结构力学——力矩分配法

R BP
B
C
' RB P RBP
A
A
B
C
最终状态:
杆端弯矩＝固端 弯矩+分配弯矩+ 传递力矩
M AB 100 28.6 128.6 M BA 100 57.1 42.9
q 12kN / m
A
ql 2 /12
EI
B
EI
C
10 m
10 m
q 12kN / m
（2）弯矩分配系数μ和弯矩分配
r11 4i AB 3iAC iAD
1
R1P M
r11 1 R1P 0
R1P M M M r11 4i AB 3i AC i AD S AB S AC S AD S
( A)
M AB 4i AB 1
第一节
一、引言
力矩分配法的基本概念
对于超静定结构的内力计算，我们前面学习了两种基本的 方法—力法和位移法，二者的共同特点是都要建立和求解联立 方程组，当未知量太多时，计算量也相应的增大，同时，在求 得未知量后，还需要利用杆端弯矩的叠加公式求得杆端弯矩， 整个计算求解过程较繁琐。 为了寻求计算超静定刚架更简捷的途径，自20世纪30年代 以来，又陆续出现了各种渐近法，如力矩分配法、无剪力分配 法、迭代法等。而这些方法的理论基础都是位移法，共同特点 是避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐近的方法来计算杆 端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于 精确值。
M
注3、由于内力只与各杆相 对刚度有关，故可用 相对值计算（EI 可取 任意值）
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
10 kN
A
EI
B
EI
C
6m
8m
60kN.m
M
30kN.m
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
100
A
M 100 kN m
EI
解决三个问题：） （1）计算单跨超静定梁的固端弯矩 固端弯矩：常用的三种基本结构的单跨超静定梁， 在支座移动和几种常见的荷载作用下的杆端弯矩，可用力 法计算或在计算表中查得。 （2）计算结点各杆端的弯矩分配系数μ
（3）计算杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数C
4、相关参数的概念
（1）转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力，在
远端弯矩与近端弯矩的比值称为弯矩传递系数。
C Aj M jA M Aj
C 待分配力矩 ' Z1 M A A Z1 Z1
D
来自百度文库
M BA 2iAB A
M BA 1 C AB M AB 2
M CA 0
M CA C AC 0 M AC
M DA i AD Z1
B
M DA C AD 1 M AD
2、力矩分配法的正负号规定 力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆 端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相 同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。作用于结点的 外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为 对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。
3、力矩分配法的三要素
（用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架，需要先
⑵
第三节
⑶
多结点力矩分配法
为了取消结点2 的刚臂，放松结点2 ，在结点2 加上 新的负不平衡力矩，为了只在2 点产生一个角位移， 结点1 再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结 点2 处于暂时的平衡。 传递弯矩的到来，又打破了1 点的平衡，1 点又有了 新的约束力矩M传，重复⑵、⑶两步，经多次循环后各 结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状 态和变形状态。一般2～3个循环就可获得足够的精度。 叠加：最后杆端弯矩： M = M F +∑M 分配＋∑M 传递
第三节
多结点力矩分配法
经过一轮固定与放松，变形曲线与实际变形曲线已比较 接近，但还不是实际的变形，因为刚臂上还残存约束力矩，需 要再次进行一轮固定、放松过程。由于每次放松都是将一个约 束力矩分解（因为 <1，C <1），所以几个轮回约束力矩就会 小到可以忽略了。通过逐渐逼近的方式直接求出杆端力矩。 1 . 变形逐渐趋于真实变形；刚臂反力逐渐趋于零。 2 . 释放顺序是任意的，但通常先释放不平衡力矩较大的分 配单元（这样收敛快） 3 . 一般最终的杆端力矩与固端力矩是同量级的，要求精确 到三位有效数字，计算中取4位计算，以保证前三位的 精确度
MAC
' MA A MAD
远端固定
C Aj
1 2
远端滑动
C Aj 1 远端铰支 M
AB
C Aj 0
在等截面杆件中，弯矩传递系数C随远端的支承情况 而不同。三种基本等截面直杆的传递系数如下：
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
固定状态:
M
F AB
q 12kN/m
M
F BA
1 2 ql 100 kN m 12
ql 2 /12 RBP 100 kN m
R BP
B
C
' RB P RBP
A
M BC 0 42.9 42.9 MCB 0
A
B
C
q 12kN / m
通常采用列 表方式计算
A
EI
B
EI
C
10 m
10 m

M F 100
分 配 传 递
0.571 0.429 100 0 57.1 42.9
0.5 0.5 41 -24 60 -18 -18 120 2.2 -1.1 -1.1 0.1 M -40.8 40.9
-60 -9 70 -0.6
-69.6
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
q 10kN/m
2 .5 m
3 .5 m
1020
2 .0 m
333 333
EI=const
4 .8 m
( A)
定义：结点处，某杆的转动刚度与汇交于该结点的所有杆 件的转动刚度之和的比值。 特性：相交于的所有杆件的分配系数之和为1 弯矩分配： 近端弯矩=分配系数×结点弯矩 远端弯矩=近端弯矩×传递系数
（3）弯矩传递系数和弯矩传递
传递系数C：表示当杆端发生转角时，杆件远端弯矩 与近端弯矩的比值。 当杆件的某一端发生转角时，在该端产生的弯矩称为 近端弯矩，另一端产生的弯矩称为远端弯矩。
21.2
2 . 不相邻 点可同时 释放.
547 417130
76
208
MC
M
….
M
1095 1095
423 423 2118 2118
….
….
….
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
A
1000 kN

MF
B 3B是悬臂梁， 1 EI 2 EI EI 转动结点3 时， 10 m 10 m 10 m 1 m 悬臂可自由转 动，固其转动 0.43 0.57 0.5 0.5 1 0 1000 刚度为零
数值上等于杆端产生单位转角时所需要施加的力矩。
SAB =4 i 1 A SAB =3 i 1 A B
EI l
B
SAB = i
1 A B
SAB =0
1 A B
远端固定，SAB = 4i；远端铰支，SAB = 3i
远端滑动，SAB = i；远端自由，SAB = 0
说明：在SAB中，A端是施力端，也称为近端，B端称为远端 杆端转动刚度不仅与杆件的线刚度i有关，而且与远端 的支承情况有关。
第七章 渐近法——力矩分配法
学习内容
转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。 力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和 无侧移刚架。 无剪力分配法的概念及计算。 超静定结构影响线及超静定结构的内力包络图。 利用对称性简化力矩分配法计算。
学习目的和要求
目的：力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种 实用计算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到 杆端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。 要求：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无 侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩 分配法计算有侧移刚架。
A
ql 2 /12
EI
B
EI
C
100 kN m
10 m
10 m
F F MBC MCB 0
q 12kN/m
ql 2 /12 RBP 100 kN m
放松状态:
不平衡力矩变号，再乘以 分配系数即为分配弯矩
M BA BA (RBP ) 57.1 M BC BC (RBP ) 42.9
第三节
多结点力矩分配法
计算过程详述
⑴ 加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁 （基本体系），计算各杆固端弯矩 MF，由结点力矩平 衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），基 本体系与原结构的差别是：在受力上，结点1、2上多了 不平衡力矩；在变形上结点1、2不能转动. 为了取消结点1 的刚臂，放松结点1（结点2 仍锁住）， 在结点1 加上负的不平衡力矩，此时梁只有一个角位移， 并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配 和传递。结点1 处于暂时的平衡。此时2 点的不平衡力矩 是原不平衡力矩加上1 点传递来的传递力矩。

Mf M

0.513 0.487
781 1020 123 116
0.762 0.238 0.363 0.637
2880 58 972 1941606 623
1 . 为避免小 数运算，可 先将固端弯 矩扩大100倍； 对结果再缩 小100倍。
11.0 312
160 152
4.2
1094
0 0
28.6
M 128.6 42 .9 42.9
128 .6 42 .9
0
M
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
q 10 kN/m
A
4m
EI
B
4m
EI
C
6m

MF
分 配 传 递
M
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(EI=常数) 。
q
B
结点
l
Al
l/2
2ql
S1B 3i
C
l/2
⑷
(5)
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
8 kN/m A EI=1 6m 26 24 B EI=1 C 6m 80 kN EI=1 D 3m 3m

MF M & MC 36
2.2
0.1 26.3
M
0.5 0.5 -24 19 24 -9 36 4.5 4.5 -0.6 0.3 0.3 -19.2 19.2
1
杆端
B B1
A A1
1 1A 1B 1C 1/2 3/8 1/8
C C1

MF
分配 传递
S1 A 4i
S1C i
1 A
1B
4i 1/ 2 4i 3i i 3i 3/8 4i 3i i
M
1C
i 1/ 8 4i 3i i
q
B
ql2/8
结点
15
B
0 .7 0 .3 50 0 35 15
EI
C
6m
8m

M F 100
分 配 传 递
M
0
0 15 15
15 15
M 100
第三节
多结点力矩分配法
用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架， 只需人为制造只有一个分配单元的情形。
方法：先固定，然后逐个放松。应用单结点的基 本运算，就可逐步渐近求出杆端弯矩。
S AB M S
( A)
M AC 3i AC 1
S AC M S
( A)
M AD i AD 1
S AD M S
( A)
可以看出，刚结点A在外力偶荷载作用下，结点A上各杆在A
端的弯矩与各杆的转动刚度成正比，由此我们进入分配系
数
Aj
S Aj M ( j B、 C 、 D ) S
第三节
多结点力矩分配法
计算的指导思想由两个步骤说明：
固定状态的计算（与单点固定一样）。
即刚臂→荷载→固端力矩→约束力矩； 放松状态的计算（与单点放松不同）。 力矩的分配和传递是在远端约束已知的情况下进行的， 因此，分配单元的相邻结点不应同时放松。每次只能 放松一个结点，同时相邻结点保持固定，所以，整个 放松过程是轮流放松每一个结点来逐步完成的。
1 ql2/4
2ql
ql2/4
ql2/64
C
杆端
B B1
A A1
1 1A 1B 1C 1/2 3/8 1/8
C C1
A 3ql2/64

MF
分配 传递
0 0 0
1/4 -1/4 -1/8
3 32
11 32
0
3 64
3 64
0


3 16
1 16
9 64
1 64
3 64
3 64
B
1
ql2/16
A
C
二、力矩分配法的概念 1、力矩分配法：主要用于连续梁和无结点线位移(侧移) 刚架的计算，其特点是不需要建立和求解联立方程组， 而在其计算简图上直接进行计算或列表计算，就能直接 求得个杆端弯矩。 理论基础：位移法 力矩分配法 计算对象：杆端弯矩 计算方法：逐次逼近的方法 使用范围：连续梁和无结点线位移的刚架
M
11ql2/32
M
所得结果是 近似解吗?
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
M 10 kN m
A
4m
EI
B
4m
2 EI
C
RBP 40 10 50 kN m
注1、力偶不引起固端弯矩
6m

M
分 配 传 递
F
注2、杆端最终弯矩
M MF M MC