勾股定理的运用教案教学设计导学案

知识点：勾股定理的运用

知识关联：勾股定理，算术平方根的计算，一元一次方程的解法 问题情境1：运用勾股定理计算直角三角形的斜边 问题模型：已知三角形的两条直角边，求斜边的长 求解模型：

【例题】如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若BE=12，AE=16，则DE 的长度为何？（ ）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

【分析】在Rt △ABE 中，先根据勾股定理求出AB 的长，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可求出DE 的长． 【答案】A ． 练习：

1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝5，b ＝12，则c ＝ ． 【答案】13

2.若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足

，则该直角三角形

的斜边长为 ____ ． 【答案】5

3.直角三角形的两边长的比是3∶4，斜边长是25，则它的两直角边长分别是 ． 【答案】15，20

4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是（ ） A ．

365 B ．1225 C ．9

4

D 33【答案】A

问题情境2：运用勾股定理计算直角三角形的一条直角边长

问题模型：已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边

由a 、b

得出2

2

b a

c +=

代入a 、b 的值 得出c 的值

求解模型：

【例题】在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC 的长为 ． 【分析】根据勾股定理列式计算即可得解． ∵∠C=90°，AB=7，BC=5， ∴AC===2

．

故答案为：2

．

【答案】2

练习：

1.如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，且AB ＝4，BD ＝5，则点D 到BC 的距离是（ ）

A ．52

B ．32

C ．24

D ．9

【答案】A

2.四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O,AB =5,AO =4,求BD 的长. 【答案】解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ， ∴AC ⊥BD ，DO=BO ， ∵AB=5，AO=4， ∴BO=

=3，

∴BD=2BO=2×3=6．

3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝5，c ＝10，则b ＝ ． 【答案】53

知识关联：勾股定理，等腰三角形的性质

问题情境3：运用勾股定理计算直角三角形的一条边长 问题模型：已知直角三角形的两边长，求第三边的长

由a 、c

得出22a c b -=

代入a 、c 的值 得出b 的值

求解模型：【例题】Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2．以AC 为一边，在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

【分析】首先要结合题意，画出相应的图形．因为以AC 为一边在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则AC 可以是直角边，也可以是斜边，所以有三种情况．如图（1），BD ＝4；如图

（2）BD ＝22

2425+=；如图（3），∠ACD ＝90°，BC ＝22，CD ＝2BD ＝

22(22)(2)10+=．

A

B

C

D

A B

C D A B

C

D

图（1）

图（2）图（3）

【答案】4或25或10

练习：

1.在Rt △ABC 中，若a ＝3，b ＝5，则c ＝ ． 【答案】4或34

2.如图.在Rt △ABC 中，∠A =30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 式垂足，连接CD ，若BD =1，则AC 的长是（ ） A.23 B.2 C.43 D.4

【答案】A

由a 、c

得出22a c b -=

代入a 、c 的值 得出b 的值

由a 、b

得出2

2

b a

c +=

代入a 、b 的值 得出c 的值

3.一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）

A．5 B．C．D．5或【答案】D

1m

2m

A

B

C

D

问题情境4：运用勾股定理求实际问题中的线段的长度

问题模型：已知实际问题中的几条线段，构造直角三角形求一条直角边或斜边的长 求解模型：

【例题】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）

A ．8米

B ．10米

C ．12米

D ．14米

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．

【答案】解：如图，设大树高为AB=10m ，小树高为CD=4m ，过C 点作CE ⊥AB 于E ，则EBDC 是矩形，连接AC 。

∴EB=4m ，EC=8m ，AE=AB ﹣EB=10﹣4=6m ， 在Rt △AEC 中，AC==10m ，

故选B ．

练习：

1.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m ，宽

2.2m 的薄木板能否从门框内通过？为什么？

【答案】解：如图所示：连接AC . 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：22AB BC +5m ）≈2.236﹥2.2

∴这块薄木板能从门框内通过.

2.有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm ，40cm ，30cm 的木箱中，能否放进去？

【答案】解：能.理由如下：

22

412(10)305070.7+=≈﹥70

∴能放进去.

根据实际问题画

出几何图形

由实际问题中的已知条件得出已知几何图形中的线段长 由实际问题中的已知条件得出已知几何图形中的线段长