角平分线的性质定理及其逆定理

角平分线的性质定理及其逆定理
一、 基础概念
学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范 证明
步骤。

（1）角平分线的性质定理证明： 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的
距离相等。

证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论： 推论：两角及其中一角的对
边对应相等的两个三角形全等。

（AAS ）
推导过程:
已知：OC 平分∠ MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥ OM ，PB 丄ON ，
垂足分别为点A 、点B .
求证：PA = PB .
证明：∙∙∙ PA ⊥ OM , PB ⊥ ON
∙∙∙∠ PAO = ∠ PBO = 90°
∙∙∙ OC 平分∠ MON
∙∠ 1 = ∠ 2
在厶PAO 和厶PBO 中，
PAOPBO
∙ PA = PB
② 几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
如图所示，∙∙∙ OP 平分∠ MON (∠ 1 = ∠ 2), PA 丄 OM , PB ⊥ ON ,
∙ PA = PB
.
(2) 角平分线性质定理的逆定理：
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

推导过程
已知：点P是∠ MON内一点，PA⊥ OM于A , PB丄ON于B ,且PA= PB . 求证：点P在∠ MON 的平分线上.
证明：连结OP
在Rt△ PAO 和Rt△ PBO 中，
∙∙∙ Rt△ PAo B Rt△ PBO (HL )
∙∙∙∠1 = ∠ 2
∙OP 平分∠ MON
即点P在∠ MON的平分线上.
②几何表达：(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∙∠1 = ∠ 2 (OP 平分∠ MON )
(3) 角平分线性质及判定的应用
①为推导线段相等、角相等提供依据和思路;
②实际生活中的应用.
例：一个工厂，在公路西侧，至U公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为米•
在下图中标出工厂的位置，并说明理由.
(4) 角平分线的尺规作图
活动三：观察与思考：尺规作角的平分线
观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如图)，思考这种作法的依据。

步骤一：
以点0为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交
于A , B两点
300
B
)
如图所示，∙∙∙PA⊥
OM ,
Ii
由作图可知：
OA = OB
步骤二：分别以点A , B为圆心，以固定长（大于AB长的
半径画弧，两弧交于点 C O
由作图可知：AC = BC
步骤三：作射线0C,贝U OC就是∠ AOB的平分线。

由作图可知：
_____________________ 定理，可得_______ 也_____
同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什
么吗？试用证明的方法说出作图的正确性。

二、【典型例题】
例1.已知：如图所示，/ C=∠ C'= 90°，AC = AC' 求证：（1）∠ ABC = ∠ ABC ';
（2） BC = BC '（要求：不用三角形全等判定）•
例2.如图所示，已知△ ABC中，PE// AB交BC于E，PF// AC交BC于F, P是AD上点，且D点到PE的距离与到
例3.如图所示，已知△ ABC的角平分线BM，CN相交于点P,那么AP能否平分∠ BAC ? 请说明理由•由此题你能得到一个什么结论？
A
例
4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P 点
处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为 X轴、y轴建立平面直角坐标系.
(1)学校距铁路的距离是多少？
(2)请写出学校所在位置的坐标.
例5.如图所示，在△ ABC中，∠ C = 90°, AC = BC, DA平分∠ CAB交BC于D ,问能否在AB上
确定一点丘，使厶
BDE
的周长等于AB的长？若能，请作出点E,并给出证明；若不能，请说明理由.
练习一
一、填空题：
1•如图1-31，△ ABC中，AD是BC的垂直平分线，BE平分∠ ABC交AD于E, EF丄AB ,则AB = ，BF = ;
2•已知：如图1-32 ,在Rt△ ABC 中，/ C = 90° , AC = BC, BD 平分∠ ABC 交AC 于D, DE 丄AB于E,若BC = 5,则厶DEC的周长为
二、选择题：
1•如图1-33, △ ABC 中，∠ B = 42
ED = EF,则∠ AEC的度数为(
A. 60 °
B. 62°
C. 64°
2•给
出下列
命题：
①
②
③
④
其中原命题和逆命题都是真命题的共有(
A. 1个
B. 2个
C. 3个
三、解答题：
如图1-34 ,已知：△ ABC 中，∠ BAC = 90° , AD 丄BC 于D , A AE 平分∠ DAC , EF 丄BC 交AC 于F ,
,AD丄BC于D , E是BD上一点，EF丄AB于F ,若
)；
D. 66°
垂直于同一条直线的两直线平行；角平
分线上的点到角两边的距离相等; 三角
形的三条角平分线相交于一点；全等三
角形的面积相等；
D. 4个
图1-
31
C
图1-
连接BF.求证：BF是∠ ABC的平分线.
【综合练习】
已知：如图1-35, △ ABC 中，AB = 2AC,
例题答案
例1.已知：如图所示，∠ C=∠ C'= 90°, AC = AC' 求证：（1）∠ ABC = ∠ ABC ';
（2） BC = BC '（要求：不用三角形全等判定）•
证明：（1）∙∙∙∠C=∠ C'= 90°（已知），
∙∙∙ AC丄BC, AC '丄BC '（垂直的定义）. 又∙∙∙ AC = AC （已知），
•••点A在∠ CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）∙∙∙∠ ABC = ∠ ABC .
(2)τ∠ C=∠ C , / ABC = ∠ ABC ,
∙∙∙180°-(∕ C+∠ ABC )= 180o-(∕ C + ∠ ABC )(三角形内角和定理).
即∠ BAC = ∠ BAC ,
V AC 丄 BC, AC 丄 BC ,
∙∙∙ BC = BC (角平分线上的点到这个角两边的距离相等).
例2.如图所示，已知△ ABC中，PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上
解：AD平分∠ BAC .
V D到PE的距离与到PF的距离相等, •••点D 在/ EPF的平分线上.
∙°∙∠ 1 = ∠ 2.
又V PE// AB ,∙∠ 1 = ∠ 3. 同理，∠ 2=∠ 4.
∙∠3=∠ 4,∙ AD 平分∠ BAC .
AD是否平分∠ BAC ,并说明理由.
AD 平分∠ BAC,且AD = BD.
C
点，且D点到PE的距离与到
例3.如图所示，已知△ ABC 的角平分线BM , CN 相交于点P,那么AP 能否平分∠ BAC ? 请说明理由•由此题你能得到一个什么结论？
解：AP 平分∠ BAC .
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 理由：过点P 分别作BC, AC , AB 的垂线，垂足分别是E 、F 、D .
V BM 是∠ ABC 的角平分线且点 P 在BM 上,
∙∙∙ PD = PE (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
同理 PF= PE,∙∙∙ PD= PF.
∙∙∙ AP 平分∠ BAC (到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).
例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P 点处，距公路400m,现分别以公路、铁路所在直线为 X 轴、y 轴建立平面直角坐标系.
(1) 学校距铁路的距离是多少？
(2) 请写出学校所在位置的坐标.
铁路 、\
解：(1)V 点P 在公路与铁路所夹角的平分线上，
•••点P 到公路的距离与它到铁路的距离相等， 又V 点P 到公路的距离是400m,
•••点P (学校)到铁路的距离是400m.
(2)学校所在位置的坐标是(400,— 400).
评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.
例5.如图所示，在△ ABC 中，∠ C = 90°, AC = BC, DA 平分∠ CAB 交BC 于D ,问能否 在AB 上确定一点丘，使厶BDE 的周长等于AB 的长？若能，请作出点E,并给出证明；若 不能，请说明理由.
解：能.过点D 作DE 丄AB 于丘，则厶BDE 的周长等于AB 的长.理由如下:
V AD 平分∠ CAB , DC 丄 AC , DE 丄 AB ,
∙∙∙ DC = DE.
在 Rt △ ACD 和 Rt A AED 中，，
∙∙∙ Rt△ ACD 也 Rt A
AED (HL).
∙∙∙ AC = AE.
又τ AC = BC,∙∙∙ AE = BC .
•••△ BDE 的周长=BD + DE+ BE= BD + DC + BE = BC + BE = AE + BE = AB .
1.4角平分线
练习一
【基础练习】一、1. AC, BD; 2. 5.2. 二、1. D ; 2. A. 三、提示：证AF = EF.
【综合练习】提示：作DE丄AB,证厶ADC也厶ADE.。