解牛顿运动方程。运动方程的积分不用考虑计算速度
古典力学的牛顿方程
古典力学的牛顿方程古典力学是物理学的一个分支，是研究宏观物体运动的基本规律和性质的学科。
其中，牛顿方程是古典力学的基石。
牛顿方程描述了物体受力而产生运动的规律，被广泛应用于解释和预测自然界中的各种现象。
牛顿方程可以简单地用公式表达为F=ma，其中F代表所受到的合外力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
这个简单的公式包含了物体运动的关键因素，通过分析力和物体质量的关系，我们可以推导出物体的运动状态。
在古典力学中，牛顿方程有三个基本定律。
第一定律，即惯性定律，描述了一个物体在受力作用下保持匀速直线运动或静止的状态。
这意味着物体的速度只有在受到外力作用时才会改变。
例如，我们开车时，就会感受到汽车向前移动时的惯性力。
第二定律是牛顿方程的核心，它描述了当一个物体受到合外力时，它的加速度与所受力的大小和方向成正比。
这个定律解释了为什么需要用更大的力来推动更重的物体。
例如，推动一辆大卡车和一辆小汽车所需要的力是不同的，因为它们的质量不同。
第三定律是动力学的基础，在力的作用下，物体产生的力会引起相等大小但方向相反的力的产生。
这就是著名的“作用力与反作用力”。
例如，一个人站在平地上，脚对地产生的力会引起地面对脚产生的反作用力，使得人可以保持平衡。
牛顿方程的应用非常广泛，不仅适用于平面运动，还适用于曲线运动。
通过对物体所受合外力以及质量进行分析，我们可以预测物体的运动轨迹。
这个方程被用于解释天体运动、机械力学、流体力学等许多领域。
然而，在某些条件下，牛顿方程并不能完全解释物体的运动。
例如，当物体的速度接近光速时，相对论效应会显著影响物体的运动。
此外，在微观尺度上，量子力学的规律也需要被考虑。
另外，牛顿方程的适用范围也受到限制。
在一些特殊情况下，它无法准确描述物体的运动。
比如，当物体尺寸非常小或者运动速度非常快时，量子效应和相对论效应的影响变得显著，古典力学的牛顿方程将不再适用。
在这些情况下，我们需要使用更加复杂的理论来描述物体的运动。
应用牛顿定律解题的四个关键点
应用牛顿定律解题的四个关键点牛顿定律是物理学中最基本的定律之一，它描述了物体受力的运动状态。
在解题过程中，正确应用牛顿定律是至关重要的。
然而，要想正确应用牛顿定律解题，并不是一件容易的事情。
下面将介绍应用牛顿定律解题的四个关键点。
1. 弄清楚物体所受的力在应用牛顿定律解题时，第一步是要弄清楚物体所受的力。
只有正确识别出物体所受的各个力，并将其考虑进去，才能得到正确的结果。
通常情况下，物体所受的力可以分为两类：外力和内力。
外力包括重力、摩擦力、弹力等等，而内力则是物体内部的相互作用力。
在处理重力时，需要考虑物体的质量和重力加速度。
根据牛顿第二定律的公式F=ma，重力的大小可以表示为G=mg，其中G表示重力的大小，m表示物体的质量，g表示重力加速度。
在计算摩擦力时，需要根据不同情况考虑静摩擦力和动摩擦力。
静摩擦力和动摩擦力的计算方法不同，需要根据物体的运动状态进行判断。
对于弹力，需要考虑弹簧的弹性系数和形变量等因素。
除了上述力之外，还要考虑其他可能存在的外力，如空气阻力或液体阻力等。
这些外力的大小和方向都需要根据题目的描述进行分析和推导。
只有正确地识别和考虑物体所受的各个力，才能应用牛顿定律解题。
2. 建立坐标系和选择参考系在解题过程中，建立坐标系和选择参考系是非常重要的。
坐标系是用来描述物体位置的基准系统，可以选择直角坐标系或极坐标系，具体选择取决于题目的要求。
在建立坐标系时，需要选择合适的参考轴，用于描述各个力的方向和大小。
选择参考系则是为了简化问题，通过选择适当的参考系，可以简化问题的分析和计算。
根据牛顿定律，物体所受的合力将引起物体加速度的变化。
所以，在应用牛顿定律解题时，通常需要建立运动方程。
根据题目的要求，可以根据物体的运动状态选择建立运动方程的坐标轴方向。
例如，对于垂直上抛运动问题，可以选择垂直向上为正方向和垂直向下为负方向的参考系。
而对于水平运动问题，则可以选择水平方向为正方向和水平反方向为负方向的参考系。
第2章 牛顿运动定律
分离变量求定积分，并考虑到初始条件：t=0时v=v0，则有
v dv t μ
dt
v v0
2
0R
即
v
1
v0
v0t
R
将上式对时间积分，并利用初始条件t=0时，s=0得
s
R μ
ln 1
μ R
v0t
15
例题2-2 一条长为l质量均匀分布的细链条AB，挂在半径 可忽略的光滑钉子上，开始时处于静止状态。已知BC段 长为L（l/2<L<2l/3），释放后链条做加速运动，如图所示。 试求BC=2l/3时，链条的加速度和速度。
a0
a0
mg
T -ma0
mg
讨论一种非惯性系，做直线运动的加速参考系，在以恒定
加速度 沿a直0 线前进的车厢中，用绳子悬挂一物体。在地面
上的惯性参考系中观察，牛顿运动定律成立。 在车厢中的参考系（非惯性系）内观察，虽然物体所受张
f μN
µ为滑动摩擦系数，它与接触面的材料和表面状态（如 粗糙程度、干湿程度等）有关；其数值可查有关手册。
10
2.2.2 力学中常见的几种力
3、摩擦力。
当两个相互接触的物体虽未发生相对运动，但沿接触面有 相对运动的趋势时，在接触面间产生的摩擦力为静摩擦力。 静摩擦力的大小可以发生变化。
如图所示，用一水平力F推一放置在粗糙水平面上的木箱，
解：取被抛物体为研究对象，物体运动过程
中只受万有引力作用。取地球为参考系，垂 直地面向上为正方向。物体运动的初始条件
v0
是：t=0时，r0=R，速度是v0。略去地球的公 转与自转的影响，则物体在离地心r处的万有
m
引力F与地面处的重力P之间的关系为
12 牛顿运动定律
二 牛顿第二定律
?
??
? 动量为 p的物体，在合外力 F (? Fi ) 的作
用下，其动量随时间的变化率应当等于作用于物体
的合外力．
?
dp?
d(mv?)
F? ?
dt dt
?p? ? mv??
当 v ?? c时，
m为常量，
合外 力
? F
?
m
dv?
?
ma?
dt
? F
?
m dv?
?
ma?
dt
? F
?
m dv x
? ? 1 ?l2
2 ? 3.46? 10?2 m
?
?
1 2
mv
2 0
5.0 ? 105
例 如图,摆长为 l的圆
锥摆，细绳一端固定在天花
板上，另一端悬挂质量为 m
的小球，小球经推动后，在
水平面内绕通过圆心 o 的铅
直轴作角速度为 ? 的匀速率
圆周运动．
l
?
ro
v
问绳和铅直方向所成的角度 ? 为多少？空气阻力
讨论：胖人和瘦人拔河 ,两人彼此之间施与的力 是一对作用力和反作用力（绳子质量可略），大小 相等，方向相反，那么他们的输赢与什么有关 ？
50kg
胜负的关键在于脚下的摩擦力 .
四种基本相互作用
力的种类 相互作用的粒子 力的强度 力程
万有引力 一切质点
10 ? 38
无限远
弱力 电磁力
强力
大多数粒子 电荷
一 牛顿第一定律 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，
直到外力迫?使它改变运?动状态为止 . F ? 0 时，v ? 恒矢量
惯性和力的概念 ? 物体的惯性 任何物体都有保持其运动状态不变 的性质, 这一性质叫惯性 .
分子动力学运动方程
分子动力学运动方程分子动力学（MolecularDynamics，MD）是一种计算方法，用于研究物质的运动和相互作用。
MD方法通过求解牛顿运动方程，模拟原子或分子在时间上的演化过程，从而揭示物质的宏观性质和微观机制。
本文将以分子动力学运动方程为主题，介绍MD方法的基本原理、算法及其应用。
一、分子动力学运动方程分子动力学模拟的基本思想是，将物质看作由原子或分子组成的粒子系统，用经典力学的牛顿运动方程描述其运动状态。
设第i个原子在时刻t的位置为ri(t)，速度为vi(t)，则其运动方程为：mivi(t)=Fi(t)其中，m是原子的质量，Fi(t)为作用在原子上的力。
根据牛顿定律，Fi(t)等于原子受到的外力和相互作用力的合力，即：Fi(t)=Fouti(t)+∑j≠iFij(t)其中，Fouti(t)为外力，Fij(t)为原子i和j之间的相互作用力。
通常，相互作用力可以用势能函数表示，即：Fij(t)=Vij(rij(t))其中，Vij(rij(t))为原子i和j之间的势能函数，rij(t)为原子i和j之间的距离。
通过求解牛顿运动方程，可以得到原子的运动轨迹和速度变化。
二、分子动力学算法分子动力学算法的核心是数值积分方法，用于求解牛顿运动方程。
常用的数值积分方法有欧拉法、改进欧拉法、Verlet算法等。
其中，Verlet算法是最常用的算法之一，其基本思想是通过递推计算原子的位置和速度，从而求解牛顿运动方程。
Verlet算法的基本步骤如下：1. 初始化系统的位置和速度。
2. 计算初始时刻的加速度a(t0)，并根据速度和加速度计算位置和速度的下一个时间步长的值。
3. 根据位置和速度的新值，计算新的加速度a(t1)。
4. 根据位置、速度和新的加速度计算下一个时间步长的值。
5. 重复步骤3-4，直到模拟结束。
Verlet算法的优点是计算效率高、数值稳定性好，适用于大规模分子动力学模拟。
但它也存在一些缺点，比如需要选择合适的时间步长，否则可能导致模拟结果的不准确性。
物理知识点总结：牛顿第一、第二、第三定律
牛顿第一定律1．历史上对力和运动关系的认识过程：①亚里士多德的观点：力是维持物体运动的原因。
②伽利略的想实验：否定了亚里士多德的观点，他指出：如果没有摩擦，一旦物体具有某一速度，物体将保持这个速度继续运动下去。
③笛卡儿的结论：如果没有加速或减速的原因，运动物体将保持原来的速度一直运动下去。
④牛顿的总结：牛顿第一定律2．伽利略的“理想斜面实验”程序内容：①(事实) 两个对接的斜面，让静止的小球沿一个斜面滚下，小球将滚上另一个斜面②(推论) 如果没有摩擦，小球将上升到释放的高度。
③(推论) 减小第二个斜面的倾角，小球在这个斜面上仍然要达到原来的高度。
④(推论) 继续减小第二个斜面的倾角，最后使它成水平，小球沿水平面做持续的匀速直线运动。
⑤(推断) 物体在水平面上做匀速运动时并不需要外力来维持。
此实验揭示了力与运动的关系：①力不是．．维持物体运动的原因，而是．．改变物体运动状态的原因，物体的运动并不需要力来维持。
②同时说出了一切物体都有一种属性(运动状态保持不变．．．．的属性)只有受力时运动状态才改变。
这种运动状态保持不变．．．．的属性就称作惯性。
即：一切物体具都有保持．．原来匀速直线运动状态或静止状态的性质，这就是惯性。
3．对惯性的理解要点：①惯性是物体的固有属性，即：保持原来运动状态不变的属性，不能克服，只能利用。
与物体的受力情况及运动状态无关。
任何物体,无论处于什么状态,不论任何时候，任何情况下都具有惯性。
②惯性不是力，惯性是物体的一属性(即保持原来运动不变的属性)。
不能说“受到惯性”和“惯性作用”。
力是物体对物体的作用，惯性和力是两个绝然不同的概念。
③物体的运动状态并不需要力来维持，因此惯性不是维持运动状态的力.④惯性的大小：体现在运动状态改变的难易程度，(即是保持原来运动状态的体领强弱)，,其大小由质量来决定。
质量是惯性大小的唯一量度。
质量大，运动状态较难改变，即惯性大。
⑤惯性与惯性定律的区别：惯性：是．保持原来运动状态不变的属性．．惯性定律：(牛顿第一定律)反映．．物体在一定条件下(即不受外力或合外力为零)的运动规律．．．．牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了三条运动定律(称为牛顿三大定律)奠定了力学基础4．牛顿第一定律内容：一切物体总保持匀速直线运动或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。
理论力学课后答案第五章
第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5.3广义动量a p 和广义速度a q &是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比aq &更富有意义？ 5.4既然aq T &∂∂是广义动量，那么根据动量定理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d &是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ∂∂项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ∂∂和aq L ∂∂有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号∆能否这样？5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.第五章思考题解答5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=ii i r F W ρρδδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，αθ不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11ρρ知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度，则αθ一定是力，若αθ是力矩，则αq 一定是角度，若αq 是体积，则αθ一定是压强等.5.3 答 αp 与αq &不一定只相差一个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。
牛顿第二定律与质点运动方程
牛顿第二定律与质点运动方程牛顿第二定律是经典力学的基本定律之一，它描述了质点运动的原理和规律。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与施加在质点上的合外力成正比，与质点的质量成反比。
这个定律是力学中非常重要的一个定律，能够帮助我们理解物体的运动和相互作用。
牛顿第二定律可以用一个简洁的数学公式来表示：F = ma其中，F代表合外力的大小和方向，m代表质点的质量，a代表质点的加速度。
这个公式告诉我们，当质量一定时，加速度与施加力成正比；当施加力一定时，加速度与质量成反比。
反过来说，如果我们知道施加在物体上的力和物体的质量，就可以计算出物体的加速度。
在这个公式中，加速度与净外力成正比，净外力是指作用于物体上的所有力的合力。
它可以是由多个力合成的结果，也可以是单个力的作用。
例如，当一个物体在水平表面上受到重力和摩擦力的作用时，净外力就是这两个力的合力。
根据牛顿第二定律，净外力与物体的质量成正比，加速度与净外力成正比。
牛顿第二定律还可以用来解释物体的运动方程。
运动方程是描述物体运动的数学方程。
对于一维运动（即沿着一条直线的运动），物体的运动方程可以写为：x = x0 + v0t + 1/2at^2其中，x代表物体的位移，x0代表物体的初始位移，v0代表物体的初始速度，t代表时间，a代表加速度。
这个方程包含了物体的初始条件（即初始位移和初始速度）以及物体的加速度。
根据牛顿第二定律，加速度与质量成反比，即a = F/m。
将这个表达式代入运动方程中可以得到：x = x0 + v0t + 1/2(F/m)t^2这个方程告诉我们，在给定初始条件和知道外力大小和方向的情况下，我们可以计算出物体的位移随时间的变化。
这是牛顿第二定律的一个重要应用。
牛顿第二定律适用于所有质点运动，并且在经典力学中具有普遍性。
它的简洁公式不仅方便了理论研究，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
例如，在工程中，我们可以利用牛顿第二定律来计算机械结构的受力和变形；在运动学中，我们可以利用牛顿第二定律来分析物体的运动轨迹和速度变化。
牛顿运动方程
牛顿运动方程在物理学中，牛顿运动方程是研究物体运动的基本理论之一。
它由著名科学家艾萨克·牛顿于17世纪提出，并被广泛应用于经典力学的领域。
牛顿运动方程通过描述物体的质量、加速度和作用力之间的关系，揭示了物体在力的作用下的运动规律。
牛顿运动方程的基本形式是F = ma，其中F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
根据牛顿第二定律，物体所受的合力等于物体质量和加速度的乘积。
这个方程表明，当物体受到外力作用时，会产生加速度，进而改变物体的速度和位置。
牛顿运动方程可以应用于各种不同的物理现象和情况。
无论是天体运动、机械运动还是电磁场中的粒子运动，都可以用牛顿运动方程来描述。
它在力学、动力学和工程学中都有广泛的应用。
在使用牛顿运动方程进行具体问题求解时，需要先确定物体所受的力和运动状态。
然后根据方程F = ma，利用已知条件求解未知量。
这个过程需要分析问题，并根据实际情况建立适当的方程。
通过求解这些方程，可以得到物体的运动规律和相关参数。
牛顿运动方程的应用在现实生活和科学研究中都发挥了重要作用。
例如，通过研究车辆的运动方程，可以优化交通流量和减少交通堵塞；通过研究火箭的运动方程，可以设计出更高效的航天器；通过研究天体的运动方程，可以了解宇宙的演化和行星的轨道。
然而，牛顿运动方程也有其适用范围的限制。
在高速运动、微观尺度或极端条件下，牛顿运动方程可能不再适用，需要引入相对论力学或量子力学的理论来描述物体的运动。
此外，牛顿运动方程也无法解释一些特殊情况，如黑洞的行为或粒子在高能物理实验中的行为。
总之，牛顿运动方程是研究物体运动的基本理论，对于了解物质运动的规律和预测物体的行为具有重要意义。
它的简洁性和适用性使其成为物理学的基石，为人类认识和探索物质世界提供了强有力的工具。
牛顿第二定律详解
牛顿第二定律详解实验：用控制变量法研究：a与F的关系，a与m的关系知识简析一、牛顿第二定律1.内容：物体的加速度跟物体所受合外力成正比，跟物体的质量成反比；a的方向与F合的方向总是相同。
2.表达式：F=ma揭示了：①力与a的因果关系，力是产生a的原因和改变物体运动状态的原因；②力与a的定量关系3、对牛顿第二定律理解：（1）F=ma中的F为物体所受到的合外力．（2）F＝ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果F是系统受到的合外力，则m是系统的合质量．（3）F＝ma中的F与a有瞬时对应关系，F变a则变，F大小变，a则大小变，F方向变a也方向变．（4）F＝ma中的F与a有矢量对应关系，a的方向一定与F的方向相同。
（5）F＝ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度．（6）F＝ma中，F的单位是牛顿，m的单位是kg，a的单位是米／秒2．（7）F＝ma的适用范围：宏观、低速4. 理解时应应掌握以下几个特性。
(1) 矢量性F=ma是一个矢量方程，公式不但表示了大小关系，还表示了方向关系。
(2) 瞬时性a与F同时产生、同时变化、同时消失。
作用力突变，a的大小方向随着改变，是瞬时的对应关系。
(3) 独立性(力的独立作用原理) F合产生a合；Fx合产生ax合；Fy合产生ay合当物体受到几个力作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就象其它力不存在一样，这个性质叫力的独立作用原理。
因此物体受到几个力作用，就产生几个加速度，物体实际的加速度就是这几个加速度的矢量和。
(4) 同体性F=ma中F、m、a各量必须对应同一个物体(5)局限性适用于惯性参考系(即所选参照物必须是静止或匀速直线运动的,一般取地面为参考系)；只适用于宏观、低速运动情况，不适用于微观、高速情况。
牛顿运动定律的应用1．应用牛顿运动定律解题的一般步骤：(1) 选取研究对象(2) 分析所选对象在某状态(或某过程中)的受力情况、运动情况(3) 建立直角坐标：其中之一坐标轴沿的方向然后各力沿两轴方向正交分解(4) 列出运动学方程或第二定律方程F合=a合；Fx合=ax合；Fy合=ay合用a这个物理量把运动特点和受力特点联系起来(5) 在求解的过程中,注意解题过程和最后结果的检验,必要时对结果进行讨论.2．物理解题的一般步骤：(1) 审题：解题的关键，明确己知和侍求，特别是语言文字中隐着的条件(如：光滑、匀速、恰好追上、距离最大、共同速度等)，看懂文句、及题述的物理现象、状态、过程。
2.第二章牛顿运动定律
例1(补): 复式阿特武德机 三个物体质量已知 滑轮质 补 复式阿特武德机. 三个物体质量已知, 量不计, 轴处无摩擦力.求释放后 求释放后m 量不计 轴处无摩擦力 求释放后 1的加速度 a1和m2对B 的加速度a. 的加速度 解：以地为参照系, 分别建立坐标系 以地为参照系 如图所示
A T1
m1 T2 m2
r r r r F → a,v, r r r r r r →v, a → F
r rr r r a →v, r 重点是a, F
r r r (2)受变力, F(r )(万有引力或弹性力等 , F(t ) 受变力, 受变力 万有引力或弹性力等), 万有引力或弹性力等 r r (碰撞或强迫振动等 ,或 F(v)(粘滞力等 , 碰撞或强迫振动等), 粘滞力等), 碰撞或强迫振动等 粘滞力等
τ v0
n
r N r
rr
R
fµ
t µ dv ∫v0 − v2 = ∫0 Rdt v
v dv −µ = R dt
得
dS Q v= dt S t t Rv0 R t d(R + µv0t) ∫0 dS = ∫0 vdt = ∫0 R+ µv0tdt = µ ∫0 R+ µv0t
R + µ v0t S = ln µ R R
几种常见的力(自学) §2-2 几种常见的力(自学)
力 接触力: 接触力: 弹性力和摩擦力 非接触力(场力): 万有引力, 非接触力(场力): 万有引力, 电力和磁力
1. 万有引力
m1m2 F =G 2 r
m1
r
m2
说明: 两个有一定形状大小的物体间的万有引力, 说明: 两个有一定形状大小的物体间的万有引力,是构成物 体所有质点间的引力的合力. 体所有质点间的引力的合力. 重力: 地球对表面物体的万有引力mg 重力: 地球对表面物体的万有引力
大学物理第2章 牛顿运动定律
推论：当你不去追求一个美眉，这个美眉就会待在那里不动。 2、第二定律(F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比)； 推论：当你强烈地追求一个美眉，这个美眉也会有强烈的反应。 评述：这个显然也是错误的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不会动心的。 你的鲜花送得越勤，电话费花得越多，可能对方越是反感，还可能肥了不费力 气的对手。更可能的情况是，当多个人同时在追求一个美眉时，该美眉反而无 动于衷，心想：机会多着呢，再挑一挑。所以，紧了绷，轻了松，火候要拿捏 得好。
mgR 2 F r2
R2 dv mg 2 m 由牛顿第二定律得： r dt 2 dv dv dr dv gR 又 v dr vdv 2 dt dr dt dr r
当r0 = R 时，v = v0，作定积分，得：
v gR 2 R r 2 dr v0 vdv r
故有
k
例题2-4 不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初速 v0最小应取多大，才不再返回地球?
分析：初始条件，r R 时的速度为 v0 只要求出速率方程 v v ( r ) “不会返回地球”的数学表示式为： 当
r 时， v 0
结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问 题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动 方程的第二类运动学问题。 解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg， 物体距地心 r 处引力为F，则有：
说明
1）定义力
2）力的瞬时作用规律
3）矢量性
4）说明了质量的实质 ： 物体惯性大小的量度
5）适用条件：质点、宏观、低速、惯性系
在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
d ( mv x ) Fx dt
第二章-牛顿运动定律
Fi 0
( 静力学基本方程 )
二. 牛顿第二定律
某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上
所有力的合力。
Fi
d(mv) dt
Fi
k
d(mv) dt
取适当的单位，使 k =1 ，则有
Fi
d(mv) dt
dmv dt
m
dv dt
当物体的质量不随时间变化时
Fi
m
dv dt
ma
• 直角坐标系下为
例 一柔软绳长 l ，线密度 ρ，一端着地开始自由下落.
求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力为多少？
解 在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）.
取整个绳为研究对象 设压力为 N
N gl dp p p yv
y
dt
N gl d( yv) dy v gt
dt dt
y
l
d( yv) dyv dv y v 2 yg dt dt dt
• 同时性 —— 相互作用之间是相互依存，同生同灭。
讨论
第三定律是关于力的定律，它适用于接触力。对于非接触的 两个物体间的相互作用力，由于其相互作用以有限速度传播， 存在延迟效应。
§2.2 力学中常见的几种力
一. 万有引力
质量为 m1、m2 ，相距为 r 的 两质点间的万有引力大小为
m1
F12
r r0
l
λΔ lg
T (l)
T
N
f2
四. 摩擦力
1. 静摩擦力 当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止，且沿接触面有 相对运动趋势时，在接触面之间会产生一对阻止上述运动趋 势的力，称为静摩擦力。
说明
静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大 静摩擦力为 fmax=µ0 N ( µ0 为最大静摩擦系数，N 为正压力) 2. 滑动摩擦力 两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现 的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。
牛顿运动定律10
意义:质点运动学——描述一个质点的运动;
质点动力学——解释质点为什么,或者说 在什么条件下做这样和那样的运动.
立足点:力
动力学问题主要围绕力的瞬时效应;时空累 积效应展开,涉及相应的守恒定律.
牛顿定律
动力学的基本定律
一 牛顿定律的理解 二 牛顿定律的应用
内容 结构
要求：1 能用牛顿运动微分方程 求解质点在变力 作用下做直线运动的简单题目。 2 能用微元法求解有质量绳子的平动转动问题
2 2 解: 合外力: F ma m r m (a cos wti b sin wtj )
∴ 合力的冲量为： / 2 / 2 2 I F dt m (a cos wti b sin wtj )dt
0 0
ma sin ti mb costj
v
代入法向方程
N 3mg cos
v an 2 g cos R
2
体会: 用牛顿定律求解单个质点运动的两个重要技巧:
1 运动微分方程式 2 运动数学的变量迭换思想.
质点组题目不单独 做要求！
附1:有质量绳子 平动转动问题 例1 质量为 m 、长为 l 的柔软细绳，一端系着放在光 滑桌面上质量为 m＇ 的物体，在绳的另一端力F ．设绳 的长度不变，质量分布是均匀的．求：(1)绳作用在物 体上的力；(2)绳上任意点的张力．
F F
(1) 它们总是成对出现。它们之间一一对应。 (2) 它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。 (3) 它们一定是属于同一性质的力。
(四) 惯性系与非惯性系 问 题
( 了解)
假如：车厢地面是光滑的： a=0时 小球的状态符合牛顿定律 a≠0时 小球的状态为什麽不符合牛顿定律？ 结论：在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为惯 性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。 而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。
大学普通物理学-二-牛顿运动定律
第二章牛顿运动定律一、选择题1.关于惯性有下面四种说法，正确的为（）。
A.物体静止或作匀速运动时才具有惯性B.物体受力作变速运动时才具有惯性C.物体受力作变速运动时才没有惯性D.惯性是物体的一种固有属性，在任何情况下物体均有惯性1.【答案】D。
解析：本题考查对惯性的正确理解。
物体的惯性是物体的自然固有属性，与物理的运动状态和地理位置没有关系，只要有质量的物体都有惯性，质量是一个物体惯性大小的量度，所以本题答案为D。
2.下列四种说法中，正确的为（）。
A.物体在恒力作用下，不可能作曲线运动B.物体在变力作用下，不可能作曲线运动C.物体在垂直于速度方向，且大小不变的力作用下作匀速圆周运动D.物体在不垂直于速度方向的力作用下，不可能作圆周运动2.【答案】C。
解析：本题考查的是物体运动与受力的关系物体的运动受初始条件和受力共同影响，物体受恒力作用但仍然可以作曲线运动，比如平抛运动.对于圆周运动需要有向心力，向心力是改变物体速度方向，当一个物体只受向心力作用时则作匀速圆周运动，所以C选项是正确的。
3.一质点从t=0时刻开始，在力F1=3i+2j（SI单位）和F2=-2i-t j（SI单位）的共同作用下在Oxy平面上运动，则在t=2s时，质点的加速度方向沿（）。
A.x轴正向B.x轴负向C.y轴正向D.y轴负向3.【答案】A。
解析：合力F=F1+F2=i+（2-t）j，在t=2s时，力F=i，沿x轴正方向，加速度也沿同一方向。
4.一人肩扛一重量为P的米袋从高台上往下跳，当其在空中运动时，米袋作用在他肩上的力应为（）。
A.0B.P/4C.PD.P/24.【答案】A。
解析：米袋和人具有相同的加速度，因此米袋作用在他肩上的力应为0。
5.质量分别为m1、和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连接后置于水平桌面上，滑块与桌面间的滑动摩擦因数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图2-1所示。
如突然撤销拉力，则撤销后瞬间，二者的加速度a A和a B，分别为（）。
物理学中的动力学方程及其解析方法
物理学中的动力学方程及其解析方法动力学方程是描述物体运动规律的数学模型。
在物理学中，动力学方程常常用于研究物体的力学、电磁学、热力学、量子力学等各个领域。
本文将介绍一些常见的动力学方程及其解析方法，以帮助读者更好地理解和应用这些方程。
一、牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体受力运动的基本原理，它表达了物体的加速度与物体所受力的关系。
根据牛顿第二定律，物体的加速度等于作用在其上的合力与物体的质量之比。
数学表达式为F = ma，其中F表示合力，m表示质量，a表示加速度。
解析方法：对于简单的力学问题，可以通过代入合适的数值计算出物体的加速度。
而对于更复杂的问题，常常需要借助微积分的方法进行求解。
例如，当合力F 是关于时间t的函数时，可以通过对合力关于时间的函数进行积分，得到物体的速度v随时间的变化规律。
再通过对速度关于时间的函数进行积分，求解出物体的位移x随时间的变化规律。
这样就可以得到物体运动的完整描述。
二、电磁学中的动力学方程在电磁学中，动力学方程描述了电荷或电流在电磁场中的运动规律。
其中最著名的方程为麦克斯韦方程组，它包含了电场和磁场的运动方程。
解析方法：对于麦克斯韦方程组，通常采用数值解法或数值模拟方法求解。
利用有限差分法、有限元法等数值方法，可以将麦克斯韦方程组离散化为一系列的代数方程，然后通过计算机进行求解。
这种方法在计算电磁波传播、电磁场分布等问题上具有广泛的应用。
三、热力学中的动力学方程热力学中的动力学方程描述了物质内部热力学量的变化规律。
最基本的动力学方程为能量守恒定律，它表明系统能量的变化等于能量输入与能量输出之差。
解析方法：对于一些简单的热力学系统，可以通过分析能量输入与输出的关系，得到系统内部热力学量的变化规律。
而对于一些复杂的系统，常常需要借助数学模型和计算方法进行求解。
例如，用偏微分方程描述的热传导问题，可以通过数值解法或数值模拟方法求解。
通过将热传导方程离散化为差分方程，然后通过计算机进行求解，得到系统内部温度的变化规律。
牛顿运动定律微分方程
牛顿运动定律微分方程一、引言牛顿运动定律是描述物体在力作用下运动规律的基本定律，而微分方程则是数学工具中描述变化和关系的重要方法之一。
本文将结合牛顿运动定律，探讨其微分方程形式及其应用。
二、牛顿运动定律回顾牛顿运动定律是牛顿力学的核心内容，包括三个定律：1. 第一定律，也称为惯性定律，指出物体在没有外力作用时保持匀速直线运动或静止状态。
2. 第二定律，也称为运动定律，表明物体受到的力与其加速度成正比，且与物体的质量成反比。
3. 第三定律，也称为作用-反作用定律，指出两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
三、牛顿运动定律的微分方程形式根据牛顿运动定律可推导出微分方程形式，以描述物体在力作用下的运动。
1. 对于一维运动，根据第二定律可得到：F = ma = m(dv/dt)，其中F为作用在物体上的力，m为物体的质量，a为物体的加速度，v为物体的速度，t为时间。
该方程可以进一步变换为：F = m(d^2x/dt^2)，其中x为物体的位移。
这是物体在一维情况下的牛顿运动定律微分方程形式。
2. 对于二维或三维运动，可将物体的运动分解为各个方向上的独立运动，并分别应用牛顿运动定律得到相应的微分方程。
四、牛顿运动定律微分方程的应用牛顿运动定律微分方程在物理学和工程学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 力学研究：通过解牛顿运动定律微分方程，可以研究物体在不同力作用下的运动规律，例如自由落体、抛体运动等。
2. 振动系统：振动系统中的物体受到弹簧力或重力的作用，可以通过牛顿运动定律微分方程描述其振动过程，如简谐振动、受阻尼力作用的振动等。
3. 电路分析：电路中的元件受到电压和电流的作用，可以通过牛顿运动定律微分方程描述电路中元件的响应，如电感、电容和电阻等元件的电流和电压关系。
4. 控制系统：控制系统中的物体受到外部控制力的作用，可以通过牛顿运动定律微分方程描述其动态响应，如机械控制系统、自动驾驶系统等。
运动微分方程的解
积分因子法
积分因子法的基本思想
通过引入一个适当的积分因子，将运动微分方程化为一阶线性微分方 程的标准形式，从而利用已知的求解方法求得未知函数的解析式。
积分因子法的适用条件
适用于一阶线性微分方程以及部分可化为一阶线性微分方 程的方程。
积分因子法的求解步骤
先根据运动微分方程的形式确定积分因子，然后将方程两边同乘以积分因 子并整理为标准形式，最后利用已知的求解方法求得未知函数的解析式。
意义
研究运动微分方程对于深入理解物体运动的本质和规律具有重要意义。同时，运动微分方程的求解方法也为解决 其他领域的实际问题提供了有力的数学工具。通过掌握运动微分方程的求解方法，可以培养数学思维和解决问题 的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
02
运动微分方程的建立
运动学基本方程
位移方程
描述物体位置随时间变化的方程， 通常表示为 $x(t)$。
速度方程
描述物体速度随时间变化的方程， 通过对位移方程求导得到，表示为 $v(t) = frac{dx(t)}{dt}$。
加速度方程
描述物体加速度随时间变化的方程， 通过对速度方程求导得到，表示为 $a(t) = frac{dv(t)}{dt}$。
动力学基本方程
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比，表示为 $F = ma$。
VS
求解方法
通解的求解通常涉及到微分方程的解法， 如分离变量法、积分因子法、常数变易法 等。通过这些方法，可以得到包含任意常 数的通解表达式。
特解与通解的关系
特解与通解的联系
特解是通解在特定条件下的一个特例，即当通解中的任意常数取特定值时，通解就变成 了特解。
特解与通解的区别
牛顿恒等式
牛顿恒等式牛顿恒等式，也称为牛顿第二定律，是经典力学中最重要的物理方程之一。
它描述了物体的动力学性质，是解决物体运动和力学问题的基本工具之一。
本文将详细介绍牛顿恒等式，以及它在物理学中的应用。
牛顿恒等式是由英国科学家艾萨克·牛顿在17世纪提出的。
它的数学表达式为F=ma，其中F代表物体所受到的力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
这个等式揭示了物体运动的基本规律，即物体的加速度与作用在其上的力成正比，质量的大小则决定了对同样力的响应程度。
通过对牛顿恒等式的解读，我们可以得到许多关于物体运动的有趣结论。
首先，如果一个物体所受的力为零，根据等式，它的加速度也将为零，即物体将保持静止或以恒定速度匀速运动。
其次，如果一个物体所受的力不为零，那么加速度将与力的大小成正比，与质量的大小成反比。
也就是说，同样大小的力作用在质量较小的物体上，将产生更大的加速度，而作用在质量较大的物体上，将产生较小的加速度。
牛顿恒等式在解决物体运动问题时具有广泛的应用。
例如，当我们研究一个物体的速度和位移随时间的变化关系时，可以通过对牛顿恒等式进行积分，得到物体的运动方程。
利用这个方程，我们可以准确地描述物体在各种力的作用下的运动轨迹。
牛顿恒等式也为物体的力学性质提供了一种度量标准。
通过测量物体所受的力和产生的加速度，我们可以计算出其质量。
这种使用牛顿恒等式来测量物体质量的方法被称为动态法，它在实验物理学中有着重要的应用。
除了在经典力学中的应用，牛顿恒等式也在其他领域发挥着重要的作用。
例如，在工程学中，我们可以利用牛顿恒等式来计算机械系统的稳定性和强度。
在天文学中，牛顿恒等式也被用来研究行星、卫星和彗星等天体的运动。
当然，这只是牛顿恒等式应用领域的一小部分，它在物理学的各个领域中都有丰富的应用。
通过对牛顿恒等式的深入研究，我们可以更好地理解物体的运动规律和力学性质。
牛顿恒等式不仅是经典力学的基石，而且为现代物理学的发展奠定了坚实的基础。
大学物理 第二章牛顿运动定律
赵 承 均
万有引力定律 任意两质点相互吸引，引力的大小与两者质量乘积成正比， 任意两质点相互吸引，引力的大小与两者质量乘积成正比，与其距离的 平方成反比，力的方向沿着两质点连线的方向。 平方成反比，力的方向沿着两质点连线的方向。
r m1m2 r F = −G 3 r r
赵 承 均
&& mx = p sin ωt
o
v Fx
x
x
即：
m
dv = p sin ωt dt
重 大 数 理 学 院
r r F ( t ) = ma ( t ) r & = mv ( t ) r && ( t ) = mr
此微分形式表明：力与加速度成一一对应关系。 此微分形式表明：力与加速度成一一对应关系。
赵 承 均
牛顿第二定律适用于质点，或通过物理简化的质点。 牛顿第二定律适用于质点，或通过物理简化的质点。 牛顿第二定律适用于宏观低速情况， 牛顿第二定律适用于宏观低速情况，而在微观 ( l ≤ 1 0 − 1 0 m 情况与实验有很大偏差。 高速 ( v ≥ 1 0 − 2 c ) 情况与实验有很大偏差。 牛顿第二定律适用于惯性系，而对非惯性系不成立。 牛顿第二定律适用于惯性系，而对非惯性系不成立。
赵 承 均
牛顿第二定律 在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比， 在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比， 与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。
r r F = ma
在国际单位中，质量的单位为kg（千克），长度的单位为m 在国际单位中，质量的单位为kg（千克），长度的单位为m（米）， kg ），长度的单位为 时间的单位为s ），这些是基本单位。力的单位为N 牛顿）， 这些是基本单位 ），是 时间的单位为s（秒），这些是基本单位。力的单位为N（牛顿），是导 出单位： 出单位： =1kg× 1N =1kg×1m/s2
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3.1. 基本的 MD 算法 (微正则系综，constant NVE）
➢ 把原子看作经典质点，解牛顿运动方程。 ➢ 运动方程的积分：不用考虑计算速度，关键是精度和长时间稳定性。常用的 有 velocity Verlet 算法，Leap Frog 算法，predictor-corrector 算法等等。 ➢ 常用的 MD 软件：DL_POLY, LAMMPS, GROMACS, NAMD, AMBER, CHARMM 等等。
3.2. 其它系综下的 MD 算法
➢ 正则系综 (constant NVT) Thermostats: isokinetics, Berendsen, Andersen, Nosé-Hoover
➢ 等压-等温系综 (constant NPT)
热耦（Thermostat or Heat Bath)
Isokinetics thermostat: 每一步对速度进行修正，得到需要的温度。
3
1
2 NkBT 2
i
mi vi2
vscale i
vi ,
T T0
Berendsen thermostat：
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
t
T
T
T0
2 1
Andersen thermostat: 每一步从温度为T的Maxwell-Boltzmann分布中随机产 生一个速度赋予被选中的粒子。
Nosé-Hoover thermostat: 增加额外的自由度，在扩展的微正则系综内实现 实际体系的正则系综。