历届西部数学奥林匹克试题

目录

2001年西部数学奥林匹克 (2)

2002年西部数学奥林匹克 (4)

2003年西部数学奥林匹克 (6)

2004年西部数学奥林匹克 (7)

2005年西部数学奥林匹克 (8)

2006年西部数学奥林匹克 (10)

2007年西部数学奥林匹克 (12)

2008年西部数学奥林匹克 (14)

2009年西部数学奥林匹克 (16)

2010年西部数学奥林匹克 (18)

2011年西部数学奥林匹克 (21)

2012年西部数学奥林匹克 (23)

2001年西部数学奥林匹克

1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n

2.证明：x2001<1001.

（李伟固供题）

2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB

的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，

（1）证明：PP≥2PB；

（2）求PQ⋅PQ的值.

（罗增儒供题）

3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x2m−1是一个完全平方数.

（潘曾彪供题）

4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.

（冯志刚供题）

5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.

（杨文鹏供题）

6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q

为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与

△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）

7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证

明你的结论.

（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；

（2）P i∩P j≠Φ,1≤s

求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划

P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b

2002年西部数学奥林匹克

1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.

2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.

3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.

4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.

5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.

6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：

（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；

（2）a12+a22++a n2≤s3+1.

7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；

（2）求所有正整数a、b，a

8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s

1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.

2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1

.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.

3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.

4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.

5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，

且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.

7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：

∑x i

4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.