中南大学2013年第二学期高数期末考试试题及参考答案

2012 ~2013学年 二 学期 高等数学A(二)课程 参考答案

（时间：13年6月18日）

一、填空题(本题15分，每小题3分)

1. 将曲线224936

x y z ⎧-=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为

2. 设有曲面222:9x y z ∑++=, 则曲面积分

2211d 34x y S ∑⎛⎫

+= ⎪⎝

⎭⎰⎰ 3.

由二重积分的几何意义

224

d x y x y +≤=⎰⎰

4. 设(),,u u x y z =具有二阶连续的偏导数, 则数量场u 的梯度的散度()div grad u =

5. 设函数()f x 具有连续导数, 且曲线积分

()()()sin d d L

y x f x x f x y x

-+⎰与路径无关, 则()f x =

答案：一、1. ()2

2

2

4936x y z -+=；2. 63π；3. 163π；4. 222222u u u

x y z

∂∂∂++∂∂∂；5.

cos C x

x x

-

二、1. B ；2. D ；3. B ；4. D ；5. C

二、选择题(本题15分，每小题3分)

1、直线1121:

212x y z L --+==-与直线2121

:221

x y z L --+==--的关系为（ ） （A ）1L 与2L 垂直但不相交; (B) 1L 与2L 垂直相交; （C ）1L 与2L 既不平行、也不垂直； （D ）1L 与2L 平行

2、二元函数(),f x y 在点()00,x y 处两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y ''存在是(),f x y 在该点连续的（ ）．

（A ）充分条件而非必要条件； （B ）充分必要条件；

（C ）必要条件而非充分条件； （D ）既非充分条件也非必要条件

3、下列曲线积分中在区域{}9),(2

2≤+=y x y x D 内与路径无关的是（ ）

(A).

22d d L

y x x y x y

-+⎰

(B).cos d sin d x x

L e y x e y y -⎰ (C)

()()22

d d L

x y x x y y

x y +--+⎰

(D)

(

)

()2

4sin 3cos d sin d x L

e x y y x x y y y -+-+-⎰

4、下面说法错误的是（ ） (A) 方程cos d cos d 0y y x y x x y x x

⎛

⎫+-= ⎪⎝⎭为齐次微分方程; (B) 方程

26d 1

d y y x y x x

=+为Bernoulli 方程; (C) 方程()2

d 32d 0x y xy x +-=为一阶线性微分方程;

(D) 方程()()

222

3632d 23d 0x xy y y x x xy x y ++++++=为全微分方程.

5. 设有空间区域

2

221:,

0x y z R z Ω++≤≥

，及2

2222:,

,0,0

x y z R x y z Ω++≤≥≥≥，则下面结论成立的是（ ） (A) 1

2

d d d 4d d d x x y z x x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; (B) 1

2

d d d 4d d d y x y z y x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;

(C)

1

2

d d d 4d d d z x y z z x y z

ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; (D)

1

2

d d d 4d d d xyz x y z xyz x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

三、（10分）求两直线1211467:

,:121161

x y z x y z

L L ---+====-的公垂线L 的方程(见典型习题解答P56)

解：公垂线L 的方向向量为1

2188161

i

j k

s i k ==--， 过L 和1L 的平面1π的法向量可取11

21161616808

i

j

k

n i j k ==-+--, 于是平面1π的方程为()()1616111640x y z -+---=, 即70x y z -++= 类似可求出过L 和2L 的平面2π的方程为33110x y z ++-=,

因此公垂线L 的方程为70

33110

x y z x y z -++=⎧⎨

++-=⎩

四、（共15分, 其中第一小题7分,第二小题8分）

1. 设()3

2

,w f x z y yz =+，且f 具有连续二阶偏导数, 求2,,

w w w x y x z

∂∂∂∂∂∂∂(见练习册自测题第2章第五题)

解. 1

213w x zf x ∂'=∂, 212w f z f y

∂''=+∂ ()()222231111

123332w w x zf x f x x f zyf x z z x z

∂∂∂∂

⎛⎫''''''===++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 252111

12336x f x f x zyf '''''=++ 2. 设D 是由曲线2y x =与直线y x =所围成的区域，求sin d d D

x

x y x

⎰⎰

(见教材P141例3.8类似题)

解：2. 由于D 可以表示成X-型区域：201

:x D x y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，

所以，()211200sin sin sin d d d d d x x D

x

x x x y x y x x x x x x

==-⎰⎰

⎰⎰⎰ ()1

sin 1d 1sin1x x x =-=-⎰

五、(10分) 在第一卦限内作2223x y z ++=的切平面, 使得切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小, 求此切点的坐标, 并求出最小的体积值(见练习册自

测题第2章第七题)

解：设(),,P x y z 是球面上一点, 令()222,,3F x y z x y z =++-, 则

2,2,2x y z P P P

F x F y F z '''===, 所以过(),,P x y z 点的切平面方程为

()()()2220x X x y Y y z Z z -+-+-=, 即

1333X Y Z

x y z

++=, 它在三个坐标轴上的截