不动点的性质与应用

不动点的性质与应用

一、不动点：

对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.

例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1

例2：求函数12)(2

-=x x g 的不动点. 解：有两个不动点12

1

、- 二、稳定点：

对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与

y x =图像交点的横坐标.

很显然，若为函数)(x f y =的不动点，则必为函数)(x f y =的稳定点.

证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.

解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1

【提问】有没有不是不动点的稳定点呢答：当然有 例4：求函数12)(2

-=x x g 的稳定点.

解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(22

4

2

4

2

2

=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x ， 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,21

21=-

=x x

⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x

可得0)124)(12)(1(2

=-++-x x x x ⇒另外两解4

5

14,3±-=

x ， 故函数12)(2

-=x x g 的稳定点是1、2

1

-

、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点 下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.

由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标，稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.

由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.

证明：（1）ο

1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即0

0)(x x f =

000)())((x x f x f f ==⇒，故也是函数)(x f y =的稳定点；

ο2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ，即00))((x x f f =，

假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠

①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）

（2）ο

1若函数))((D x x f y ∈=无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；

ο2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无

不动点；

综上，若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.

1

21

例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。把使得f (f (x ))=x 成立的x 称为函数的f (x )的稳定点，函数f (x )的不动点和稳定点构成集合分别记为A 和 B. 即A ={x |f (x )=x },B ={x |f (f (x ))=x }，

（1）请证明：A ⊆B ；（2）2

()(,)f x x a a R x R =-∈∈，且A =B ≠∅，求实数a 的取值范围. 解：（1）证明：①若A =∅时，A B ⊆

②若A ≠∅时，对任意的x A ∈，有()[()]()f x x f f x f x x x B A B =⇒==⇒∈⇒⊆ 综上，得A B ⊆

（2）A ≠∅Q 2

0x a x ∴-==有解11404

a a ⇒∆=+≥⇒≥-

B ≠∅Q ∴（x 2-a ）2-a=x 有解⇒x 4-2ax 2-x+a 2-a=0 Q A ⊆B ∴即x 4-2ax 2-x+a 2-a=0的左边有因式x 2-x-a ；

∴(x 2

-x-a)(x 2

+x-a+1)=0；

又A=B ∴x 2+x-a+1=0无实数根，或实数根是方程x 2

-x-a=0的根； ∴①若x 2

+x-a+1=0无实数根，则△=1-4（-a+1）<034

a ⇒<

②若x 2+x-a+1=0有实根，且实根是方程x 2

-x-a=0的根；

作差，得2x+1=01324x a ⇒=-⇒= 综上，a 的取值范围为13

[,]44

-

例6、已知函数(),y f x x D =∈，若存在0x D ∈，使得00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点；若存在0x D ∈，使得00[()]f f x x =，则称0x 为函数()f x 的稳定点，则下列结论中正确的是_________(填上所有正确结论的序号).

①1

12

-、是函数2

()21f x x =-的两个不动点；

②若0x 为函数()y f x =的不动点，则0x 必为函数()y f x =的稳定点； ③若0x 为函数()y f x =的稳定点，则0x 必为函数()y f x =的不动点； ④函数2

()21f x x =-共有三个稳定点；

⑤()f x = 考点：[命题的真假判断与应用] 解：①解2

21x x -=得：121,12

x x =-=

故112

-、

是函数2

()21f x x =-有两个不动点，即①正确； ②若0x 为函数y =f (x )的不动点，则00()f x x =， 此时000[()]()f f x f x x ==，