第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论3
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极轴：过极点P1的子午线P1N
极径：P1P的大地线长S
极角：大地线在极点的大
地方位角
A
P
S
P1
椭球面上点P(S,A)
2、Concept of the Problem
① The derivation of the problem
1） 从一已知点测得一未知点的 平距d12和方位角T12，求未知点 的坐标及方位角。
M1 R1 A M R
A M1 M R1 R
sin1 sin Lsin
M
M1 M Lsin
m
R '1
A Lsin sin A cos A cot z1
R1 1
R
R1 R sin A cos Acot z1 1
Z
A Z'
R Z1
r N cos B M sin BdB dr
3、贝塞尔大地问题解算公式
① 大地线克莱劳方程
dA sin A dr cos A r
r cosAdA sin Adr 0
r sin A C
对于球M＝N＝R亦成立
N
P'
B MdB
r
dr P
P ''
N B
K
球面上的大圆弧亦 满足克莱劳方程
3、贝塞尔大地问题解算公式
M 0.13m
mx my 0.09m
若用大地坐标表示，当B＝45°时有：
mL
N
my cos
B
''
0.004 ''
mB
mx M
''
0.003''
要求：一等三角测量中，要求大地经、纬度应计
算到0.0001″，大地方位角计算至0.001″。
对于导航应用来说，大地经、纬度和大地方位 角只要计算到0.1″，解算距离精度至10m即可。
R1
1
90o
u
G
L
P
B
M1
O
M
M2
O'
sin sin Lcos
6、天文方位角与大地方位角的关系
A Lsin
A Lsin 拉普拉
sin A cos A cot z1
tan 斯方程
Lsin 是将天文北方向化为大地北方向的改正，
它仅与点的位置有关，对某一测站这项改正是一常量
Foundation of Geodesy
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
（3）
5、天文经纬度和大地经纬度的关系
Formula of deflection of the vertical
B
前提条件：
Q
1) 椭球短轴与地
Z Z'
G
u
L
Z1 90o
P
球自转轴平行
Q1
2) 起始大地子午
A
mS 1: 200, 000 S
mA 1''
mA 1
'' 206265
取S＝20km，则P点的 点位中误差M为：
M
ms S
S
2
mA
2
S
0.139m
设P点的纵横坐标误差 相等，则有：
M
mx my
0.098m 2
⑤ Precision
顾及一等锁系平差后点位精度还能稍有提高，取：
④ 贝塞尔微分方程的解
3、贝塞尔大地问题解算公式
N
① 大地线克莱劳方程
dB cos A dS M
dS M dB cos A
dL sin A sec B
dS N dA sin A tan B
dA sin Asin B dS N cosB
dS N
K
P'
B MdB
r
dr P
P ''
N B
dA sin A M sin BdB cos A N cos B
dB cos A dS M dL sin A sec B dS N dA sin A tgB dS N
d2A dS 2
d dS
sin A N
tgB
• A • B
A S B S
2、Concept of the Problem
④ Basic method of solution of the geodetic problem
A sin Lcos
上式中蓝色部分极小，通常不考虑。所以可以认为ΔA 只与各点独立的天文方位角和天文经度的测2 m2 sin2
30o
m 0.5'' mA 0.6 ''
m
0.3
''
6、天文方位角与大地方位角的关系
面与起始天文子
B
午面平行
5、天文经纬度和大地经纬度的关系
Formula of deflection of the vertical
cos L cot B tan sin sin Lcos Q
B
Z Z'
G
u
L
Z1 90o
P
sin L L
cos L 1
Q1
A
sin
已知P1点的大地坐标（L1， B1），P1至P2点的大地线长 S和大地方位角A1，
要求算出P2点的大地坐标 （L2，B2）及大地线在P2 点处的反方位角A2。
A1
S
P1(L1, B1)
N
A2 P2(L2, B2)
L1， B1， S， A1
L2，B2，A2
② Definition
Inverse solution of the geodetic problem：
地面观 测元素
归算
方向 距离 天文方位角
地面点水平坐标的确定
椭球面上 的元素
方向 归算 距离 大地方位角
高斯平面 上的元素
方向 距离 坐标方位角
概算
概算
大地坐标（L，B）
平面坐标（x，y）
平差
平差 控制网点坐标
1、Polar Geodetic Coordinate System
极点：椭球面上某已知点 N
2）已知两点的高斯平面直角坐 标P1(x1 y1), P2(x2 y2), 求两点间 的平距d12，正反方位角T12，T21
d12 (x2 x1)2 (y2 y1)2
tan T12
y2 x2
y1 x1
T21 T12 180
x
T21
T12
d12 P2(x2,y2)
P1(x1,y1) y
① 大地线克莱劳方程
r sin A C
公式含义：椭球面上，大地线上各点的平行圈
半径与该点大地线方位角的正弦之积为一常数；
推论：在球面上，大圆弧上各点的平行圈半径与 该点大圆弧方位角的正弦之积为一常数；
满足克莱劳方程是大地线的必要条件，但不是充分条件
① 大地线克莱劳方程
C：大地线常数。一条大地线 有它确定的常数C，而一定的 常数C又决定着一条大地线
oundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodes
大地测量学基础
Foundation of Geodesy
大地测量学基础
oundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodes
Relation between Astronomical Azimuth and Geodetic Azimuth
拉普拉斯点：观测了天文经纬度和方位角的大地点 拉普拉斯方位角：通过拉普拉斯方程将天文方
位角归算的大地方位角
性质：大地坐标和天文纬度的误差对拉普拉斯方
位角的影响较小，可不予考虑。通常认为其只与 天文方位角和天文经度的精度有关。
Preview （Some Question）
1、什么是大地极坐标，它是如何表示 一点的位置的？
N
A
P
S
P1
椭球面上 点P(S,A)
Preview （Some Question）
2、什么是大地问题计算？
在椭球面上推算点的大地坐标，或者根据 两点的大地坐标计算大地线长和大地方位 角，这样的计算问题就叫做大地问题解算 （The solution of the Geodetic problem）。
1）以大地线的三个微分方程为理论基础，直接 在地球椭球面上进行积分运算
B2
B1
dB dS
1
S
d2B dS 2
1
S2 2
L
L2
L1
dL dS
1
S
d2L dS 2
1
S2 2
L
A2
m180o
A1
dA dS 1
S
d2A dS 2
1
S2 2
L
勒让德级数，如以大地线中点展 开级数则得高斯平均引数公式
B
B
Lcos
5、天文经纬度和大地经纬度的关系
Formula of deflection of the vertical
地面点垂线偏差的确定：综 合天文、大地和重力资料获 得。天文大地垂线偏差
天文经纬度归算公式：
B
Lcos
B L sec
6、天文方位角与大地方位角的关系
Preview （Some Question）
3、大地问题解算的实质 是什么？
① 是椭球面上极三角 90 B1 形的解算
② 大地坐标与大地极
A1
S
坐标的相互化算
P1(L1, B1)
N
l
L
2
L1 90
B2
A2 P2(L2, B2)
3、贝塞耳大地问题解算公 式
① 大地线克莱劳方程
② 归化纬度
③ 基本原理
作用：三角锁网的起始方位角，控制三角锁网
的方位误差
大地坐标系与大地极坐标系的关系
oundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodes
大地极坐标系 大地问题解算的概念 贝塞尔大地问题解算公式 贝塞尔大地问题正解计算 贝塞尔大地问题反解计算
误差分析—大地坐标误差的影响
B
A Lsin Bsin A Lcos cos A tan L cos
可见只要大地坐标的精度取在10m（0.3″）以内，则 大地坐标误差的影响可以忽略。
6、天文方位角与大地方位角的关系（Laplace equation ）
A Lsin tan 误差分析—天文经纬度和天文方位角影响
2、Concept of the Problem
② Definition
在椭球面上推算点的大地坐标，或者根据 两点的大地坐标计算大地线长和大地方位 角，这样的计算问题就叫做大地问题解算 （The solution of the Geodetic problem）。
② Definition
Direct solution of the geodetic problem：
④ Basic method of solution of the geodetic problem
4）依据大地线外的其它线（弦线、法截 线）为基础。
5）利用地图投影理论解算大地问题；
⑤ Precision
原则：保证由公式引起的计算误差，不再
影响野外测量和平差结果的实际精度
P
由一等锁段平差结果可知：
2) 大地坐标与大地极 坐标的相互化算
L1，B1，S， A1
90 B1
N
l
L
2
L1 90
B2
A1
S
A2 P2(L2, B2)
P1(L1, B1)
L2，B2，A2
L1，B1，L2，B2
S， A1，A2
④ Basic method of solution of the geodetic problem
x12 d12 cosT12
y12 d12 sin T12
x2 x1 x12
y2 y1 y12
T12 T12 180
x
T21
T12
d12 P2(x2,y2)
P1(x1,y1) y
2、Concept of the Problem
① The derivation of the problem
已知P1点和P2点的大地坐标 （L1，B1），（L2，B2）
计算两点间的大地线长S 及正反大地方位角A1，A2
A1
S
P1(L1, B1)
N
A2 P2(L2, B2)
L1，B1，L2, B2
S, A1, A2
2、Concept of the Problem
③ Essence
1) 是椭球面上极三角 形的解算
3）对大地线微分方程进行数值积分的解法；
dB cos A dS M
dL sin A sec BdS N
dA sin A tan BdS N
P2 cos A
B2 B1
P1
M
dS
P2 sin A
L2 L1
P1
N
sec BdS
P2 sin A
A2 A1 P1
N
tan BdS
2、Concept of the Problem
2）以大地线的三个微分方程与大地线克莱 劳方程为基础，将椭球面上的元素转换 到辅助球面上，在球面上进行解算，而 后再把解算结果转换至椭球面上。
代表公式：Bessel Formula
2、Concept of the Problem
④ Basic method of solution of the geodetic problem
极径：P1P的大地线长S
极角：大地线在极点的大
地方位角
A
P
S
P1
椭球面上点P(S,A)
2、Concept of the Problem
① The derivation of the problem
1） 从一已知点测得一未知点的 平距d12和方位角T12，求未知点 的坐标及方位角。
M1 R1 A M R
A M1 M R1 R
sin1 sin Lsin
M
M1 M Lsin
m
R '1
A Lsin sin A cos A cot z1
R1 1
R
R1 R sin A cos Acot z1 1
Z
A Z'
R Z1
r N cos B M sin BdB dr
3、贝塞尔大地问题解算公式
① 大地线克莱劳方程
dA sin A dr cos A r
r cosAdA sin Adr 0
r sin A C
对于球M＝N＝R亦成立
N
P'
B MdB
r
dr P
P ''
N B
K
球面上的大圆弧亦 满足克莱劳方程
3、贝塞尔大地问题解算公式
M 0.13m
mx my 0.09m
若用大地坐标表示，当B＝45°时有：
mL
N
my cos
B
''
0.004 ''
mB
mx M
''
0.003''
要求：一等三角测量中，要求大地经、纬度应计
算到0.0001″，大地方位角计算至0.001″。
对于导航应用来说，大地经、纬度和大地方位 角只要计算到0.1″，解算距离精度至10m即可。
R1
1
90o
u
G
L
P
B
M1
O
M
M2
O'
sin sin Lcos
6、天文方位角与大地方位角的关系
A Lsin
A Lsin 拉普拉
sin A cos A cot z1
tan 斯方程
Lsin 是将天文北方向化为大地北方向的改正，
它仅与点的位置有关，对某一测站这项改正是一常量
Foundation of Geodesy
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
（3）
5、天文经纬度和大地经纬度的关系
Formula of deflection of the vertical
B
前提条件：
Q
1) 椭球短轴与地
Z Z'
G
u
L
Z1 90o
P
球自转轴平行
Q1
2) 起始大地子午
A
mS 1: 200, 000 S
mA 1''
mA 1
'' 206265
取S＝20km，则P点的 点位中误差M为：
M
ms S
S
2
mA
2
S
0.139m
设P点的纵横坐标误差 相等，则有：
M
mx my
0.098m 2
⑤ Precision
顾及一等锁系平差后点位精度还能稍有提高，取：
④ 贝塞尔微分方程的解
3、贝塞尔大地问题解算公式
N
① 大地线克莱劳方程
dB cos A dS M
dS M dB cos A
dL sin A sec B
dS N dA sin A tan B
dA sin Asin B dS N cosB
dS N
K
P'
B MdB
r
dr P
P ''
N B
dA sin A M sin BdB cos A N cos B
dB cos A dS M dL sin A sec B dS N dA sin A tgB dS N
d2A dS 2
d dS
sin A N
tgB
• A • B
A S B S
2、Concept of the Problem
④ Basic method of solution of the geodetic problem
A sin Lcos
上式中蓝色部分极小，通常不考虑。所以可以认为ΔA 只与各点独立的天文方位角和天文经度的测2 m2 sin2
30o
m 0.5'' mA 0.6 ''
m
0.3
''
6、天文方位角与大地方位角的关系
面与起始天文子
B
午面平行
5、天文经纬度和大地经纬度的关系
Formula of deflection of the vertical
cos L cot B tan sin sin Lcos Q
B
Z Z'
G
u
L
Z1 90o
P
sin L L
cos L 1
Q1
A
sin
已知P1点的大地坐标（L1， B1），P1至P2点的大地线长 S和大地方位角A1，
要求算出P2点的大地坐标 （L2，B2）及大地线在P2 点处的反方位角A2。
A1
S
P1(L1, B1)
N
A2 P2(L2, B2)
L1， B1， S， A1
L2，B2，A2
② Definition
Inverse solution of the geodetic problem：
地面观 测元素
归算
方向 距离 天文方位角
地面点水平坐标的确定
椭球面上 的元素
方向 归算 距离 大地方位角
高斯平面 上的元素
方向 距离 坐标方位角
概算
概算
大地坐标（L，B）
平面坐标（x，y）
平差
平差 控制网点坐标
1、Polar Geodetic Coordinate System
极点：椭球面上某已知点 N
2）已知两点的高斯平面直角坐 标P1(x1 y1), P2(x2 y2), 求两点间 的平距d12，正反方位角T12，T21
d12 (x2 x1)2 (y2 y1)2
tan T12
y2 x2
y1 x1
T21 T12 180
x
T21
T12
d12 P2(x2,y2)
P1(x1,y1) y
① 大地线克莱劳方程
r sin A C
公式含义：椭球面上，大地线上各点的平行圈
半径与该点大地线方位角的正弦之积为一常数；
推论：在球面上，大圆弧上各点的平行圈半径与 该点大圆弧方位角的正弦之积为一常数；
满足克莱劳方程是大地线的必要条件，但不是充分条件
① 大地线克莱劳方程
C：大地线常数。一条大地线 有它确定的常数C，而一定的 常数C又决定着一条大地线
oundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodes
大地测量学基础
Foundation of Geodesy
大地测量学基础
oundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodes
Relation between Astronomical Azimuth and Geodetic Azimuth
拉普拉斯点：观测了天文经纬度和方位角的大地点 拉普拉斯方位角：通过拉普拉斯方程将天文方
位角归算的大地方位角
性质：大地坐标和天文纬度的误差对拉普拉斯方
位角的影响较小，可不予考虑。通常认为其只与 天文方位角和天文经度的精度有关。
Preview （Some Question）
1、什么是大地极坐标，它是如何表示 一点的位置的？
N
A
P
S
P1
椭球面上 点P(S,A)
Preview （Some Question）
2、什么是大地问题计算？
在椭球面上推算点的大地坐标，或者根据 两点的大地坐标计算大地线长和大地方位 角，这样的计算问题就叫做大地问题解算 （The solution of the Geodetic problem）。
1）以大地线的三个微分方程为理论基础，直接 在地球椭球面上进行积分运算
B2
B1
dB dS
1
S
d2B dS 2
1
S2 2
L
L2
L1
dL dS
1
S
d2L dS 2
1
S2 2
L
A2
m180o
A1
dA dS 1
S
d2A dS 2
1
S2 2
L
勒让德级数，如以大地线中点展 开级数则得高斯平均引数公式
B
B
Lcos
5、天文经纬度和大地经纬度的关系
Formula of deflection of the vertical
地面点垂线偏差的确定：综 合天文、大地和重力资料获 得。天文大地垂线偏差
天文经纬度归算公式：
B
Lcos
B L sec
6、天文方位角与大地方位角的关系
Preview （Some Question）
3、大地问题解算的实质 是什么？
① 是椭球面上极三角 90 B1 形的解算
② 大地坐标与大地极
A1
S
坐标的相互化算
P1(L1, B1)
N
l
L
2
L1 90
B2
A2 P2(L2, B2)
3、贝塞耳大地问题解算公 式
① 大地线克莱劳方程
② 归化纬度
③ 基本原理
作用：三角锁网的起始方位角，控制三角锁网
的方位误差
大地坐标系与大地极坐标系的关系
oundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodes
大地极坐标系 大地问题解算的概念 贝塞尔大地问题解算公式 贝塞尔大地问题正解计算 贝塞尔大地问题反解计算
误差分析—大地坐标误差的影响
B
A Lsin Bsin A Lcos cos A tan L cos
可见只要大地坐标的精度取在10m（0.3″）以内，则 大地坐标误差的影响可以忽略。
6、天文方位角与大地方位角的关系（Laplace equation ）
A Lsin tan 误差分析—天文经纬度和天文方位角影响
2、Concept of the Problem
② Definition
在椭球面上推算点的大地坐标，或者根据 两点的大地坐标计算大地线长和大地方位 角，这样的计算问题就叫做大地问题解算 （The solution of the Geodetic problem）。
② Definition
Direct solution of the geodetic problem：
④ Basic method of solution of the geodetic problem
4）依据大地线外的其它线（弦线、法截 线）为基础。
5）利用地图投影理论解算大地问题；
⑤ Precision
原则：保证由公式引起的计算误差，不再
影响野外测量和平差结果的实际精度
P
由一等锁段平差结果可知：
2) 大地坐标与大地极 坐标的相互化算
L1，B1，S， A1
90 B1
N
l
L
2
L1 90
B2
A1
S
A2 P2(L2, B2)
P1(L1, B1)
L2，B2，A2
L1，B1，L2，B2
S， A1，A2
④ Basic method of solution of the geodetic problem
x12 d12 cosT12
y12 d12 sin T12
x2 x1 x12
y2 y1 y12
T12 T12 180
x
T21
T12
d12 P2(x2,y2)
P1(x1,y1) y
2、Concept of the Problem
① The derivation of the problem
已知P1点和P2点的大地坐标 （L1，B1），（L2，B2）
计算两点间的大地线长S 及正反大地方位角A1，A2
A1
S
P1(L1, B1)
N
A2 P2(L2, B2)
L1，B1，L2, B2
S, A1, A2
2、Concept of the Problem
③ Essence
1) 是椭球面上极三角 形的解算
3）对大地线微分方程进行数值积分的解法；
dB cos A dS M
dL sin A sec BdS N
dA sin A tan BdS N
P2 cos A
B2 B1
P1
M
dS
P2 sin A
L2 L1
P1
N
sec BdS
P2 sin A
A2 A1 P1
N
tan BdS
2、Concept of the Problem
2）以大地线的三个微分方程与大地线克莱 劳方程为基础，将椭球面上的元素转换 到辅助球面上，在球面上进行解算，而 后再把解算结果转换至椭球面上。
代表公式：Bessel Formula
2、Concept of the Problem
④ Basic method of solution of the geodetic problem