《点集拓扑学》§6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理

§6.3 Urysohn 引理和Tietze 扩张定理

本节重点:

掌握Urysohn 引理的内容(证明不要求)；

掌握定理

定理6.3.1 [Urysohn 引理]设X 是一个拓扑空间，[a ，b]是一个闭区间．则X 是一个正规空间当且仅当对于X 中任意两个无交的闭集A 和B ，存在一个连续映射f:X→[a ，b]使得当x ∈A 时f(x)=a 和当x ∈B 时f(x)=b ．

证明：由于闭区间同胚于[0,1],因此我们只需对闭区间[0,1]的情形给以证明. 充分性:设B A ,是X 中的两个闭集,]1,0[:→X f 是一个连续映射使得当A

x ∈时,0)(=x f ,B x ∈时1)(=x f .由于集合]1,21(),21,0[是[0,1]中两个不相交的开集,因

此.

))21,0([1-=f U 和])1,21

((1-=f V 是X 中两个不相交的开集,并且,U A ⊆V B ⊆,因此X 是一个正规空间.

必要性.设X 是一个正规空间, A ,B 是X 中两个不相交的闭集,证明的主要思想是首先利用X 的正规性在X 中构造一个以[0,1]中的有理数为指标集的一个开集族,然后利用这个开集族定义连续映射]1,0[:→X f ,使得A x ∈时,0)(=x f ,B x ∈时1)(=x f .

第一步,设1Q 是[0,1]中的全体有理数集合,对1Q r ∈我们将定义一个与它相对应的开集r U ,使得当q r Q q r <∈,,1时,B X U U U A q r r -⊆⊆⊆⊆,这样,开集族}|{1Q r U r ∈在包含关系下是一个有序集,而且随着开集r U 的指标r 的增大所对应的开集也就越大.

由于1Q 是可数集合,我们应用归纳的方式来定义开集族}|{1Q r U r ∈.先将1Q 排列成一个无限序列,即建立一一映射1:Q Z g →+,为了方便,不失一般性,设1)1(=g 和0)2(=g 是这个序列的前两个元素.首先,B X A -⊆,令B X U -=1.又由于X 是一个正规空间,由定理V B X V V A -⊆⊆⊆V U =0,假设对于≥n 2,集族},,,,{)()3(01n g g U U U U 已有定

义,而且当)()(j g i g <时B X U U U A j g i g i g -⊆⊆⊆⊆)()()(,对于1)1(Q g n ∈+,由于集

合,|)({1n i i g ≤≤})()1(+

|)({max i g p =,1n i ≤≤})()1(+n g i g 是一个有限集合,而且|)({1)1(i g g ∈=,1n i ≤≤)}1()(+>n g i g ,令

|)({min i g q =,1n i ≤≤})()1(+>n g i g .

由归纳假设知一定有B X U U U A q p p -⊆⊆⊆⊆.由于q p U U ⊆,由定理X V q p U V V U ⊆⊆⊆V U n g =+)1(,则集族},,,,{)1()()

2()1(+n g n g g g U U U U 也满足:

当)()(j g i g <时,)(i g U A ⊆)()(j g i g U U ⊆⊆B X -⊆.这是因为对)()(j g i g <：

①若},{,,2,1n j i ∈时,由归纳假设知包含关系成立.

②若1+=n i 时,由于)()(1j g g n <+,则必有q j g ≥)(.

即|)({min )(i g j g ≥,1n i ≤≤)1(+n g )}(i g <,因此由)1(+n g 的定义及归纳假设有B X U V V U A j g n g -⊆⊆⊆=⊆+)()1(.

③若1+=n j ,则)()(1+

因此由归纳原理我们构造了集族}|{1Q r U r ∈满足条件：对,,1Q q p ∈p p U U A ⊆⊆B X U q -⊆⊆,而且随着指标r 的增加,r U 也随着增大(在包含关系的意义下).

下面,我们令},{54

,53,52,51,41,32,31,21,0,11 =Q 来说明上面的归纳定义集族}|{1Q r U r ∈的过程.

在定义了,1B X U -=0U 之后,定义2

1U 于10,U U 之间使之满足

102121U U U U ⊆⊆⊆,再定义31U 于21,0U U 之间,使之满足2131310U U U U ⊆⊆⊆.接着定义32U 于1,21U U 之间使之满足1323221U U U U ⊆⊆⊆,对于41=

r ,由于}{m i n }{m a x 1,32,21,31410<<,定义1110U U U U ⊆⊆⊆,…至第九步我们定义2U ,由于}{min }{max 1,32,43,215231,41,51,0<<,因此使52U 满足21U U ⊆12U U ⊆⊆,….如图 第二步,将第一步定义的集族}|{1Q r U r ∈中的指标集扩张成实数空间R 中的

有理数Q ,具体作法是令⎩⎨⎧><∅=1

0p X p U p 这样,易验证开集族}|{Q r U r ∈满足：当q p <时,q p p U U U ⊆⊆.

第三步,对X x ∈,定义}|{)(r U x r x Q ∈=,即)(x Q 由所有包含x 的开集r U 的下标构成.则对任意)(x Q r ∈,必有0≥r ,(这是因为0r ,必有)(x Q r ∈,(因为1>r 时,r U =X ，因此∈x r U ),因此)(x Q 有下界,从而)(x Q 有下确界,且下确界必属于[0,1],定义：

第四步,验证第三步中定义的映射f 就是满足要求的映射.

(1)设A x ∈,则对0,≥∈r Q r ,均有A x ∈r U ⊆,因此}|{)(0≥=r r x Q ,从而0)(in f )(==x Q x f .

设B x ∈,由定义有B X U -=1,且1r 1,因此}|{)(1>=r r x Q ,从而1)(inf )(==x Q x f .

(2)先证下面两个结论:

(a )∈x r x f U r ≤⇒)(,

(b )∈x r x f U r ≥⇒)(.

如果∈x r U ,由集族}|{Q r U r ∈定义有对任意r s >,s U x ∈,因此