高一函数的奇偶性复习课教案

高一函数的奇偶性复习课

教学目标：

1、巩固偶函数和奇函数的定义；

2、学会判断简单函数的奇偶性和利用函数奇偶性解决有关问题，进一步理解偶函数和奇函数的性质。

教学重点：函数的奇偶性的判断和应用。

教学难点：函数的奇偶性的应用。

教学过程：

一、知识回顾：

1．偶函数定义;

2．奇函数定义;

3.奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么就说函数()f x 具有奇 偶性.

注：①函数()y f x =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所对应的区间关于原点对称;

②若奇函数在原点处有定义，则有(0)0f =;

③若函数()y f x =是偶函数，则对于定义域内的每个x ，都有()()f x f x =; ④既是奇函数又是偶函数的函数是()0f x =，x A ∈,定义域A 是关于原点对称的非空数集;

⑤函数的奇偶性与单调性的差异：奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势.函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是函数的局部性质.

4.奇函数、偶函数的图象的性质：

一个函数是奇（偶）函数当且仅当它的图像关于原点（或y 轴）对称.

二、函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：

1.定义法：定义域（关于原点对称）→验证()()f x f x -=±或()()0f x f x -±=或()1(()0)()

f x f x f x -=±≠→下结论. 2.图像法：一个函数是奇（偶）函数当且仅当它的图像关于原点（或y 轴）对称.

3.性质法：两个奇函数的和为奇函数；

两个偶函数的和为奇函数；

两个奇函数的积是偶函数；

两个偶函数的积是偶函数；

一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

注：以上函数都定义在同一个关于原点对称的定义域上.

练习1

（1） 已知()()f x g x 、分别是[-10,10]上的奇函数和偶函数，则函数

()()()F x f x g x =的图象关于________对称.

（2） 函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[1,2a a -]上的偶函数，则

a b +=_____.

练习2 判断下列各函数的奇偶性：

（1）()(f x x =-（2）22(0)()(0)

x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩

练习3 函数2()1ax b f x x +=

+是定义在（-1,1）上的奇函数，且12()25

f =，求函数()f x 的解析式.

三、函数奇偶性的应用

函数的奇偶性的应用主要体现在以下几个方面：

1.求函数值.

例1 已知32()8f x ax bx cx =++-,且(2)10f -=，求(2)f . 解：设32()g x ax bx cx =++，则()g x 为奇函数.

依题意可得(2)(2)810f g -=--=,则(2)18g -=. ∴(2)(2)18g g =--=- ∴(2)(2)818826f g =-=--=-.

2.求解析式.

例2 已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()1f x =+求0x < 时,()f x 的解析式.

解：设0x <，则0x ->.

由已知0x >时,()1f x =+有()11f x -=+=-

又()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-, ∴()1f x -=-

∴()1f x =.

∴当0x <时，()1f x =.

注：此类题型的解题步骤如下：

①在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间里; ②利用()f x 的奇偶性把()()f x f x =--或()f x -； ③将()f x -中的x -代入已知解析式中，从而解出()f x .

3.解抽象函数不等式

例 3 设()f x 在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有22(21)(321)f a a f a a ++<-+，求a 的取值范围. 解：由()f x 在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增知()f x 在区间（0，+∞）上递减. ∵2217212()+048a a a ++=+>，22123213()033

a a a -+=-+>，且 22(21)(321)f a a f a a ++<-+，

∴2221321a a a a ++>-+，即230a a -<，解得03a <<.

注：在此用到以下结论：

① 若函数()f x 为奇函数，当()f x 在区间[,a b ]上是单调函数时，则()f x 在

区间[,b a --]上也是单调的，且单调性相同；

② 若函数()f x 为偶函数，当()f x 在区间[,a b ]上是单调函数时，则()f x 在

区间[,b a --]上也是单调的，且单调性相反.

4.函数的综合问题

例 4 已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f =，若,a b ∈[-1,1],0a b +≠时，有()()0f a f b a b

+>+成立. (1)判断()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明；

(2)解不等式：11()()21

f x f x +<-； (3)若2()21f x m am ≤-+对所有的a ∈[-1,1]恒成立，求实数m 的取值范围. 解：(1)任取12,[1,1]x x ∈-，且12x x <，则2[1,1]x -∈-，由()f x 为奇函数，有