19代数学基础(3)同态基本定理PPT课件

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循环群
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循环群
• 定义: 群G是称为一个循环群, 如果存在a∈G, 对任意的b ∈G, 都存在整数i , 使得b=ai. a称 为G的生成元. G称为由a生成的群.
• 记为G=<a>
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例子(1)
• Zn • Zn=<1>
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例子(2)
• Zp*, p是一个素数.
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例子(3)
Z7*
• 群G/N称为G关于其正规子群N的商群.
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群同态基本定理
• 定理: 设f: G1→G2是群的满同态映射, 记 Ker(f) = {a∈G1|f(a)=e, e为G2的单位元}, 那么:
1.Ker(f)⊳G1; 2.Leabharlann Baidu1/Ker(f) ≌ G2.
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例子
• f: Z →Zn, f(a) = a modn • ker(f)=nZ • Z/nZ≌ Zn
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例2
• H = {(1), (123), (321)} • H ⊳ S3
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正规子群的判定
• N⊳G, 当且仅当对于任意的a∈G和n∈N, a-1na∈N.
证明: N⊳G
⇔ ∀a ∈G, aN=Na ⇔ ∀a ∈G, a-1Na=N ⇔ ∀a ∈G, a-1Na⊆N
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商群
• N⊳G, G/N = {aN|a∈G}, 定义(aN)(bN) = (ab)N, 那么G/N构成群.
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群同态基本定理
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群的同态与同构
• 如果存在群G到G’的映射f, 满足 f(ab)=f(a)f(b), 那么称f是G到G’的同态映射;
• 如果f是一个满射, 那么称G和G’同态, 记为G ～ G’;
• 如果f是一个双射, 那么称G和G’同构, 记为G ≌G’.
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能否对一般的子群定义商群?
• H≤G • 定义: (aH)(bH) = (ab)H ?
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循环群的结构
定理: 设G是由a生成的循环群, 则 1.若ord(a)=∞, 则G≌(Z, +); 2.若ord(a)=n, 则G≌(Zn, +).
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循环群的性质
• 循环群的子群为循环群; • 设G=<a>是一个m阶循环群, k是一个正整数,
则ord(ak) = m/(k,m).
提问与解答环节
• 定义是否合理? aH = a’H , bH = b’H ⇒? (ab)H = (a’b’)H
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正规子群
• 若H≤G, 且对任意的a∈G, 均有aH = Ha, 则称H是G的正规子群, 记为H⊳G.
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例1
• H = {(1), (12)}是对称群S3的子群 • H ⊳ S3 ?
• (13)H = {(13), (123)} • H(13) = {(13), (132)} • H不是S3的正规子群
Questions And Answers
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谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal