关于换路定律的证明

关于换路定律的证明

（哈尔滨工业大学，黑龙江 哈尔滨 150001）郭男杰

摘要：换路定律是描述电路过渡状态的重要定律，它表明了电容电压和电感电流的连续性，是分析一阶动态电路的理论基础。本文重点讨论了对换路定律的证明方法。 关键词：一阶动态电路；换路定律；证明方法

大多数电工学著作通过建立能量方程的方法证明u C ,i C 不能跃变。以下是一种典型的证明过程。

以RC 串联电路为例，当它与电源接通时，储能元件的瞬时功率为

p C =u C i C =u C ∙C du C dd =Cu C du C dd (1)

p L =u L i L =L di L dd ∙i L =Li L di L dd (2)

RC 电路若电容元件在开关闭合前未积累电荷，那么当开关闭合后，时间由0~t 时，它的端电压由0升高到u c ，其储存的电场能量则由0增长到

W C =�p C dd =�Cu C du C dd u C 0=t 01Cu C 2

可见电容元件的电场能量与其端电压的平方成正比。

RL 电路当开关S 闭合后，时间由0~t 时，电感元件的电流由0增大到i L ，其储存的磁场能量则由0增长到

W L =�p L t 0dd =�Li L di L dd i L 0dd =12Li L 2

可见电感元件的磁场能量与其通过的电流的平方成正比。

换路瞬间，储能元件的能量是不能跃变的。对电容元件而言，W C 不能跃变，即u C 不能跃变；对电感元件而言，W L 不能跃变，即i L 不能跃变。

但是 (1)、(2)成立的前提是u C 、i L 连续，即u C 、i L 不能跃变，否则u C 、i L 不存在对时间t 的导数。因此，在不确定u C 、i L 是否连续的情况下，不能使用它们

对时间的t导数。用这种方法证明换路定律是不合适的。

换路定律可以用局域电荷守恒定律和磁链守恒定律证明。

由电荷和磁链的连续性方程可知，电荷q、磁链ψ是时间t 的连续函数，又因为q=C u C，ψ=L i L，所以u C、i L是时间t的连续函数，即u C、i L不能跃变。证毕。

注：电荷或磁链的连续性方程是表达局域电荷或磁链守恒的经验定律，不能从其它任何定律导出。

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