计算方法电子教案第一章序言误差

x= 0.a1 a2...atJ , =2,8,10,16, ai{0,1,2,…, -1}, LJU
F(,t,L,U)表示以上数集全体加数0，
它是计算机中使用有限离散集。
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计算机中数的计算特点:
1. 加法先对阶,后运算,再舍入
2. 乘法先运算,再舍入
3. 不在计算机数系中的数做四舍五入处理
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什么是算法和计算量？
算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运
算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称 为算法。
计算量：一个算法所需的乘除运算总次数，单位是flop
(Floating Octal Point 浮点八进制).
计算量是衡量一个算法好坏的重要标准。
|x x 3| | 3 1 .7 3 2 0 | 0 .0 0 0 0 5 0 8 ... 0 .5 0 8 .. 1 0 4 0 .5 1 0 3 故 x 3 有 四 位 有 效 数 字
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学习和了解科学计算的桥梁
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序言
计算方法 能够做什么？
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计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
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在计算机上是否根据数学公式编
程就能得到正确结果?
研究例子:求解线性方程组
1
2 1
3
x1 x1 x1
1
2 1
3 1
4
x2 x2 x2
1 3 x3
1 4
x3
1 5 x3
11
6 13
12 47
60
如把方程组的系数舍入 成两位有效数字
x1 0.50x2 0.33x3 1源自文库8 0.50x1 0.33x2 0.25x3 1.1
我们在线性代数中学过比较著名的 Cramer法则，当det（A）!= 0时， 方程组有且仅有一个解。形式非常 简单，但计算量非常大。这样用计 算机去求解时，也将花费成千上万 年（几十阶的方程组）更何况上百 阶的方程组在生产应用中也比比皆 是。
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经典数学
用Laplace展开计算行列式，共需（n ＋1）n！=(n+1)!以上的乘法。对于一 个20阶的方程组，就需要 21!≈5.11×10E19以上的乘法。所以 ，在每秒作30亿次乘法的计算机上， 用Cramer法则解20阶的方程组，需 要的时间大约为540年。
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第一章 误 差
1.1 误差的来源
1、模型误差 2、观测误差 3、截断误差 4、舍入误差
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计算机中的数系
十进制规格化浮点数 尾数
• x= 0.a1 a2...at10J
阶
ai{0,1,2,…,9}, a10，LJU
一般情况：
计算方法的分枝有最优化方法、计算几何、 计算概率统计等
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课程性质
计算方法它属于数学的范畴，在很多 大学的数学系有一个计算数学专业（ 信息与计算科学），它二年的专业课 （数值代数、数值逼近、微分方程的 数值解）就浓缩为计算方法这门课。
计算方法是一门抽象的理论课，同时 又是一门实用的技术课，它是数学与 计算机联系起来的桥梁。
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课程内容
连续系统的离散化 离散性方程的数值求解
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授课目的
使学生掌握用计算机解决 数学问题的一般思想方法和技 术。
计算方法是怎样产生的呢 ？我 们就得从经典数学谈起了。
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经典数学
经典数学在实际应用中存在着一些
难点，下面我们举几个例子。
A. 方程求根
代数方程，超越方程
我们知道代数方程一、二次都很好求 解，但当次数增加时就困难了，实际 上，有人论证过，当n> 4时无统一的 求根方式，这不涉及到求方程的技巧 问题。超越方程就更是如此了。
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经典数学
B.方程组求解 （Ax＝b）
用四舍五入得到的数都是有效数字 有效数字越多,误差越小,计算结果 越精确
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例如:设 x 3
x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,问它们分 别有几位有效数字?
|x x 1 | | 3 1 .7 3 | 0 .0 0 2 0 5 0 8 ... 0 .2 0 5 0 8 .. 1 0 2 0 .5 1 0 2 故 x 1 有 三 位 有 效 数 字 |x x 2 | | 3 1 .7 3 2 1 | 0 .0 0 0 0 4 9 1 ... 0 .4 9 1 .. 1 0 4 0 .5 1 0 4 故 x 2 有 五 位 有 效 数 字
0.33x1 0.25x2 0.20x3 0.78
其准确解为x1=x2=x3=1
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它的解为x1 =-6.222... x2=38.25…
x3=-33.65...
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计算方法（数值分析）研究的对象
研究数值方法的设计、分析和有 关理论基础与软件实现。
计算方法又称：计算数学、数值方法、数值 分析等。
: 例如 在四位浮点十进制数的计算机上计算1+ 104
解: 1+ 104 =0.1000 101+ 0.1000 105 = 0.00001 105 + 0.1000 105
(对阶计算)
= 0.10001 105
= 0.1000 105 = 104
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有效数字
如果|e*| = |x* - x| 0.5 10-k 称近似数x*准确到小数点后第k位,从这小 数点后第k位数字直到最左边非零数字之 间的所有数字都称为有效数字.
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经典数学
C.求定积分 难点： 1.原函数很难求出 2.原函数不能用有限的初等函 数来表示。
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经典数学
这样的话，经典数学直接应用于 工程上很难办，不能解决实际问题 。人们寻找一种更简便、近似的算 法，这样就慢慢发展形成了计算方 法这门课。其实，从计算机诞生开 始，它与计算机就机密地联系在一 起。