电路函数公式

单位冲激函数又称为狄拉克函数

δ( − x) = δ(x)

δ(ax) = | a | − 1δ(x)

xδ(x) = 0,xδ(x − a) = aδ(x − a)

δ(x2 − a2 = (2 | a | ) − 1[δ(x + a) + δ(x − a)]

1.5.1 单位斜变信号

斜变信号是从某一时刻开始随时间成正比例增加的信号。斜变信号也称斜坡信号或斜升信号。若增长的变化率为1，就称为单位斜变信号，其表达式为

其波形如图a所示：

(a) (b)

单位斜变信号(a)和截顶的单位斜变信号(b)的波形

单位斜变信号是理想信号，是不可实现的。现实中常见的充电过程可以理想化地表示为截顶的单位斜变信号，其波形如图b, 表达式为

1.5.2 单位阶跃信号

单位阶跃信号u(t)的函数表达式为

其波形如图所示。

单位阶跃信号的波形

单位阶跃函数的物理背景是，在t=0时刻对某一路电路接入单位电源，并且无限持续下去。如果接入电源的时间推迟到t=t0 时刻（t0>0），我们就可以用一个延时的单位阶跃函数来表示。其波形如图

延时的单位阶跃信号的波形

单位斜变信号R(t)与单位阶跃信号U(t)之间的关系为

为了书写方便常常利用阶跃信号与其延时信号之差来表示矩形脉冲,表达式为

R(t)=u(t)-u(t-T)

其波形如图

1.5.3 单位矩形脉冲信号

宽度为t、中心位于原点的单位矩形脉冲信号的表达式为：

其波形如图所示。

单位矩形脉冲信号的波形

显然，利用信号运算，单位矩形脉冲信号以用单位阶跃函数来表示：

在矩形脉冲信号中，有几个概念比较常用。

（1）脉宽：即矩形脉冲的宽度(非零区间的宽度)，简称为脉宽。

（2）脉高：即矩形脉冲的高度，简称脉高。

显然，单位矩形脉冲信号的脉高为1。

有时，我们也称矩形脉冲信号为矩形窗信号、门信号等。

1.5.4 符号函数

符号函数简写作sgn(t)，其定义为：

其波形如下图所示：

符号函数的波形

符号函数在零点处有跳变，可以不定义符号函数信号在该点的取值，也可以规定取值为sgn(0)=0。

1.5.5 单位冲激信号

单位冲激信号又可称为冲激函数、d函数或狄拉克函数等，其符号常记为d(t)。单位冲激信号反映一种持续时间极短、函数值极大的信号类型。而某些物理现象正需要这样的函数模型来描述。如电学中的雷击电闪、数字通信中的抽样脉冲、力学中的瞬间作用的冲击力等。"冲激函数"的概念正是以这类实际问题为背景而引出的。

大家可以思考一下，还有什么样的物理现象也要用冲激函数来描述？

这种特殊的函数，其定义也是特殊的。下面我们来看看如何定义单位冲激信号。

冲激函数可由不同的定义方式来定义。

(1) 狄拉克定义法

大家要注意，在上面的定义中，两个部分是一个整体，不能分开。

它是狄拉克最初提出并定义的，所以又称狄拉克函数。定义式表示集中在t=0的面积为1的冲激，这是工程上的定义，由于它不是普通函数，因此从严格的数学意义来说，它是一个颇为复杂的概念。然而为了应用，并不强调其数学上的严谨性，而只强调使运算方便。

冲激信号的一个重要标志是它的积分值。而关于它的形状的精确细节，则是无关紧要的。

为了对有一个直观的认识，可将看成某些普通函数的极限来定义。

(2) 规则函数取极限定义法

1. 用矩形脉冲：

2. 用三角形脉冲：

3. 用钟形脉冲：

还可以用双边指数脉冲、Sa(t)信号的极限来定义冲激函数。同学们可以自己试着写出用这些函数的极限定义的冲激函数定义式。

上述两种定义方法，从数学上讲都是不够严格的。要准确理解函数的意义，需要借助于分配函数的理论。用分配函数或广义函数的概念来研究奇异信号，就可以给出严格的数学定义，而且其一系列有关的性质也有严格的数学证明。关于这部分内容，不在本课程的要求范围内。有兴趣的同学可以自己参考有关的书籍。

那么，冲激函数有哪些性质呢？下面我们来看看冲激函数的一些重要性质。这些性质，我们在后面学习的过程中，会经常用到，希望同学们能深刻理解这些性质。

单位冲激信号有下面一些重要性质：

(1) 对称性：

是偶函数，即，函数关于纵轴是对称的。

所以才把这条性质称为"对称性"。

(2) 时域压扩性：

可见，经过尺度变换后的结果仍是一个冲激函数。这条性质需要用到单位冲激函数的定义来证明。

(3) 与u(t)的关系

单位阶跃信号和单位冲激信号是微分与积分的关系。由的定义，可得：

两边进行微分运算，可得：

由该式我们可以看出，正是由于引入了单位冲激函数，对于那些存在间断点的信号，函数在间断点处的导数也是可以表示出来的。

另外，单位冲激信号还有两个有着非常重要的用途的特性：

(1) 抽样特性：

连续时间信号f(t)与冲激信号d(t)相乘，并在整个时间范围内取积分，可以得到信号f(t)在t0（冲激发生的时刻）的函数值，也即将信号在该点的取值筛选出来了。

所以，有时也将这个特性称为"筛选特性"。

(2) 搬移特性：

连续时间信号f(t)与冲激信号进行卷积，等价于把该连续信号f(t)平移(搬移)到冲激信号

的冲激发生的时刻(冲激点所在位置)。

所以，将该性质称为搬移特性。