2019年全国初中数学竞赛(广东省赛区)选拔赛初赛试卷解析版

2019年全国初中数学竞赛（广东省赛区）选拔赛初赛试卷

含解析

一、选择题（每小题6分，满分30分）

1．已知＝0，a2+b2+c2＝1，则a+b+c的值等于（）

A．1B．﹣1C．1或﹣1D．O

2．若使函数的自变量x的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（）

A．b＞c＞0B．b＞0＞c C．c＞0＞b D．c＞b＞0

3．如图，E、F、G、H、I、J、K、N分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是5，那么大正方形的边长应该是（）

A．B．C．D．

4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）

A．L l＝L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定

5．一个盒子里有200只球，从101到300连续编号，甲、乙两人分别从盒子里拿球，直到他们各有100只球为止，其中甲拿到102号，乙拿到280号，则甲拿到的球的编号总和与乙拿到的球的编号总和之差最大是（）

A．10000B．9822C．377D．9644

二、填空题（每小题6分，满分30分）

6．已知a2+4a+1＝0，且，则m＝．

7．如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有．

8．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是．

9．△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、b的代数式表示为．

10．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，∠AOC＝60°，点P在AB的延长线上，且PB＝BO＝3cm．连接PC交半圆于点D，过P作PE⊥P A交AD的延长线于点E，求PE长．

三、解答题（每小题15分，共60分）

11．设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2﹣6x+a＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．

12．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：

（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？

（2）参加装卸的有多少名工人？

13．（15分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A．求证：BD＝2CD．

14．如图，已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？

（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

参考答案

一、选择题（每小题6分，满分30分）

1．【解答】解：∵＝＝0，

∴bc+ac+ab＝0，

又∵（a+b+c）2，

＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab），

＝1+0，

＝1；

∴a+b+c＝±1．

故选：C．

2．【解答】解：∵函数的自变量x取值范围是一切实数，∴分母一定不等于0，

∴x2﹣2bx+c2＝0无解，

即△＝4b2﹣4c2＝4（b+c）（b﹣c）＜0，

解得：c＜b＜﹣c或﹣c＜b＜c．

当c＞b＞0时，一定满足要求上面要求．

故选：D．

3．【解答】解：∵△BMI∽△ABI，

∴MI＝BM，

∴AI＝3MB+MB＝MB，

又∵在直角△ABI中，AB：AI＝3：，

∴AB＝×MB，

∵MB与小正方形的边长相等，

∴AB＝×＝＝5．

故选：C．

4．【解答】解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B＝∠C＝60°，

∵∠BPD＝∠CPE＝30°，

∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，

∴BP＝2BD，CP＝2CE，

∴BD+CE＝BC，

∴AD+AE＝AB+AC﹣BC＝BC，

∴BD+CE+BC＝BC，

L1＝BC+DE，

L2＝BC+DE，

即得L1＝L2，

故选：A．

5．【解答】解：甲拿201至300，然后用280换102 则标号之和是：（201+300）×﹣（280﹣102）＝24872；

乙的编号之和是：（101+200）×+（280﹣102）＝15228 24872﹣15228＝9644．故选：D．

二、填空题（每小题6分，满分30分）

6．【解答】解：∵a2+4a+1＝0，∴a2＝﹣4a﹣1，

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