关于幂指函数的极限求法归纳

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《关于幂指函数的极限求法》论文查阅笔记

幂指函数的定义:幂函数a x f )(的指数a 不变幂底)(x f 变化,指数函数)(x g a 是底数a 不变)(x g ,幂指函数是底数和指数同时变化的函数)()(x g x f 。幂指函数的定义如下(设两个)(x f 和)(x g 是在定义域为D 上的连续函数,则称0)(,)()(>=x f x f y x g 为定义在D 上的幂指函数。

幂指函数求法及分类:定值型B

A ,未定型∞1、0∞、00。 一般求法:幂指函数的重要恒等式

)

()(ln )(≡)(x g x f e x f x g

该公式可以求得未定型的一般极限

)(ln )()(→lim )

(→lim x f x g x g a x a x e x f =

常用方法:直接代值(定值型)、洛必达法则(未定型)、重要极限(e x x x =+)(11lim ∞

→、e x x x =+10→1lim )()、无穷小等价代换(当0→x 时,1-~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin x e x x x x x +、

221~cos -1x x 、()n x ~1-11n x +)等。

幂指函数的极限求法应用:

确定型:如果A x f =)(lim ,(0>A ),B x g =)(lim ,则[][]B x g x g A x f x f ==)(lim )()(lim )(lim 。

未定型:①关于∞1型的极限

②关于0

∞型的极限

③关于00型的极限

(1)运用重要极限求解(公式)

例题1、求x

x x x )11-(lim ∞→+的值

方法一:拼凑法 2

-1-2-21-∞→∞→∞→∞→1

2-1])12-1[()1

2-1()12-

1()11-(lim lim lim lim e x x x x x x x x x x

x x x x x =++++=++=

++=++

)(

方法二:换元法 x

x x x x x x x x x x )12-1()12-1()11

-(lim lim lim ∞→∞→∞→++=

++=+

令t x =+12-,则原式=2

-1-2-1

0→1])1[(lim e t t t t =++)(

(2)运用洛必达法则求解(其中可用到重要恒等式,无穷小等价替换等)

例题2、求x

x x tan 0→)(sin lim 的值

1

lim lim lim )(sin 2

0→20→0→-sin -cot ln ln tan 0→tan 0→lim lim =====x x x x x

x

x x x x x x x x e e e e x (x x →sin ,∞→x )

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