，),2,1(m j j =β是B 的行向量；只需证这两组向量等价。
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第六章 向量空间 6.1 定义和例子 6.2 子空间6.3 向量的线性相关性 6.4 基和维数 6.5 坐标6.6 向量空间的同构6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间 返回教案总目录6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间 一、教学思考1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。
2、注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成n F 的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。
3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。
二、容要求1、容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。
2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。
三、教学过程1、矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ⨯∈，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m n a a a a A 1111，A 的每一行看作n F 的一个元素，叫做A 的行向量，用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。
类似地，A 的每一列看作m F 的一个元素，叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。
注：)(F M A n m ⨯∈的行空间与列空间一般不同，分别是n F 与m F 的子空间；下证其维数相同。
引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈，1）若PA B =，P 是一个m 阶可逆矩阵，则B 与A 有相同的行空间； 2）若AQ C =，Q 是一个n 阶可逆矩阵，则C 与A 有相同的列空间。
分析：设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ⨯⨯⨯===,,，),2,1(m i i =α是A 的行向量，),2,1(m j j =β是B 的行向量；只需证这两组向量等价。
由题述关系PA B =得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==m im i im i i p p A p p ααβ 111),,(),,(=),,2,1(;11m i p p m im i =++αα即B 的每个行向量都可以由A 的行向量线性表示；因为P 可逆，有B P A 1-=，同上得A 每个行向量都可以由B 的行向量线性表示，这样这两组向量等价。
定理6.7.2矩阵)(F M A n m ⨯∈的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩。
证法：设r A r =)(，分别证行、列空间的维数为r 。
由维数的定义及行空间的概念，只需证行（列）空间的生成元的极大无关组含r 个向量；为此不直接讨论A ，由引理讨论讨论与A 有相同行空间的一个矩阵，可结合有关矩阵的结论：存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=οοοr I PAQ 。
证明：设r A r =)(，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=οοοr I PAQ （1），两边右乘1-Q 得1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I PA r οοο，上式右端中后rm -行全为0，而前r 行即为1-Q 的前r 行；由于1-Q 可逆，所以它的行向量线性无关，因而它的前r 行也线性无关，由此得上式右端乘积矩阵的行空间的维数为r ，由引理A 的行空间的维数为r 。
由（1）类似得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-οοοr I P AQ 1，可得A 的列空间的维数也为r 。
定义：矩阵A 的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）向量的个数，叫做矩阵A 的秩。
2、线性方程组的解的结构 1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域F 上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同。
”证明：设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++m n mn m n n bx a x a b x a x a 1111111 （1）令n αα,,1 表示（1）的系数矩阵A 的列向量，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m b b 1β，则（1）可写为：βαα=++n n x x 11 （2）必要性）若（1）有解，即存在n x x ,,1 使（2）成立，即β可由n αα,,1 线性表示，从而n αα,,1 与βαα,,,1n 等价，进而L （n αα,,1 ）= L （βαα,,,1n ），即A 与A 的列空间相同，由定理)()(A r A r =。
充分性）若)()(A r A r =，由定理2),,,(dim ),,(dim 11βααααn n L L =即A 与A 的列空间维数相同，又因n αα,,1 的极大无关组一定是βαα,,,1n 的线性无关组，所以),,,(),,(11βααααn n L L =，即),,(1n L ααβ ∈，因而β可由n αα,,1 线性表示，所以（1）有解。
2）齐次线性方程组的解空间 设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a（3）是数域F 上一个齐次线性方程组，令A 为其系数矩阵，则（3）可写为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （4）或ο=AX ；（3）的每一个解都可以看作n F 的一个向量，叫做（3）的一个解向量。
令S 表示（3）的全体解向量构成的集合；首先：因S ∈ο，所以Φ≠S ；其次：F b a S ∈∀∈∀,,,ηξ，有οηξηξ=+=+bA aA b a A )(，即S b a ∈+ηξ。
因此S 作成n F 的一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组（3）的解空间。
注：当ο=AX 仅有零解时，{}ο=S ；当ο=AX 有非零解时，上述讨论反映了齐次线性方程组的解的两个重要性质：1）两解之和为解；2）一解之倍数仍为解。
从而有无穷多解，那么这些解是否可用有限个解表出，上知（3）的解集S 是n F 的一个子空间，从而说明这是可以的，只需求出S 的一个基即可。
下面就来解决这个问题，即求（3）的解空间的一个基。
重新回顾解线性方程组的过程：设（3）的系数矩阵A 的秩为)(n r <，则A 可经过一系列（行）初等变换化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r n r m r r m r n r rC I ,,,οο，与此相应的齐次线性方程组为：（5）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++++++0000001111111 n rn r rr r n n r r y c y c y y c y c y ，这里n y y ,,1 是n x x ,,1 的重新编号。
（5）有r n -个自由未知量n r y y ,,1 +，依次让它们取)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( ，可得（5）的r n -个解向量：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++++++100,,010,001122121111 rn n n rr r r rr r r c c c c c c ηηη。
下面证其是（5）的解空间的一个基。
首先：n r ηη,,1 +线性无关。
事实上设οηη=++++n n r r k k 11，由下面r n -个分量易得01===+n r k k 。
其次：设),,,(21n k k k 是（5）的任一解，代入（5）得：nrn r rr r n n r r n n r r k c k c k k c k c k k c k c k ---=---=---=++++++112112211111又有恒等式：nn r r k k k k ==++ 11此n 个等式即为n n r r n k k k k ηη++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 111，即（5）的每个解向量都可以由n r ηη,,1 +线性表示，故{n r ηη,,1 +}为（5）的解空间的一个基。
注意到（5）与（4）在未知量重新编号后同解，所以重新编排n r ηη,,1 +的次序可得（4）的解空间的一个基，从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题。
并且上述讨论也给出了求解空间的具体方法：即通过解方程组的允许变换得到等价组，在等价组中自由未知量是清楚的，给其一组线性无关值，便得等价组的一组解向量，其构成等价组的解空间的一个基，再调整解向量的次序便得。
上述讨论得：定理6.7.3数域F 上一个n 元齐次线性方程组的一切解作成n F 的一个子空间，称之为这个线性方程组的解空间。
若所给方程组的系数矩阵的秩为r ，则解空间的维数为r n -。
定义：一个齐次线性方程组的解空间的一个基，叫做这个方程组的一个基础解系。
注：上述讨论给出了齐次线性方程组的基础解系的存在性及求法；其中自由未知量取值时，只需保证线性无关即可。
（例略）3）非齐次线性方程组的解的结构设))((,11F M A b b x x A n m m n ⨯∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6）是数域F 上一个n 元线性方程组。
问题当（6）有无穷解时，解的结构如何？为此先引入：把（6）的常数项都换成0，便得一个齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （7），齐次线性方程组（7）叫做方程组（6）的导出齐次线性方程组。
注：任一线性方程组都有唯一的导出齐次线性方程组。
为讨论上述问题，先讨论（6）与其导出齐次线性方程组（7）的解之间的关系。
1）（6）的两个解的差是（7）似的解；事实上，设βα,是（6）的两个解，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==m b b A A 1βα，所以οβαβα=-=-A A A )(。
2）（6）的一个解与（7）的一个解的和是（6）的一个解。
（同上）（6）的解的构造：定理6.7.4若（6）有解，则（6）的任一解都可以表示为（6）的一个固定解与（7）的一个解的和。
证明：设γ是（6）的一个固定解，δ是（6）的任一解，要证δ可以写为γ与（7）的一个解的和，只需证δ与γ的差是（7）的一个解即可，由上1）显然。
注：定理说明要求（6）的一般解，只需求出（6）的一个解，再求出（6）的一个基础解系，则可将（7）的所有解表出。
（注意（7）的解不作成解空间）。
（例略）。