初等数论 期末复习 不定方程精选例题

第二章不定方程例题分析

例1：利用整数分离系数法求得不定方程15x +10y +6z =61。

解：注意到z 的系数最小，把原方程化为

z =)()(1236110226110156

1++-++--=+--y x y x y x 令t 1=z y x ∈++-)(12361，即-3x +2y -6t 1+1=0

此时y 系数最小，)()(12131632111-++=-++=

∴x t x t x y 令t 2=z x ∈-)(121,即122+=t x ,反推依次可解得

y =x +3t 1+t 2=2t 2+1+3t 1+t 2=1+3t 1+3t 2

z =-2x -2y +10+t 1=6-5t 1+10t 2

∴原不定方程解为⎪⎩

⎪⎨⎧--=++=+=21212105633121t t z t t y t x t 1t 2∈z.例2:证明

2是无理数证：假设2是有理数，则存在自数数a,b 使得满足22

2y x =即222b a =，容易知道a 是偶数，设a =2a 1，代入得2122a b =,又得到b 为偶数，a b a <<1，设12b b =，则212

12b a =,这里12a b <这样可以进一步求得a 2，b 2…且有a>b>a 1>b 1>a 2>b 2>…但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴2为无理数。

例3：证明：整数勾股形的勾股中至少一个是3的倍数。

证：设N =3m ±1(m 为整数)，∴N 2=9m 2±6m +1=3(3m 2±2m )+1

即一个整数若不是3的倍数，则其平方为3k +1,或者说3k +2不可能是平方数，设x,y 为勾股整数，且x,y 都不是3的倍数，则x 2,y 2都是3k +1，但z 2=x 2+y 2=3k +2形，这是不可能，∴勾股数中至少有一个是3的倍数。

例4：求x 2+y 2=328的正整数解

解：∵328为偶数，∴x,y 奇偶性相同，即x ±y 为偶数，设x+y =2u ,x -y =2v ，代入原方程即

为

u 2+v 2=164,同理令u +v =2u 1,u -v =2v 1有

2

1121121212282v v u u v u v u =-=+=+,,,412222=+v u 22v u ,为一偶一奇，且0

u 2=1，2，3，4，5代方程，有解（4，5）（5，4）

∴原方程解x =18,y =2,或x =2,y =18。

例5：求x 2+xy -6=0的正整数解。

解：原方程等价于x (x +y )=2·3,故有

∴⎩⎨⎧=+=,,32y x x ⎩⎨⎧=+=,,

23y x x ⎩⎨⎧=+=,,

61y x x ⎩⎨⎧

=+=.,

16y x x ，∴即有x =2,y =1;x =1,y =5.

例6：证明不定方程x 2-2xy 2+5z +3=0无整数解。解：若不定方程有解，则3

542--±=z y y x 但y 4≡0，1(mod5),∴对y,z ，y 4-5z -3≡2，3(mod5)

而一个平方数≡0，1，4（mod 5）

∴y 4-5z -3不可能为完全平方，即354--z y 不是整数，所以原不定方程无解。

例7：证明：222z y x ++78+=a 无整数解

证：若原方程有解，则有222z y x ++)

8(mod 78+≡a 注意到对于模8，有

,002≡,112≡,422≡,132≡,042≡,152≡,462≡,

172≡因而每一个整数对于模8，必同余于0，1，4这三个数。

不论222,,z y x 如何变化，只能有)

8(mod 6,5,4,3,2,1,0222≡++z y x 而877(mod8)a +≡，故78+a 不同余于222z y x ++关于模8，所以假设错误，即

≠+78a 222z y x ++，从而证明了原方程无解。

例8:某人到银行去兑换一张d 元和c 分的支票，出纳员出错，给了他c 元和d 元，此人直到用去23分后才发觉其错误，此时他发现还有2d 元和2c 分，问该支票原为多少钱？解：由题意立式得：c

d d c 2210023100+⨯=-+即.

2319998=-d c 令d c u 2-=得,

23398=-d u 令d u v -=33得.

233=-u v 所以v v u (233-=为任意整数），代入得：

,23339833⨯-=-=v v u d （1）

,

23671992⨯-=+=v d u c 其中v 是任意整数。又根据题意要求：10000<<>c d ,.

根据(1)，仅当v =8时满足此要求，从而.

,5125==c d 因此该支票原为25元51分.