巧用“构造法”解一元二次方程竞赛题

巧用“构造法”解一元二次方程竞赛题

在初中数学竞赛活动中，我们经常会碰到表面上看很难解答的一元二次方程竞赛题，但是只要我们认真分析已知条件，深入挖掘，运用所学知识构造已知条件和所求结论之间的桥梁，就能使一元二次方程竞赛题在新形式下得到解答，这就是解题中的“构造”策略。笔者下面结合自己的教学体会浅谈用构造法解一元二次方程竞赛

题的几种常用方法。

一、利用根的定义构造一元二次方程

当已知等式具有相同的结构时，我们就可以把某两个变元（相同的元素）看成是关于某个字母的一元二次方程的两个根来构造一元二次方程。

例1.若实数满足■+■=1，■+■=1，则x+y= 。（全国初中数学联赛题）

思路点拨：观察方程，可以直接解答，但解答难度大，我们可将x、y看做某个一元二次方程的两根，构造方程求解。

简解：33、53是关于方程■+■=1的两根，化简得t2-（x+y-43-63）t-（63x+43y-43×63）=0，由韦达定理得33+53=x+y-43-63，故

x+y=33+53+43+63=432。

小结：竞赛题中的一元二次方程题目一般都不能直接求解，而是需要我们通过分析、归纳已知条件构造一元二次方程，再运用有关一元二次方程的知识进行解答。

二、利用韦达定理逆定理构造一元二次方程

若问题中有形如x+y=a，xy=b的关系式时，则x、y可看作方程t2-at+b=0的两个实数根。

例2.已知实数a、b、c满足，a+b+c=2，abc=4，（1）求a、b、c 中最大者的最小值。（2）求a+b+c的最小值。（全国初中数学竞赛题）

思路点拨：该题运用不等式的变形来求解是比较繁琐的，由题得b+c=2-a，bc=■，构造以b、c为实数根的一元二次方程，通过△≥0探求a的取值范围，并以此为基础去解（2）。

简解：（1）设a≥b，a≥c，∵b+c=2-a∴bc=■∴b、c为一元二次方程x2-（2-a）x+■=0的两根∴△=（2-a）2-4×■≥0，即（a2+4）（a-4）≥0，a≥4，当a=4，b=c=-1时，满足条件，故a、b、c中最大者的最小值为4。

（2）a、b、c只一正二负，设a>b、b<0、c<0，则a+b+c=a-b-c2a-2，由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，a、b、c满足条件，且使a+b+c=a-b-c=2a-2≥6中等号成立，故a+b+c的最小值为6。

小结：我们通过构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式建立含参数的不等式，缩小范围逼近求解，这种方法在求字母的取值范围、求最值等方面有广泛的应用。

三、确定主元构造一元二次方程

我们在遇到含有多个变元的等式时可以将方程整理为关于某个

未知数的一元二次方程，再利用一元二次方程的有关性质求解。

例3.求方程x2+xy+y2=3x-3y+3=0的实数的解。（全国初中数学联赛题）

思路点拨：这是一个二元二次方程，可整理为关于某一个未知数的（如x）的方程，利用一元二次方程根的判别式求解。

简解：方程变形为x2=（y-3）x+y2-3y+3=0，由△≥0，可知（y-3）2-4（y2-3y+3）=-3（y-1）2≥0，得y=1，将y=1代入原方程得x=1。我们要通过敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想进行构造。

解题者要成功地利用构造法解题，必须成为一个“建筑师”，一方面应当记住手中的“建筑材料”，即已知条件提供的信息；另一方面也不要忘记我们要制造的“建筑”，即符合命题要求的事物。构造法是初中数学中常用的一种解题方法，可以发散学生的思维，提高学生的解题能力。但是构造法具有一定的技巧性和偶然性，它需要学生在使用时不断总结什么样的条件用什么样的构造法，进而运用自如。教师在这个过程中要逐步引导学生根据已知条件的结构特征，通过联想构造辅助工具，构造数学模型，铺设中间桥梁，不断把“未知”转化为“已知”，不断进行构造，进而解决问题。（责编高伟）