专题17 三次函数的图像与性质(解析版)

专题17 三次函数的图像与性质

一、例题选讲

题型一 运用三次函数的图像研究零点问题

遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.

例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩

≥，

，，若函数()2()g x f x ax =-恰

有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．

例2、(2017南京学情调研）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

12x －x 3，

x ≤0，

－2x ，

x ＞0.

)当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，

＋∞)，则实数m 的取值范围是________．

题型二 三次函数的单调性问题

研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。要特别注意含参的讨论。

例3、已知函数32

()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．

（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点； （2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式； （3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．

例4、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．

例5、(2018苏州期末）已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，

x<0，e x

－ax ，x ≥0，

其中常数a ∈R .

(1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；

(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；

题型三 三次函数的极值与最值问题

①利用导数刻画函数的单调性，确定函数的极值；② 通过分类讨论，结合图象，实现函数的极值与零点问题的转化.

函数、方程和不等式的综合题，常以研究函数的零点、方程的根、不等式的解集的形式出现，大多数情况下会用到等价转化、数形结合的数学思想解决问题，而这里的解法是通过严谨的等价转化，运用纯代数的手段来解决问题的，对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高，此题也可通过数形结合的思想来解决问题，可以一试.

例6、(2018苏锡常镇调研）已知函数3

2

()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，

① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；

② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；

例7、（2017⋅江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >；

（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72

-，求a 的取值范围．

例8、(2018南京学情调研）已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R . (1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；

(2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；

(3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．

二、达标训练

1、(2017苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

1

x

，x ＞1，

x 3

，－1≤x ≤1，

)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同

的实数根，则实数k 的取值范围是________．

2、(2017苏北四市期末） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

sin x ，x ＜1，

x 3

－9x 2

＋25x ＋a ，

x ≥1，

)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个

不同的公共点，则实数a 的取值集合为________．

3、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0

,3120

,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1，且函数y ＝f(x)－g(x)的

图像经过四个象限，则实数k 的取值范围为________．

4、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩

， ，

，的图象恰好经过三个象

限，则实数a 的取值范围是 ．

5、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )． (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；

(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求b

a

的值；

(3) 当a ＝0时，若f (x )

6、(2019南京、盐城一模）若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．

设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．

(1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；

(2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；

(3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组．