常用的傅里叶变换拉普拉斯变换Z变换及其性质

f (t)为实函数， 若f (t)， 则 6）能量积分 [f(t)] dt = 1 2π
F (ω)F (ω)dω =
|F(ω)| dω =
1 2π
S(ω)dω
S(ω) = |F(ω)| 称为能量密度函数（或能量密度） 7．卷积 1）定义 f (τ)f (t − τ)dτ称为f (t)，f (t)的卷积，记为f (t) ∗ f (t) 2）定理 f (t) ∗ f (t) = f (t) ∗ f (t) |f (t) ∗ f (t)|≤ |f (t)| ∗ |f (t)| f (t) ∗ [f (t) + f (t) = f (t) ∗ f (t) + f (t) ∗ f (t) ℱ [F(ω)] ℱ[f (t) ∗ f (t)] = F (ω) · F (ω) ℱ[f (t) · f (t)] = 1 F (ω) ∗ F (ω) 2π ℱ[f (t) ∗ f (t) ∗···∗ f (t)] = F (ω) · F (ω) ··· F (ω) 1 2π F (ω) ∗ F (ω) ∗···∗ F (ω)
拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 叠加性
L[ af (t )] = aF ( s )
L[ f 1 (t ) ± f 2 (t )] = F1 ( s ) ± F2 ( s )
L[ df (t ) ] = sF ( s ) − f ( 0 ) dt d 2 f (t ) ′ 0） L[ ] = s 2 F ( s ) − sf ( 0 ) − f（ dt 2 L[ d n f (t ) ] = s n F (s) − dt n d k −1 f ( t ) f ( k −1 ) ( t ) = dt k −1
f (k ) k+m f (k ) k
z 域微分性
z 域积分性
k+m>0 k >0
zm
F ( x) dx x m +1 ∞ F ( x) z x dx
时域卷积定理
f1 (k ) ∗ f 2 (k )
f (0) = lim F ( z )
z →∞
F1 (k ) F2 (k )
f (m) = limz m [F(z) − f (k )z − k ]
a s( s + a) b−a ( s + a )( s + b)
te
Tze − aT ( z − e − aT ) 2
(1 − e − aT ) z ( z − 1)( z − e − aT )
1 − e − at e − at − e − bt
z z − − aT z−e z − e −bT
z sin ωT z − 2 z cos ωT + 1
1 1 X (e jω ) ∗ H (e jω ) = 2π 2π
Y (e jw ) = X (e jw ) H (e jw )

π
Leabharlann Baidu
−π
X (e jθ ) H (e j ( ω−θ) )dθ
2
n=−∞
x ( n)
∞
2
=
1 2π

π
−π
X (e jω ) dω
周期信号 f (t ) 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频
2
ω
s +ω
2 2
sin ωt
cos ωt
s s +ω2
2
z ( z − cos ωT ) z − 2 z cos ωT + 1
2
ω
(s + a) 2 + ω 2
s+a (s + a) 2 + ω 2
1 s − (1 / T ) ln a
e e
− at
sin ωt cosωt
ze − aT sin ωT z 2 − 2 ze − aT cos ωT + e − 2 aT
6
终值定理
lim f (t ) = lim sF ( s )
t →∞ s →0
7
初值定理
lim f (t ) = lim sF ( s )
t →0 s →∞
8
卷积定理
L[ f1 (t − τ ) f 2 (τ )dτ ] = L[ f1 (t ) f 2 (t − τ )dτ ] = F1 ( s) F2 ( s)
T 2 z ( z + 1) 2( z − 1) 3
5
t2 2
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 s n +1
1 s+a
tn n!
lim
z (−1) n ∂ n ( ) n a →0 n! ∂a z − e − aT
z z − e − aT
e − at
− at
1 (s + a) 2
初始条件为 0 时 4 延迟定理（或称 t 域平移定理）
F ( s) L[ f (t )(dt ) n ] = n s
共n个
L[ f (t − T )1(t − T )] = e −Ts F ( s )
5
衰减定理（或称 s 域平移定理）
L[ f (t )e − at ] = F ( s + a )
2
微分定理
一般形式
s
k =1
n
n−k
f
( k −1 )
(0)
初始条件为 0 时
L[
d n f (t ) ] = s n F (s) n dt
F ( s) [ f (t )dt ]t = 0 + s s
2 F ( s) [ f (t )dt ]t = 0 [ f (t )(dt ) ]t = 0 + + s2 s2 s
∞ 0
∞
e jω0n ( 2π ω0 为无理数)
2π
− 2kπ)
k =−∞
cos ω0 n ( 2π ω0 为无理数)
π
k =−∞
[δ(ω − ω
∞
∞
0
− 2kπ) + δ(ω + ω0 − 2kπ)]
sin ω0 n ( 2π ω0 为无理数)
− jπ
k =−∞
[δ(ω − ω
0
− 2kπ) − δ(ω + ω0 − 2kπ)]
aX 1 (e jω ) + bX 2 (e jω ) X 1 (e jω ) ⋅ X 2 (e jω ) X e (e jω ) Re X (e jω )
nx (n)
x1 (n) ∗ x2 (n) Re[x(n)] xe (n)
x1 (n) ⋅ x2 (n) j Im[x(n)]
1 X 1 (e jω ) ∗ X 2 (e jω ) 2π
m −1
部分和
f1 (k )
f (k ) = f1 (i )
i =0 k
F1 ( z )
F ( z) = z F1 ( z ) z −1
折叠性
f (−k )
F ( z −1 )
z F( ) a (- z d m ) F ( z) dz
∞ z
Z 域尺度变换性
a k f (k )
k m f (k )
列
傅 里 叶 变 换 1
1 (1 − ae − jω )
e
− j ( N −1) ω 2
⋅ sin(
ωN ω ) sin( ) 2 2
∞
u ( n)
(1 − e − jω ) −1 +
k =−∞
πδ(ω − 2kπ)
x ( n) = 1
2π
k =−∞
δ(ω − 2kπ) δ( ω − ω
z 2 − ze − aT cos ωT z 2 − 2 ze − aT cos ωT + e − 2 aT
z z−a
− at
at /T
常用 z 变换的基本性质和定理 名称 时域序列关系 线性
z 域像函数关系
c1 f1 (k ) + c2 f 2 (k )
（1） f ( k ± m) （2） f (k - m)U (k )
2）位移性质 F(ω) ℱ [F(ω ∓ ω )] = f(t)e± ℱ[f(t ± t )] = e± 3）微分性质 ℱ[f′(t)] = jωF(ω) ℱ f ( ) (t) = (jω) F(ω) d d F(ω) = −jF[tf(t)] F(ω) = (−j) F[t f(t)] dω dω 4）积分性质 1 ℱ f(t)dt = F(ω) jω 5）乘积定理 f (t)f (t)dt = 1 2π F (ω)F (ω)dω f (t)f (t)dt = f (t)f (t)dt = 1 2π F (ω)F (ω)dω F (ω)F (ω)dω
(0, ±ω1 , ±2ω1 , ) 处，每个冲激的强度等于 f (t ) 的傅里叶级数的相应系数 Fn 的 2π 倍。即
0 0
t
t
常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 号 拉氏变换 E(s) 1 时间函数 e(t) δ(t)
δ T (t ) = δ (t − nT )
n =0 ∞
Z 变换 E(z) 1
z z −1
1 2 3 4
1 1 − e −Ts
1 s
1(t )
z z −1
1 s2
1 s3
t
Tz ( z − 1) 2
2．移位 设 DTFT [ x(n)] = X (e jω ) ，则： DTFT[ x(n − n0 )] = e − jωn0 X (e jω ) 3．频移性 设 DTFT [ x(n)] = X (e jω ) ，则： 4．对称性 (4) 若 x(n) 是实序列，则其傅里叶变换 X (e jω ) 满足共轭对称性，即 X (e jω ) = X ∗ (e − jω ) 也就是说： Re [ X (e jω )] = Re [ X (e − jω )]
Im[ X (e jω )] = − Im[ X (e − jω )] DTFT [e jω0n x(n)] = X (e j ( ω−ω0 ) )
由此可以看出，实序列的傅里叶变换的实部是 ω 的偶函数，而虚部是 ω 的奇函数。 (5) 序列 x(n) 的傅里叶变换 X (e jω ) 的极坐标表示形式为： X (e jω ) = X (e jω ) e j arg[ X ( e 对实序列 x(n) ，有： X (e jω ) = X (e − jω )
arg[ X (e jω )] = − arg[ X (e − jω )]
jω
)]
也就是说，实序列的傅里叶变换的幅度是 ω 的偶函数，而相角是 ω 的奇函数。 5．时域卷积定理 若 y (n) = x(n) ∗ h(n) ，则有： 6．频域卷积定理 若 y (n) = x(n) ⋅ h(n) ，则 Y (e jω ) = 7．帕塞瓦尔（Parseval）定理
k =0 m −1
• 初值定理
• 终值定理
f (∞) = lim
z →1
z −1 F ( z) z
傅里叶变换的性质 1）线性性质 ℱ[af (t) + bf (t)] = aF (ω) + bF (ω) ℱ
[aF (ω) + bF (ω)] = af (t) + bf (t)
X o (e jω ) j Im X (e jω )
1 2π
[
]
xo (n)
[
]
n = −∞
x ( n)
∞
2
=
1 2π

π
−π
X (e jω ) dω
2
n = −∞

∞
x ( n) y * ( n) =

π
−π
X (e jω )Y * (e jω )dω
常用序列傅里叶变换 序
δ(n)
a n u ( n) RN (n) a <1
L[ f (t )dt ] =
一般形式 3 积分定理
L[ f (t )(dt ) 2 ] =
共n个
共n个 F (s) n 1 L[ f (t )(dt ) n ] = n + n − k +1 [ f (t )(dt ) n ]t = 0 s k =1 s
序列的傅里叶变换的性质 序
x ( n) x * (n)
列
傅里叶变换
X (e jω ) X * (e − jω )
序
列
傅里叶变换
e − jωn0 X (e jω ) X (e − jω )
dX (e jω ) j dω
x(n − n0 ) x ( − n)
ax1 (n) + bx2 (n)
∗
c1 F1 (z) + c 2 F2 (z)
z ±m F ( z)
z − m [F(z) +
移位性
f (k - m)U (k - m)∗ z −m F ( z) f (k + m)U ( k )∗
m
k =−m
f (k )z
−1
−k
]
z [ F ( z ) − f (k ) z − k ]
k =0
[f (t) · f (t) ···· f (t)] =
离散傅里叶变换的性质 1. 线性 设 DTFT[ x1 (n)] = X 1 (e jω ) ， DTFT[ x2 (n)] = X 2 (e jω ) ，则：
DTFT[ax1 (n) + bx2 (n)] = aX 1 (e jω ) + bX 2 (e jω )