散射理论

第七章 散射理论

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前面几章主要讨论了薛定谔方程中的束缚态问题，特别是微扰理论；必须要求微扰H '在

无微扰表象中的矩阵元mn H '的绝对值远小于无微扰表象中相应的能级间隔00

m n E E -，以保证微

扰级数收敛，而对于能量连续的散射态，能级间隔趋于零，因此一般来说，不能用第五章中的

方法处理。

但是，另一方面，微观粒子之间的散射或称碰撞过程的研究，对于理解许多物理现象十分重要。例如，许多复合粒子的内部结构、电荷分布等，就是通过散射实验给出的。核子、介子的夸克结构，由于目前在实验上还未找到自由夸克，也只能通过散射实验间接地予以论证，今年来的高能重离子碰撞之所以能引起巨大的关注，也是因为人们相信，有可能由此得出夸克、胶子等离子态。至于高能宇宙线、气体放电、原子、分子物理的研究，散射过程更占着重要地位。建立一套散射理论无论从实验上看，还是从使理论更加完整的角度上看，都是完全必要的。

散射过程最主要的特点是散射粒子的波函数，一般来说，在无穷远处并不为零。而且，入射粒子的能量通常是给定的。散射粒子在无穷元处的波函数并不为零，能谱连续。散射过程中最感兴趣的物理结果是粒子被散射后，散射到各个不同方向，各个不同立体角的概率。在8.1中将看到，这些物理结果可以用微分散射截面以及总散射截面描述。本章将分别就弹散射和非弹性散射两种不同情况，按入射粒子是高能粒子还是低能粒子，分别建立各种不同的散射理论。我们还将逐步介绍适用于各种不同情况的处理散射过程的近似方法，包括分波法、格林函数法和玻恩近似、克劳勃近似、S 矩阵、T 矩阵和形式散射微扰理论、光学势、扭曲波近似等等。 7.1散射问题的一般描述 在经典力学中，弹性散射是按照粒子在散射过程中，同时满足动量守恒和能量守恒来定义的。在量子力学中，一般说来，除非完全略不粒子之间的相互作用能，否则，动量将不守恒。这是

因为动量算符ˆP

与势能算符U(r)不对易，动量不是守恒。因此，在量子力学中，不可能按经典力学的方式定义弹性散射。

在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只要动能交换，粒子内部运动状态并不、无变化则这种散射过程称为弹性散射，如果在散射过程过程中粒子内部运动状态有所变化。例如激光、电离等等，则成为非弹性散射。本章将先讨论弹性散射问题。在最后几节再研究非弹性散射。

考虑一束入射粒子流向粒子A 射来，取粒子流入射方向为z 轴。A 称为散射中心(如图8.1.1所示)。为讨论方便起见，假定A 的质量比入射粒子大得多，由碰撞而引起的A 的运动可以略去。

应该指出，散射过程是个两体问题，因为它涉及两个相互散射的粒子。对于两体问题，最好的处理方法是采用质心坐标系。因为在质心系中，一个两体问题将被归结为一个粒子因为与质心的相互作用而被散射。另一个粒子的运动可由对称性或类似的单粒子被势场给出。从而归结为单体何题。如果散射中心粒子A 的质量比入射粒子大得多，可以认为质心就在A 上。这样就使问题处理起来简单得多了。

如图7.1.1，入射粒子受A 的作用而偏离原来的运动方向，发生散射。图中角θ为散射粒子

的方向与入射粒子方向间的夹角，称为散射角。显然，经过散射后，散射到角

θ(,)d r σσθϕ=Ω→∞处立体角2/d dS r Ω=的粒子数dN 必然与入射的粒子流强度N 及

d Ω成正比，即

Ω∞Nd dN

(7.1.1)

(7. 1.1)式中，入射粒子流强度N 由在单位时间内穿过垂直于入射粒子流前进方向z 上的单位面积的粒子数表示。以σ表示(7. 1. 1)式中的比例系数，一般地σ应与描述散射粒子散射方向的角度,θϕ有关，即(,)σσθϕ=，因而有 Ω=Nd dN ),(ϕθσ

(7.1.2)

(,)σθϕ的量纲可以由(7. 1. 2)式给出，结果是

[][][][][][][]

[]2

2

2

22)(1,1L

Nd dN L

L r dS d T

L N T dN =⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡Ω===Ω=

=θσ

（7.1.3）

(7.1.3)式表示，(,)σθϕ具有长度平方即面积的量纲。因此(,)σθϕ称为徽分散射截面。它和入射粒子、散射粒子的性质，以及它们之间的相互作用、角度,θϕ等有关。它的物理意义是：一个入射粒子经散射后，散射到,θϕ方向单位立体角的概率。将(,)d σθϕΩ对立体角，即对所有可能的方向积分，得

⎰

⎰

⎰=Ω=π

π

π

ϕθθθσϕθσ20

sin )(),(d d d Q

(7.1.4)

Q 称为总散射截面。它表示一个入射粒子被散射后，散射到任何方向的概率，加果散射中心的相互作用势对z 轴对称。则显然(,)σθϕ与角度ϕ无关，(7.1.4)式化简为

θθθσππ

d Q sin )(20

⎰=

(7.1.5)

由于在实验上最感兴趣的是观察散射后，散射到各个方向的粒子数或概率，因此散射理论的核心问题是如何求出微分散射截面(,)σθϕ为此，我们先来求微分散射截面的一般公式。 在辏力场U(r)中，薛定谔方程是

ψψψE r U m

=+∇-)(222 (7.1.6)

引入

)(222

22

r U p mE k

==

(7.1.7)

‘ors

(7. 1.6)式可改写为

[]

0)(22=-+∇ψψr V k

(7.1.8)

散射问题就是要求解薛定谔方程(7.1.8)式，找出散射后粒子出现在(,)σθϕ方向的概率。也就是要求出满足(7.1.8)式的波函数。但是，由于实验上测量粒子的散射几率都是在离开散射中心很远的地方，因此，散射问题中感兴趣的问题主要是ϕ在r →∞:时的渐沂行为。

在未受散射中心散射前，势场的作用为零。入射粒子是自由粒子，由平面波表示，取入射粒子流的方向为z ，沿z 方向行进的入射波是 ikz Ae =1ψ

(7.1.9)

式中A 是振幅。粒子进人势场，经散射中心散射后，波函数会发生变化。在离散射中心足够远处，粒子间的相互作用可以忽略，()0r V r →∞−−−→。因此在r →∞处，波函数将由两部分组成;一部分是仍沿z 方向的透射波ikz

Ae ，另一部分是散射波。在辏力场V(r)中，由

于球对称，散射波是球面波。而且由于现在只考虑弹性散射，因此散射波的能量不变。球面散射波波矢的数值仍为k 。弹性散射过程只改变波矢的方向，不改变波矢的大小。记这部分散射

波为()ikz e f r θ，()f θ是散射角θ的函数，ikz

e r

是球面波。于是，散射后的波函数在无穷远处

的渐近行为是

r

e f r e f Ae

ikr ikr ikz

r )(,)(221θψψψθψ=+=+→∞

→

(7.1.10)

为方便起见，取A=1,2

11ψ=表示单位体积中只有一个入射粒子。入射粒子的概率流密度是

υψϕψψψ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=

211*111*2m

k z m i J z z (7.1.11)

z 是粒子的速率。它在数值上等于单位时间内穿过垂直于粒子前进方向即z 轴上单位面积的粒子