关于幂指函数的极限求法归纳
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《关于幂指函数的极限求法》论文查阅笔记
幂指函数的定义:幂函数a x f )(的指数a 不变幂底)(x f 变化,指数函数)(x g a 是底数a 不变)(x g ,幂指函数是底数和指数同时变化的函数)()(x g x f 。幂指函数的定义如下(设两个)(x f 和)(x g 是在定义域为D 上的连续函数,则称0)(,)()(>=x f x f y x g 为定义在D 上的幂指函数。
幂指函数求法及分类:定值型B
A ,未定型∞1、0∞、00。 一般求法:幂指函数的重要恒等式
)
()(ln )(≡)(x g x f e x f x g
该公式可以求得未定型的一般极限
)(ln )()(→lim )
(→lim x f x g x g a x a x e x f =
常用方法:直接代值(定值型)、洛必达法则(未定型)、重要极限(e x x x =+)(11lim ∞
→、e x x x =+10→1lim )()、无穷小等价代换(当0→x 时,1-~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin x e x x x x x +、
221~cos -1x x 、()n x ~1-11n x +)等。
幂指函数的极限求法应用:
确定型:如果A x f =)(lim ,(0>A ),B x g =)(lim ,则[][]B x g x g A x f x f ==)(lim )()(lim )(lim 。
未定型:①关于∞1型的极限
②关于0
∞型的极限
③关于00型的极限
(1)运用重要极限求解(公式)
例题1、求x
x x x )11-(lim ∞→+的值
方法一:拼凑法 2
-1-2-21-∞→∞→∞→∞→1
2-1])12-1[()1
2-1()12-
1()11-(lim lim lim lim e x x x x x x x x x x
x x x x x =++++=++=
++=++
)(
方法二:换元法 x
x x x x x x x x x x )12-1()12-1()11
-(lim lim lim ∞→∞→∞→++=
++=+
令t x =+12-,则原式=2
-1-2-1
0→1])1[(lim e t t t t =++)(
(2)运用洛必达法则求解(其中可用到重要恒等式,无穷小等价替换等)
例题2、求x
x x tan 0→)(sin lim 的值
1
lim lim lim )(sin 2
0→20→0→-sin -cot ln ln tan 0→tan 0→lim lim =====x x x x x
x
x x x x x x x x e e e e x (x x →sin ,∞→x )