用不动点法求数列通项(1)
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an46an21
4an(an2
32
an4an6an
32
an4an6an
4an1
4an1
(汁
逐次迭代后
1)
4n 1
(a11)
14"1
⑻1)4
4n 1
(a11)
已知曲线Cn:x22nx y
20(n
1,2,|||)•从点P(1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn0)
的切线ln，切点为巳(Xn,yn)•
(1)求数列｛Xn｝与｛yn｝的通项公式;
22
aun(b ex)un(e a)^
22
aun(b ex?)un(e a)x2bx2
于是,
山1X1
un 1X2
unX2
2222
aun(bexjun(ea)^bx1un2x.(unx1
2222
aun(bex2)un(ea)x2bx2un2x2unx2
2
un
b ex1
a
un
2
(e a)X1bx1
2
un
b ex2
un
a
(e a)x22bx2
un
2
un
2XQn
2x?un
2
X1
X2
b exj
2x1
a
b ex2
a
2x2
b (2 a e)x10
b (2 a e)x20
1xi0方程组有唯一解b 0,e 2a
1X2
例3：已知数列｛an｝中,ai2,an 1
an
2aT，n
N*,求数列｛an｝的通项•
其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形
(d a)p
所以b
2
pd cp
ap,
an
aan 1b can 1d
(a
cp)an 1b pd
can 1
(a cp)an 1
can 1
2
cp ap
(a cp)(an 1p)
d
can 1
所以
an
a cp
can 1
an 1
a cp
c(an 1P)
an 1p
d cp
cp
王，则
a d anp
例2:
定理
an
设｛an｝满足a11,an 1
用不动点法求数列的通项
定义：方程f(x) x的根称为函数f(x)的不动点•
利用递推数列f (x)的不动点，可将某些递推关系anf (an1)所确定的数列化为等比
数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法
1：若f(x) ax b(a 0,a1),p是f(x)的不动点，an满足递推关系
an
f (an 1), (n 1)，则anpa(an 1p)，
即｛anp｝是公比为a的等比数列.
证明:
因为p是f(x)的不动点
ap
ap由an
a an 1b得anp a
an 1b p a(an 1p)
所以｛an
p｝是公比为
a的等比数列.
定理2:
设f(x)ax
-(c 0, ad bc 0)，cx d
｛an｝满足递推关系anf (an
1), n 1，
初值条件
aif(ai)
(i)：若
a
f (x)有两个相异的不动点p, q，则」
an
an 1
an 1
(这里
a pc
)
a qc
(2)：若
f (x)只有唯一不动点p，则
(这里
证明:
f(x) x得f(x)业上
cx d
(1)
因为
p,q是不动点，所以
2
cp
2
eq
an
(d
(d
an 1
所以
ex2
(d
a)x
a)p b
a)q b
pd b a pc qd b a qc
，所以
ananq
aan 1b can 1d aan 1b can
pc
令ka
a qc
an
则」
an
(a
pc)an 1
b pd
ห้องสมุดไป่ตู้pc
(a qc)an 1b qd
an 1q
a qc
pd
1
a pc qd b
an 1
a qc
an
a pc an 1pa qc a. 1q
(2)因为p是方程cx2
(d
a)x b 0的唯一解，所以cp2
数列｛an｝满足下列关系:
2
3:设函数f(x)aX-
ex
a cp
a cp
an1p
2c
an 1p a d
an
an
2-,n
，求数列
｛an｝的通项公式
a1
bx
2a, an
c(a
2
2a —
0,e
,a 0，求数列｛an｝的通项公式
0)有两个不同的不动点X1, X2,且由
f (un)确定着数列｛un｝,那么当且仅当b 0,e
Un 1X1
Un 1X2
Un
X1)2
X2
证明：
xk是f (x)的两个不动点
axk2bxkc2 ,
Xk--即c Xkf (e a)XkbXk(k 1,2)
exkf
Un 1
2a时,
2
un1为aunbuncx1(eqf)
2
Un 1X2aunbUncx?(egf)
2
aun(b ex)uncxf
2
aun(b ex?)unc屜f
,还可以解决如下问题：
例4：已知a1
0,ai
1且an1
42
an6an
~2~
n
1,求数列｛an｝的通项•
4an(an1)
作函数为
f(x)
x46x2
4x(x2
1
T解方程f(X)
x得f (x)的不动点为
X1
1,X2
1,X3
3 .
3i,
X4
几取p 1,q
3
1,作如下代换:
an
an1
4
an6an
2
4an(an1)
(2)证明:
X1X3X5
III
设P,
q为实数,
是方程
X2n1
px
Yn
q0的两个实根，数列｛Xn｝满足X1
2
X2P q
,XnpXn
qXn 2
3,4,…)
q； (2)求
1
数列｛xn｝的通项公式；(3)若p 1,q，求｛xn｝的前n项和S"•
4
4an(an2
32
an4an6an
32
an4an6an
4an1
4an1
(汁
逐次迭代后
1)
4n 1
(a11)
14"1
⑻1)4
4n 1
(a11)
已知曲线Cn:x22nx y
20(n
1,2,|||)•从点P(1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn0)
的切线ln，切点为巳(Xn,yn)•
(1)求数列｛Xn｝与｛yn｝的通项公式;
22
aun(b ex)un(e a)^
22
aun(b ex?)un(e a)x2bx2
于是,
山1X1
un 1X2
unX2
2222
aun(bexjun(ea)^bx1un2x.(unx1
2222
aun(bex2)un(ea)x2bx2un2x2unx2
2
un
b ex1
a
un
2
(e a)X1bx1
2
un
b ex2
un
a
(e a)x22bx2
un
2
un
2XQn
2x?un
2
X1
X2
b exj
2x1
a
b ex2
a
2x2
b (2 a e)x10
b (2 a e)x20
1xi0方程组有唯一解b 0,e 2a
1X2
例3：已知数列｛an｝中,ai2,an 1
an
2aT，n
N*,求数列｛an｝的通项•
其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形
(d a)p
所以b
2
pd cp
ap,
an
aan 1b can 1d
(a
cp)an 1b pd
can 1
(a cp)an 1
can 1
2
cp ap
(a cp)(an 1p)
d
can 1
所以
an
a cp
can 1
an 1
a cp
c(an 1P)
an 1p
d cp
cp
王，则
a d anp
例2:
定理
an
设｛an｝满足a11,an 1
用不动点法求数列的通项
定义：方程f(x) x的根称为函数f(x)的不动点•
利用递推数列f (x)的不动点，可将某些递推关系anf (an1)所确定的数列化为等比
数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法
1：若f(x) ax b(a 0,a1),p是f(x)的不动点，an满足递推关系
an
f (an 1), (n 1)，则anpa(an 1p)，
即｛anp｝是公比为a的等比数列.
证明:
因为p是f(x)的不动点
ap
ap由an
a an 1b得anp a
an 1b p a(an 1p)
所以｛an
p｝是公比为
a的等比数列.
定理2:
设f(x)ax
-(c 0, ad bc 0)，cx d
｛an｝满足递推关系anf (an
1), n 1，
初值条件
aif(ai)
(i)：若
a
f (x)有两个相异的不动点p, q，则」
an
an 1
an 1
(这里
a pc
)
a qc
(2)：若
f (x)只有唯一不动点p，则
(这里
证明:
f(x) x得f(x)业上
cx d
(1)
因为
p,q是不动点，所以
2
cp
2
eq
an
(d
(d
an 1
所以
ex2
(d
a)x
a)p b
a)q b
pd b a pc qd b a qc
，所以
ananq
aan 1b can 1d aan 1b can
pc
令ka
a qc
an
则」
an
(a
pc)an 1
b pd
ห้องสมุดไป่ตู้pc
(a qc)an 1b qd
an 1q
a qc
pd
1
a pc qd b
an 1
a qc
an
a pc an 1pa qc a. 1q
(2)因为p是方程cx2
(d
a)x b 0的唯一解，所以cp2
数列｛an｝满足下列关系:
2
3:设函数f(x)aX-
ex
a cp
a cp
an1p
2c
an 1p a d
an
an
2-,n
，求数列
｛an｝的通项公式
a1
bx
2a, an
c(a
2
2a —
0,e
,a 0，求数列｛an｝的通项公式
0)有两个不同的不动点X1, X2,且由
f (un)确定着数列｛un｝,那么当且仅当b 0,e
Un 1X1
Un 1X2
Un
X1)2
X2
证明：
xk是f (x)的两个不动点
axk2bxkc2 ,
Xk--即c Xkf (e a)XkbXk(k 1,2)
exkf
Un 1
2a时,
2
un1为aunbuncx1(eqf)
2
Un 1X2aunbUncx?(egf)
2
aun(b ex)uncxf
2
aun(b ex?)unc屜f
,还可以解决如下问题：
例4：已知a1
0,ai
1且an1
42
an6an
~2~
n
1,求数列｛an｝的通项•
4an(an1)
作函数为
f(x)
x46x2
4x(x2
1
T解方程f(X)
x得f (x)的不动点为
X1
1,X2
1,X3
3 .
3i,
X4
几取p 1,q
3
1,作如下代换:
an
an1
4
an6an
2
4an(an1)
(2)证明:
X1X3X5
III
设P,
q为实数,
是方程
X2n1
px
Yn
q0的两个实根，数列｛Xn｝满足X1
2
X2P q
,XnpXn
qXn 2
3,4,…)
q； (2)求
1
数列｛xn｝的通项公式；(3)若p 1,q，求｛xn｝的前n项和S"•
4