第四章 平面一般力系

方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们 可以利用这个方程来校核计算的结果。
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 如图所示，设物体受平面平行力系 的作用。
平行力系的独立平衡方程的数目 只有两个，即：
或
注：其中A、B两点的连线不得与各力平行。
点O的力
， ，
（平面汇交力系）
附加力偶
（平面力偶系）
分别合成 这两个力系
（原来各力的矢量和）
（原来各力对点O的矩的代数和）
在一般情形下，平面一般力系向作用面内任选一点O简化可得一 个力和一个力偶。
这个力等于该力系的主矢，即平面一般力系中所有各力的矢量 和
作用线通过简化中心O； 这个力偶的矩等了该力系对于点O的主矩，即这些力对于任选简 化中心O的矩的代数和
已知：F=20kN, M=16kN· m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
解：以AB梁为研究对象。
解得：
塔式起重机如图所示。机架重 作用线通过塔 架的中心。最大起重量 ，最大悬臂长为12m，轨道 AB的间距为4m。平衡荷重 ，到机身中心线距离为6m。试问： (1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重 应 为多少?
解得
连杆受压力，大小等于FB 冲头对导轨的侧压力的大小等于FN
(2)以轮I为研究对象。
解得
负号说明，力 FOx 、 FOy的方向与图示假设的方向相反。
如图所示的组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插 入墙内，B处为滚动支座。己知：F＝20kN，均布载荷q＝ 10kN／m，M＝20 ，l＝1m。试求插入端A及滚动支座B的 约束反力。 解：先以整体为研究对象。
。
力系对点O的主矩为
§4-4 简化结果分析 合力矩定理
1．平面任意力系简化为一个力偶的情形
作用于简化中心O的力
相互平衡
附加的力偶系并不平衡，可合成为一个力偶，合力 偶矩为
注：此种情况下主矩与简化中心的选择无关。
2．平面一般力系简化为一个合力的情形· 合力矩定理 ① 有一个与原力系等效的合力 附加力偶系互相平衡。 ②
平衡方程 利用合力矩定理
求得
例 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的 最大值为q，梁长l。试求合力作用线的位置。
解：在梁上距A端为x的微段dx上， 作用力的大小为 ，其中 为 该处的载荷强度，大小为
因此分布载荷的合力的大小为 根据合力矩定理 得
计算结果说明：合力大小等于三角形线分布载荷的面积， 合力作用线通过该三角形的几何中心。
二矩式
注：其中x轴不得垂直于A、B两点的连线。
x轴不得垂直于A、B两点的连线
力系简化为经过 点A的一个力或 者平衡。
力系有一合力沿A、 B两点的连线，或 者平衡
合力必与x轴垂直或平衡
三矩式
注：A、B、C三点不得共线。
A、B、C三点不得共线。
力系简化为经过 点A的一个力或 者平衡。
力系有一合力沿A、 B两点的连线，或 者平衡百度文库
注：固定端支座除了限制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限 制物体在平面内转动。
重力坝受力情形如图所示。设 ， ， , 。求力系的合力 的大小和方向余弦、 合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。 解： (1)将力系向点O简化。
主矢
的大小为
方向余弦为
则有
故主矢
在第四象限内，与x轴的夹角为
解得
取杆DCE为研究对象。
其中
解得
例: 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
① 选整体研究 解： ② 受力如图 ③ 选坐标、取矩点、Bxy,B点 ④ 列方程为:
解方程得
① 再研究CD杆 ② 受力如图 ③ 取E为矩心，列方程 ④ 解方程求未知数
，作用线通过选定的简化中心O。
合力矢等于主矢
注：合力的作用线在点O的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定。
平面任意力系的合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力 对同一点的矩的代数和。 证明： 合力 对点O的矩 平面任意力系对简化中心O的主矩
所以得证 3．平面任意力系平衡的情形
以上三个方程中包含有四个未知量。
必须再补充方程才能求解。
取CD为研究对象。
解得
齿轮传动机构如图所示。齿轮I的半径为r，自重 。齿 轮II的半径为R＝2r，其上固结一半径为r的塔轮III，轮II与III共 重 。齿轮压力角为 ，被提升的物体C重 。 求：(1)保持物C匀速上升时，作用于轮I上力偶的矩M；(2)光滑 轴承A、B的约束反力。
§4-8 物系的平衡
受平面任意力系作用的由n个物体组成的物体系，有3n个独 立方程。 外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
注：在选择研究对象和列平衡方程时，应使每一个平衡方程中的未知 量个数尽可能少，最好是只含有一个未知量，以避免求解联立方程。
平面一般力系平衡的必要和充分条件
平面一般力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐 标轴上的投影的代数和分别等于零．以及各力对于任意点的 矩的代数和也等于零。
平面一般力系 的平衡方程 (一矩式)
（三个方程， 求解三个未知数）
支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各 以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC＝CB；杆 DC与水平线成 角；载荷P＝10kN，作用于B处。设梁和杆 的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。 解：(1)取AB梁为研究对象。 (2)画受力图。 (3)列平衡方程。 (a) (b)
例：
如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力
的作用。设
＝1400N。压力角 。齿轮的节圆(啮合圆)的半径 r＝ 60mm，试计算力 对于轴心O的力矩。 解：解法一 力 对于轴心O的力矩 其中力臂 ，故
解法二
根据合力矩定理
例：
如图所示的踏板，各杆自重不计。已知：力F及其与x ，距离l。试求平衡时水平
轴的夹角α，力作用点B坐标 杆CD的拉力 。 解： 取整体为研究对象。
注：1. 主矢与简化中心的选择无关。 2. 一般情况下主矩与简化中心的选择有关。以后说到主矩时，必须指 出是力系对于哪一点的主矩。
取坐标系Oxy 主矢
大小 方向余弦
固定端或插入端支座
车刀夹持在刀架上
工件夹持在卡盘上
简图
在平面问题中固定端支座对物体 的作用力构成一平面任意力系
向作用平面内点A简化得到一个 力和一个力偶 约束反作用可简化为两个约束反 力 、 和一个矩为 的约束 反力偶
§4-7 静定和静不定问题的概念
平面 汇交 力系
（两个独立方程）
力偶系
平面 任意 力系
（三个独立方程）
（一个独立方程）
注：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）
独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定 问题）
对子静不定问题，必须考虑物体因受力作用而产生的变 形，加列某些补充方程。静不定问题已超出刚体静力学 的范围，须在材料力学和结构力学中研究。
§4-5 平面一般力系的平衡条件和平衡方程 平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任 一点的主矩都等于零。 充分性： 作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系 附加力偶系也是平衡力系 必要性： 主矢和主矩有一个不等于零 主矢与主矩都不等于零 力系平衡
原力系必为平衡力系
（ 合力或合力偶 不 平 一个合力 衡 ）
如图所示为曲轴冲床简图，由轮I、连杆AB和冲头B组成。A、 B两处为铰链连接。 OA＝R， AB＝l。如忽略摩擦和物体的自 重，当OA在水平位置、冲压力为F时系统处于平衡状态。求： (1)作用在轮I上的力偶之矩 M 的大小；(2) 轴承O处的约束反力； (3)连杆AB受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。 解：(1)以冲头为研究对象。
解得
为负值，说明它的方向与假设的方向相反，即应指向左。
如图所示的水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端 为一滚动支座。梁的长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在 梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用， 力偶矩M＝Pa。试求A和B处的支座反力。 解：选梁AB为研究对象。
解得
平面一般力系平衡方程的其它两种形式
解：先取轮II、III及重物C为研究对象。
齿轮间的啮合力Fn 可沿节圆的切向及 径向分解为圆周力 F 和径向力Fr。
压力角定义
或
解出
取轮I为研究对象
解得
如图所示为钢结构拱架，拱架由两个相同的钢架AC和BC用铰 链C连接，拱脚A、B用铰链固结于地基，吊车梁支承在钢架的突 出部分D、E上。设两钢架各重为P＝60kN；吊车梁重 为 ，其作用线通过点C；载荷为 ；风力 F＝ 10kN。尺寸如图所示。D、E两点在力P的作用线上。求固定铰 支座A和B的约束反力。 解 （1）选整个拱架为研究对象。
解：①研究起重机
② 再研究梁CD
③
再 研 究 整 体
例. 图示三铰拱，载荷和尺寸如图。求铰链A、B的约束力。 解：研究对象： 三铰拱整体 分析力： P, Q , XA , YA , XB , YB 列方程：
取左半部为研究对象 分析力： P,XA , YA , XC , YC
代入第三式解得
例
图示静定多跨梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支 撑和载荷情况如图所示。已知P=20kN，q=5kN/m，a=45o； 求支座A,C的反力和中间铰B处的压力。
第四章 平面一般力系
§4-1 工程中的平面一般力系问题
平面一般力系： 作用在物体上的力的作用线都分布在同 一平面内(或近似地分布在同一平面内)，并呈任意分布的 力系。
[例]
注：当物体所受的力都对称于某一平面时，也可将它视作平面任意 力系问题。
§4-2 力线平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但 必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
(c)
(a) (b)
(c)
(4)解方程。 由式(c)可得
代人式(a)、(b)，得
式中负号表明，约束反力 向相反。 合成，得
、
的方向与图中所设的方
起重机重 ，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂 钩上桂一重为 的重物。起重机的重心C到转动轴的 距离为1.5m，其它尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴承B处 的反作用力。 解：以起重机为研究对象。
证明： A点力
力系 ， ，
B点力 附加力偶
附加力偶的矩为
①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 注：
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
平面任意力系，例如力系
力的平移 定理
， ，
平面内任取一点O， 称为简化中心
解: (1)当满载时，为使起重机不 绕点B翻倒。在临界情况下 。
当空载时，为使起重机不绕点 A翻倒。在临界情况下 。
(2)当平衡荷重 的反力？
时，求满载时轨道A、B给起重机轮子
解:(2)根据平面平行力系的平衡方程，有：
解得
利用多余的不独立方程 来校验以上计算结果是否正确。
，
解得
结果相同，说明计算无误。
力系有一合力沿A、B、C三点的连线，或者平衡
注： 1.在平面任意力系情形下，矩心应取在两未知力的交点上， 而坐标轴应当与尽可能多的未知力相垂直。
2. 一矩式、二矩式、三矩式三组方程都可用来解决平面任
意力系的平衡问题。 3. 对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以
写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个
以上三个方程包含四个未知数， 必须再补充一个独立的方程。
(2)选右边钢架为研究对象。
这时又出现了一个未知数 FE 。为求得该力 的大小。
再考虑吊车梁的平衡。
解得
如图所示，已知重力 ，DC＝CE＝AC=CB＝2l ； 定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R＝2r＝l， 。试求： A、E支座的约束反力及BD杆所受的力。 解：取整体为研究对象。
例
已知：F各杆重量不计。 求：A、B和D约束反力？ 解：以整体为研究对象
(求不出XB)
我们已经求出YB，下一步应选取谁做为研究对象呢
(五个未知数)
(四个未知数)
(三个未知数)
以DEF为研究对象
(可以求出NE)
以ADB为研究对象
例
已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开）