单自由度振动习题分析

l/2
EI
l/2
m y(t )
FP
m 2 A FP l / 2
FP
y
A
1 1 FP l l 5 5 FPl 3 y st l 解: EI 2 2 2 6 48 EI 1 4 1 2 / 2 3 5 FPl 3 A yst 36 EI
l
=1
11
例3:求图示体系振幅、动弯矩幅值图。已知： 0.5 解:
y (t ) A sin t
A yst
例1
求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知
FP sin t
0.5
m
EI1 EI EI
FP
l
FPl/4 解:
24 EI k11 l3 FP FPl 3 yst k11 24EI
FPl/3
4 3
动弯矩幅值图

1 1 2 / 2
Q 35kN , P 10kN , n 500转 / 分.
解:
3 2 . 53 10 m 11 0.72210 m/N M Q 35kN Q
7
yst FP11 0.722103 m
M st 1 FPl 10 kN.m 4
动位移幅值
A yst 2.45103 m
例2: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 1 2 ln 0.0276 力16.4kN,降绳突然切断,开始作 2 4 1 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 降为1cm.求 1.阻尼比 2.刚度系数 2.刚度系数 2cm 3 16 . 4 10 3.无阻尼周期 k11 8.2 105 ( N / m) 16.4kN 4.重量 0.02 5.阻尼系数 6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少
(3)阻尼特性
解：(1)大梁的重量,
W 1.4s kg

k 2
W=mg
1 1 2 2 ln 0.0355, r 1 (0.999 ) 2 2 1.6
(4)6周后的振幅
y0 e T ( t0 T ) e y1 e
t0
6 6 An An 1.61 1 y1 ln ln y6 y0 2 0.524 cm 2 2 y0 An 1 2 m An m
5.阻尼系数
m k11 / 5190 (kg)
2
W mg 50.86(kN)
c 2m 3601 ( N s/m)
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少
5 8 . 2 10 2 136.89(1 / s 2 ) 5190 800
11.70(1 / s)
机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为FP=30kN.求竖向
振动时的振幅。
解：
y st
FP 30 3 0 . 0228 10 m 3 K 1314 .5 10
FP(t ) FP sin t

K m
1314 .5 106 91.79(1 / s) 3 15610
二、动荷载不作用于质点运动方向时的计算
m
FP sin t
y(t )
(t ) m y
FP sin t
12
=1
11
FP
yst
=1
运动方程
) y(t ) 12 FP sin t 11 (m y 1 12 my (t ) y (t ) FP sin t
1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。
2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述 不同，目前主要有两种阻尼理论：
*粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比： FR (t ) cy 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。 *滞变阻尼理论
FP
m 2 A
A
29 F Pl 48
FP
5 F Pl 96
5 FP 48
FI
max
1 A m A 2 m A 2 4 4 11
29 F Pl 48
FP
5 F Pl 96
5 FP 48
5 FP 48
动弯矩幅值图Md
例4:求图示体系右端的质点振幅
FP sin t
m
Байду номын сангаасl l
EI
解:
(1)
2 0.016 2

A 1 ln i 2n Ai n
(4)
T
2

2
m k
24 EI k l3
(2)
m l3 EI 3.79 106 N m 2 T 2 24( ) 2
3 m 156 10 kg ;地基竖向 例4.图示为块式基础.机器与基础的质量为 刚度为 K 1314 .5 103 kg/m;竖向振动时的阻尼比为 0.2
T 2 / 0.537(s)
c / 2m 0.0257
3.无阻尼周期
5.阻尼系数
2
Tr 2 / 4 0.5(s)
T Tr 1
4.重量
c 2m 3601 ( N s/m)
2
0.4998 (s)
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比 为多少 5
2 12 .57 (1 / s) T 2 m k11 / 5190 (kg)

8.2 10 136.89(1 / s 2 ) 5190 800 11.70(1 / s)
T 2 / 0.537(s)
W m g 50.86(kN)
c / 2m 0.0257
无阻尼简谐荷载作用下的强迫振动例题分析 动位移、动内力幅值计算属于动力响应计算 一、动荷载作用于质点运动方向时的计算
1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力； y , Mst
st
计算步骤:
2.计算动力系数；

1 1 2 / 2
3.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。
动弯矩幅值
2n / 60 52.3 1 / S
1 / m 11 g / Q 62.3 1 / S
M D M st 34kN.m
跨中最大弯矩
M max M Q M D 69kN.m
跨中最大位移

1 1 /
2 2
3.4
Ymax Q A 4.98103 m
FP sin t
m
l/2 EI l/2
FP l / 2
FP
yst
l
=1
11
1 1 2 / 2 4 3
y st
1 1 FPl l 5 5 FPl 3 l EI 2 2 2 6 48 EI
FI
max

5 FPl 3 A yst 36 EI
m A
2
5 1 2 A FP mA 48 4 4 11
Fp
m
2
sin t
[列幅值方程求内力幅值]
y (t ) A sin t
(t ) A 2 sin t y FI (t ) mA sin t
2
同频同步变化
FP (t ) FP sin t
例3:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知 0.5
FP sin t
例3: 图示刚架,横梁无限刚度,作自由振动试验,要求在10秒 内振幅衰减到最大振幅的5%。已知:m=4000kg,l=4m, =0.1, 求： 刚架柱子的抗弯刚度EI至少为何值?
m
l
EI1
EI EI
Amax n ln 30 2 0.5% Amax 1
(3)
10 1 T s n 3
例1. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振 动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。 由 T 2 2
2 k 20 1.4 W k g 0.0496 981 486.6kN 2 2 2 1 1 (2)自振频率 f 0.714 ( Hz ) 2f 4.48 1 s T 1.4
N 2 83 .78(1 / s) 60
1 / (1 / ) (2 / ) 2.49
2 2 2 2
1/(1 2 / 2 ) 5.99
A y st 0.13664 (mm)
A yst 0.0568 (mm)
振幅
A
Fp
令
11 Fp 12 FP 11
1
11
12 FP 11 12 FP 11
yst
m 2
Fp 11
(t ) m y
稳态解
11
y (t ) Fp sin t
仍是位移动力系数 是内力动力系数吗?
y (t )
FP m o
2 Ak 3
l
m A 2
k
A
1 mA 2 3
解:
M
o
0
1 2 2 2 Fp l mA l mA 3l Ak 2l 0 3 3
经整理后，解得:
3FP A 10 m 2 4k
阻尼对振动的影响
1、关于阻尼，有两种定义或理解： 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量； 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。 3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。

1 FPl 3 A yst 18 EI
例2
求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 GPa, 已知: l 4m, I 8.8 105 m 4 , E 210
Q 35kN , FP 10kN , n 500 转 / 分.
FP sin t
解:
l/2
Q l/2
y0 y0 e 6T ( t0 6T ) e y6 e y 1
t0
6
例2: 对图示体系作自由振动试验。用钢丝绳将上端拉离平 衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动。 经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求： 1.阻尼比 2cm 2.刚度系数 3.无阻尼周期 16.4kN 4.重量 5.阻尼系数 6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少 解: 1.阻尼比
1 2 ln 0.0276 2 4 1
16.4 103 k11 8.2 105 ( N / m) 0.02
2.刚度系数
3.无阻尼周期
Tr 2 / 4 0.5(s)
4.重量
T Tr 1 2 0.4998 (s)
2 12.57 (1 / s) T
11
l3 0.722107 m/N 48EI
重力引起的弯矩:
1
MQ
1 Ql 35 kN 4
11 l/4
重力引起的位移:
Q Q11 2.53103 m
例2
求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知: l 4m, I 8.8 105 m 4 , E 210 GPa,