高一数学必修一全套讲义(含答案)

§1.1 集合
1．1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
一、基础过关
1． 下列各项中，不可以组成集合的是
( )
A ．所有的正数
B ．等于2的数
C ．接近于0的数
D ．不等于0的偶数
2． 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是
( )
A ．0∈A
B ．a ∉A
C ．a ∈A
D ．a ＝A 3． 由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3
x 3所组成的集合，最多含
( )
A ．2个元素
B ．3个元素
C ．4个元素
D ．5个元素
4． 由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)
①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学； ③高一数学课本中所有的简单题； ④平方后等于自身的数．
5． 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 6． 判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1,0.5，32，1
2组成的集合含有四个元素；
(4)某校的年轻教师．
7．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .
二、能力提升
8．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
9．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.
11．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q 中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
三、探究与拓展
12．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则1
1－a
∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
第2课时 集合的表示
一、基础过关
1． 集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为
( )
A ．{0,1,2,3,4}
B ．{1,2,3,4}
C ．{0,1,2,3,4,5}
D ．{1,2,3,4,5} 2． 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示
( )
A ．方程y ＝2x －1
B ．点(x ，y )
C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合
3． 将集合⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y )|⎩
⎪⎨
⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是 ( )
A ．{2,3}
B ．{(2,3)}
C ．{(3,2)}
D ．(2,3)
4． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
5． 用列举法表示下列集合：
(1)A ＝{x ∈N ||x |≤2}＝________； (2)B ＝{x ∈Z ||x |≤2}＝________；
(3)C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4，x ∈Z ，y ∈Z }＝______. 6． 下列各组集合中，满足P ＝Q 的有________．(填序号)
①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}； ②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}；
③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }． 7． 用适当的方法表示下列集合．
(1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x －2>6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
8． 已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理 由．
二、能力提升
9．下列集合中，不同于另外三个集合的是() A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
10．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是() A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集
C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集
11．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是______．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141 59}；
②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；
④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．
12．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
三、探究与拓展
13．定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是多少？
1.1.2集合间的基本关系
一、基础过关
1．下列集合中，结果是空集的是() A．{x∈R|x2－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1}
C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}
2．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是() A．P＝Q B．P Q
C．P Q D．P∩Q＝∅
3．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.
其中正确的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()
5．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)
6．已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是________．
7．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
8．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．
二、能力提升
9．适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是() A．15个B．16个C．31个D．32个
10．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是
()
A．S P M B．S＝P M
C．S P＝M D．P＝M S
11．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．
12．已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．
三、探究与拓展
13．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．问是否存在实数a，使得对于任意实数b(b≠1，b≠2)都有A⊆B.若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．
1.1.3集合的基本运算
第1课时并集与交集
一、基础过关
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于() A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B等于() A．{x|x＜1} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x＜1}
3．若集合A＝{参加伦敦奥运会比赛的运动员},集合B＝{参加伦敦奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加伦敦奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()
A．A⊆B B．B⊆C
C．A∩B＝C D．B∪C＝A
4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为() A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N等于() A．{0} B．{0,1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
6．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
7．设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，已知A∩B＝{9}，求A∪B.
8．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
二、能力提升
9．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于() A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或3
10．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.
11．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a ＝________，b＝________.
12．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．
三、探究与拓展
13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝∅；(2)A⊆(A∩B)．
第2课时补集及综合应用
一、基础过关
1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于() A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}
2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为() A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
3．设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于() A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是() A．A＝∁U P B．A＝P
C．A P D．A P
5．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.
6．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________，∁U B＝________，∁B A＝________.
7．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．
8．(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，求N∩(∁U M)；
(2)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，求M∪N.
二、能力提升
9．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是() A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C．(M∩P)∩(∁I S) D．(M∩P)∪(∁I S)
10．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)等于()
A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
11．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．
12．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.
三、探究与拓展
13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？
§1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
一、基础过关 1． 下列对应：
①M ＝R ，N ＝N ＋，对应关系f ：“对集合M 中的元素，取绝对值与N 中的元素对应”； ②M ＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；
③M ＝{三角形}，N ＝{x |x >0}，对应关系f ：“对M 中的三角形求面积与N 中元素对应”． 是集合M 到集合N 上的函数的有
( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．0个 2． 下列各组函数中，表示同一个函数的是
( )
A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1
x ＋1
B ．y ＝x 0和y ＝1
C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2
D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x
(x )2
3． 函数y ＝1－x ＋x 的定义域为
( )
A ．{x |x ≤1}
B ．{x |x ≥0}
C ．{x |x ≥1或x ≤0}
D ．{x |0≤x ≤1} 4． 函数y ＝x ＋1的值域为
( )
A ．[－1，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，0]
D ．(－∞，－1]
5． 已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． 6． 若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________ 7． 判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数．
(1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ；
(4)A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. 8． 已知函数f (1－x
1＋x )＝x ，求f (2)的值．
二、能力提升
9． 设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关
系的有 ( )
A ．①②③④
B ．①②③
C ．②③
D ．② 10．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是
( )
A ．f (x )＝|x |
B ．f (x )＝x －|x |
C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝－x
11．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋2
3
)的定义域为________．
12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个
曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？ (4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？
(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
三、探究与拓展
13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
一、基础过关
1． 一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的
函数为
( )
A ．y ＝50x (x >0)
B ．y ＝100x (x >0)
C ．y ＝50
x
(x >0)
D ．y ＝100
x
(x >0)
2． 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量
如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1
x
2，则f (x )的表达式为
( )
A ．f (x )＝x ＋1
x (x ≠0)
B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0)
C ．f (x )＝x 2(x ≠0)
D ．f (x )＝(x －1
x
)2(x ≠0)
4． 已知在x 克a %的盐水中，加入y 克b %(a ≠b )的盐水，浓度变为c %，将y 表示成x 的函数关系式为
( )
A ．y ＝c －a
c －b x
B ．y ＝c －a
b －c
x
C ．y ＝c －b
c －a
x
D ．y ＝b －c
c －a
x
5． 如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分
别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}＝________.
6． 已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________． 7． 已知f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.求f (x )的解析式．
8． 已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根的平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．
二、能力提升
9． 如果f (1x )＝x 1－x
，则当x ≠0,1时，f (x )等于
( )
A.1x
B.1x －1
C.11－x
D.1x
－1 10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·
时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为
( )
A ．y ＝[x
10]
B ．y ＝[x ＋3
10]
C ．y ＝[x ＋4
10
]
D ．y ＝[x ＋5
10
]
11．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1
x
)＋x ，则f (x )的解析式为____________．
12．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；
(3)求函数f(x)的值域．
三、探究与拓展
13．已知函数y＝1
a x＋1(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的值．
第2课时 分段函数及映射
一、基础过关
1． 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ， x >0，
x ＋1， x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于
( )
A ．－3或－1
B ．－1
C ．1
D ．－3 2． 已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －5 (x ≥6)，
f (x ＋2) (x <6)，则f (3)为
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3． 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m
元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为
( )
A ．13立方米
B ．14立方米
C ．18立方米
D ．26立方米
4． 已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )
A ．f ：x →y ＝1
2x
B ．f ：x →y ＝1
3x
C ．f ：x →y ＝2
3
x
D ．f ：x →y ＝x
5． 下列对应关系f 中，构成从集合P 到S 的映射的是
( )
A ．P ＝R ，S ＝(－∞，0)，x ∈P ，y ∈S ，f ∶x →y ＝|x |
B ．P ＝N ，S ＝N ＋，x ∈P ，y ∈S ，f ∶y ＝x 2
C ．P ＝{有理数}，S ＝{数轴上的点}，x ∈P ，f ∶x →数轴上表示x 的点
D ．P ＝R ，S ＝{y |y ＞0}，x ∈P ，y ∈S ，f ∶x →y ＝1
x
2
6． 设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到C 的映射是y →
12y ＋1
，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的象为________． 7． 化简f (x )＝x ＋|x |
x ，并作图求值域．
8． 已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2 (－1≤x ≤1)
1 (x >1或x <－1)，
(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．
二、能力提升
9． 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋1(x ≤0)，－2x (x ＞0)，
使函数值为5的x 的值是
( )
A ．－2
B ．2或－5
2
C ．2或－2
D ．2或－2或－5
2
10．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是________．
11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2， －1≤x <0，－1
2x ， 0<x <2，
3， x ≥2，
则f {f [f (－3
4)]}的值为___________________，f (x )的定义域是____________．
12. 如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、
A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△AP
B 的面积，求函数y ＝f (x ) 的解析式．
三、探究与拓展
13．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：
千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．
§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
一、基础过关
1． 下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是
( )
A ．y ＝x 2－2
B ．y ＝3
x
C ．y ＝1＋2x
D ．y ＝－(x ＋2)2
2． 已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭
⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是
( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
3． 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ＞－1
4
B ．a ≥－1
4
C ．－1
4
≤a ＜0
D ．－1
4
≤a ≤0
4． 如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是
( )
A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0 B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0
C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2
f (x 1)－f (x 2)
>0
5． 设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．
6． 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝______________. 7． 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．
8． 已知f (x )＝x 2－1，试判断f (x )在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
二、能力提升
9． 已知函数f (x )的图象是不间断的曲线，f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间
[a ，b ]上
( )
A ．至少有一个根
B ．至多有一个根
C ．无实根
D ．必有唯一的实根
10．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值
范围是
( )
A ．0≤m ≤4
B ．0≤m ≤2
C ．m ≤0
D ．m ≤0或m ≥4
11．函数f (x )＝ax ＋1
x ＋2(a 为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a 的取值范围是________．
12．求证：函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
三、探究与拓展
13．已知函数f (x )＝x 2＋a
x (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．
第2课时 函数的最大(小)值
一、基础过关
1． 函数f (x )＝1
x
在[1，＋∞)上
( )
A ．有最大值无最小值
B ．有最小值无最大值
C ．有最大值也有最小值
D ．无最大值也无最小值 2． 函数y ＝x ＋2x －1
( )
A ．有最小值1
2，无最大值
B ．有最大值1
2，无最小值
C ．有最小值1
2，有最大值2
D ．无最大值，也无最小值
3． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋6， x ∈[1，2]x ＋7， x ∈[－1，1]
，则f (x )的最大值、最小值为
( )
A ．10,6
B ．10,8
C ．8,6
D ．以上都不对 4． 函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的
( )
A ．最小值是0，最大值是4
B ．最小值是－4，最大值是0
C ．最小值是－4，最大值是4
D ．没有最大值也没有最小值 5． 函数f (x )＝1
1－x (1－x )
的最大值是
( )
A.45
B.54
C.34
D.43
6． 函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)上有最大值9，最小值－7，则a ＝______，b ＝________. 7． 已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值．
8． 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.
(1)求f (x )在区间[1
2
，3]上的最大值和最小值；
(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．
二、能力提升
9． 函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )
A ．[2，＋∞)
B ．[2,4]
C ．(－∞，2]
D ．[0,2]
10．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中x
为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为
( )
A ．90万元
B ．60万元
C ．120万元
D ．120.25万元
11．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________． 12．已知函数f (x )＝1a －1
x
(a ＞0，x ＞0)，
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[1
2，2]，求a 的值．
三、探究与拓展
13．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.
(1)求f (x )的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．
1.3.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念
一、基础过关 1． 下列说法正确的是
( )
A ．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B ．如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C ．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D ．如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数为奇函数 2． f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是
( )
A ．f (－x )＋f (x )＝0
B ．f (－x )－f (x )＝－2f (x )
C ．f (x )·f (－x )≤0 D.f (x )
f (－x )＝－1
3． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
( )
A ．y ＝－x 2＋5(x ∈R )
B ．y ＝－x
C ．y ＝x 3(x ∈R )
D ．y ＝－1
x (x ∈R ，x ≠0)
4． 已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是
( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数 5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不
等式f (x )<0的解集是______．
6． 若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＋2x (x ≥0)g (x )(x ＜0)为奇函数，则f (g (－1))＝________.
7． 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝3，x ∈R ；
(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3,3]； (3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1－x 2， x ＞0，0， x ＝0，
x 2－1， x ＜0.
8． 已知函数f (x )＝ax 2＋1
bx ＋c (a ，b ，c ∈Z )是奇函数，又f (1)＝2，f (2)＜3，求a ，b ，c 的值．
二、能力提升
9． 给出函数f (x )＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是
( )
A ．(a ，－f (a ))
B ．(a ，f (－a ))
C ．(－a ，－f (a ))
D ．(－a ，－f (－a ))
10．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a －a 2)，则实数a 的取值范围是
________． 11．已知函数f (x )＝1－2
x
.
(1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；
(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
12．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋2x (x >0)0 (x ＝0)
x 2＋mx (x <0)
.
(1)求实数m 的值，并画出y ＝f (x )的图象；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，试确定a 的取值范围．
三、探究与拓展
13．已知函数f (x )＝x 2＋a
x
(x ≠0)．
(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．
第2课时 奇偶性的应用
一、基础过关
1． 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于
y 轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数． 其中正确命题的个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． 已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数
( )
A ．是增函数
B ．不是单调函数
C ．是减函数
D ．不能确定
3． 定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则( )
A ．f (－1)＜f (3)
B ．f (0)＞f (3)
C ．f (－1)＝f (3)
D ．f (0)＝f (3)
4． 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )
x
＜0的解集为( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
5． 已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x 2＋|x |－1，那么x <0时，f (x )＝________.
6． 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)＝________. 7． 设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范
围．
8． 已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的实数a ∈R 有f (－a )＋f (a )＝0恒
成立．
(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由． (2)解关于x 的不等式f (2－x
x )＜2.
二、能力提升
9． 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x )<f (1)的x 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．[－1,1)
10．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是
( )
A ．f (π)>f (－3)>f (－2)
B ．f (π)>f (－2)>f (－3)
C ．f (π)<f (－3)<f (－2)
D ．f (π)<f (－2)<f (－3)
11．y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (7
2
)的大小关系是
________________．
12．已知函数f (x )＝ax ＋1
x
2(x ≠0，常数a ∈R )．
(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．
三、探究与拓展
13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为常数)，x ∈R .F (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
f (x ) (x ＞0)－f (x ) (x ＜0).
(1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设m ·n ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？
章末检测
一、选择题
1． 若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B 等于
( )
A ．{x |－1≤x ≤1}
B ．{x |x ≥0}
C ．{x |0≤x ≤1}
D ．∅
2． 已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是
( )
A ．a ≤ 3
B ．－3≤a ≤ 3
C ．0<a ≤ 3
D ．－3≤a <0
3． 若f (x )＝ax 2－2(a ＞0)，且f (2)＝2，则a 等于
( )
A ．1＋
22
B ．1－22
C ．0
D ．2
4． 若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是
( )
A ．f (x )＝9x ＋8
B ．f (x )＝3x ＋2
C ．f (x )＝－3x －4
D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4
5． 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )
A ．M
B ．N
C ．I
D ．∅
6． 已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关
系是
( )
A ．M ＝A ，N ＝
B B ．M ⊆A ，N ＝B
C ．M ＝A ，N ⊆B
D ．M ⊆A ，N ⊆B 7． 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为
( )
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝－x 3
C ．y ＝1
x
D ．y ＝x |x |
8． 已知函数f (x )＝1
x
在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于 ( )
A.12
B ．－12
C ．1
D ．－1 9． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋3 (x >10)
f (f (x ＋5)) (x ≤10)
，则f (5)的值是
( )
A ．24
B ．21
C ．18
D ．16 10．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(2,5)上是
( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．有增有减
D ．增减性不确定
11．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在
(－∞，0)上F (x )有
( )
A ．最小值－8
B ．最大值－8
C ．最小值－6
D ．最小值－4
12. 在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、
直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象可表示为
( )
二、填空题
13．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝______. 14．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．
15．若定义运算a ⊙b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
b ，a ≥b
a ，a ＜
b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．
16．用描述法表示如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)为________．
三、解答题
17．设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{1
2}时，
求p 、q 的值和A ∪B .
18．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．19．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
20．已知f(x)＝x
x－a
(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
21．某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关
系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．
(1)分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
22．已知函数y ＝x ＋t
x
有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在(0，t ]上是减函数，在[t ，＋∞)上是
增函数．
(1)已知f (x )＝4x 2－12x －3
2x ＋1
，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．
参考答案
第1课时 集合的含义
1． C 2.C 3.A 4．①④ 5．x ≠0,1,2，1±5
2
.
6． 解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝1
2，在这个集合中只能作为一个元素，故
这个集合含有三个元素．
(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．
7． 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－3
2
.
则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，∴a ＝－3
2.
8． D 9．B 10．2
11．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；
当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 12．证明 (1)若a ∈A ，则
1
1－a ∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝1
2∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，1
2
. (2)若A 为单元素集，则a ＝
1
1－a ， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a ≠1
1－a
，∴集合A 不可能是单元素集．
第2课时 集合的表示
1． B 2.D 3.B 4.C 5．(1){0,1,2} (2){－2，－1,0,1,2} (3){(2,0)，(－2，0)，(0,2)，
(0，－2)} 6．②
7． 解 (1)∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；
(2){x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； (3){x |x >8}； (4){1,2,3,4,5,6}．
8． 解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；
集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．
集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}． 9． C 10．D 11．④
12．解 (1)当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，x ＝2.此时集合A ＝{2}．
(2)当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有一个实根．
只需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A ＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}．
13．解 当x ＝1或2，y ＝0时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝2；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.
所以A *B ＝{0,2,4}，所以元素之和为0＋2＋4＝6.
1.1.2 集合间的基本关系
1． D 2.B 3.B 4.B 5．①② 6．a ≥2
7． 解 A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A .
①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2，此时有B ⊆A ； ②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2，
由B ⊆A ，得⎩⎨⎧
m ≥2
m ＋1≥－2
2m －1≤5
，解得2≤m ≤3.
由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．
8． 解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0，
①当Δ＝1－4a <0，即a >1
4时，B ＝∅，B ⊆A 成立；
②当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－1
2
}，B ⊆A 不成立；
③当Δ＝1－4a >0，即a <1
4时，若B ⊆A 成立，则B ＝{－3,2}，∴a ＝－3×2＝－6.
综上：a 的取值范围为a >1
4或a ＝－6.
9． A 10．C 11．6
12．解 ①当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .
②当a ＞0时，A ＝{x |1a ＜x ＜2
a
}．
又∵B ＝{x |－1＜x ＜1}，A ⊆B ，∴⎩⎨⎧
1
a
≥－1，2
a ≤1，
∴a ≥2.
③当a ＜0时，A ＝{x |2a ＜x ＜1
a }．∵A ⊆B ，∴
⎩
⎨⎧
2
a
≥－1，1
a ≤1，∴a ≤－2.
综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.
13．解 不存在．理由如下：要使对任意的实数b 都有A ⊆B ，则1,2是A 中的元素，又因A ＝{a －4，a
＋4}，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋4＝1，a －4＝2.
这两个方程组均无解，故这样的实数不存在． 第1课时 并集与交集
1． A 2.D 3.D 4.D 5.B 6．1
7． 解 ∵A ∩B ＝{9}，∴9∈A ，所以a 2＝9或2a －1＝9，解得a ＝±3或a ＝5.
当a ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素违背了互异性，舍去．
当a ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}．
当a ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．
综上所述，A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}． 8． 解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .
∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.
当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0. 当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1
a }，
∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.
综上，a ＝0或a ＝12
.
9． B 10．0或1 11．－1 2
12．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}，
即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝－4q ＝3
. 13．解 (1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6.
若A ≠∅，如图所示， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，
解得6≤a ≤7.
综上，满足条件A ∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}． (2)因为A ⊆(A ∩B )，且(A ∩B )⊆A ，所以A ∩B ＝A ，即A ⊆B . 显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6.
若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16.
由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1解得a ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16
解得a ＞152
.
综上，满足条件A ⊆(A ∩B )的实数a 的取值范围是{a |a ＜6或a ＞152}．
第2课时 补集及综合应用
1． D 2.C 3.B 4.B 5.－3 6．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5} 7． 解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .
又b ∈A ，∴b ∈U ，
由此得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－4，
b ＝3
经检验都符合题意．
8． 解 (1)∵U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,4}，∴∁U M ＝{2,3,5}．
又∵N ＝{1,3,5}，∴N ∩(∁U M )＝{3,5}．
(2)∵M ＝{m ∈Z |－3＜m ＜2}，∴M ＝{－2，－1,0,1}；
∵N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，∴N ＝{－1,0,1,2,3}，∴M ∪N ＝{－2，－1,0,1,2,3}． 9． C 10．B 11．(∁U B )(∁U A )
12．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x .
①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}， U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}， B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．
②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．
13．解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .
根据题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋x ＝20，
b ＋x ＝11，
a ＋
b ＋x ＝30－4.
解得x ＝5，即两项都参加的有5人．
1．2.1 函数的概念
1． A 2.D 3.D 4.B 5．{－1,1,3,5,7} 6．[1，＋∞) 7． 解 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，
故不是集合A 到集合B 的函数．
(2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．
(3)集合A 中的负整数没有平方根，故在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数． (4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数． 8． 解 由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－1
3.
9． C 10．C 11．[0，1
3
]
12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．
(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时． (6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，
∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h
2
＝h 2＋2h (m 2)．
(2)定义域为{h |0<h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0<h <1.8)求得．
由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0<A <6.84.
故值域为{A |0<A <6.84}．
(3)由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h <1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．
第1课时 函数的表示法
1． C 2．B 3．B 4．B 5．2 6．f (x )＝2x ＋8
3或f (x )＝－2x －8
7． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1.
又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3. 8． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
由f (0)＝f (4)知⎩⎪⎨⎪
⎧
f (0)＝c ，
f (4)＝16a ＋4b ＋c ，
f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.①
又图象过(0,3)点，所以c ＝3.②
设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a
.
所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a ＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③ 由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以f (x )＝x 2－4x ＋3. 9． B 10．B 11．f (x )＝－x 2＋2
3x
(x ≠0)
12．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y
…
－5
3
4
3
－5
…
连线，描点，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．
(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
13．解 要使函数y ＝
1a x ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，必须有1
a
x ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－a ，
即函数的定义域为(－∞，－a ]， ∵函数在区间(－∞，1]上有意义，
∴(－∞，1]⊆(－∞，－a ]，∴－a ≥1，即a ≤－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]．
第2课时 分段函数及映射
1． D 2．A 3．A 4．C 5．C 6.1
3
7． 解 f (x )＝x ＋|x |x
＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x >0，x －1，x <0.
其图象如图所示．
由图象可知，f (x )的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 8． 解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .
由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]．
9． A 10．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1， －1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤111.3
2 {x |x ≥－1且x ≠0}
12．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝1
2
×4x ＝2x ；
当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝1
2
×4×4＝8；
当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝1
2×4×(12－x )＝24－2x .
综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，
24－2x ， 8<x ≤12.
13．解 由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .
由已知⎩⎪⎨⎪⎧
200a ＋b ＝0
20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧
a ＝－
1
3
b ＝2003.
故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
60， 0≤x ≤20
13(200－x )， 20＜x ≤200
.
第1课时 函数的单调性
1． C 2．C 3．D 4．C 5．m >0 6．－3 7． 解 y ＝－x 2＋2|x |＋3
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 (x ≥0)－x 2－2x ＋3 (x <0)＝⎩⎪⎨⎪⎧
－(x －1)2＋4 (x ≥0)－(x ＋1)2
＋4 (x <0)
.
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． 8． 解 函数f (x )＝
x 2－1在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝
x 22
－1－x 21－1＝
x 22－x 2
1
x 22－1＋x 21
－1＝
(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 22－1＋
x 21－1
.
∵1≤x 1<x 2，∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x 22－1＋
x 21－1>0.
∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数． 9． D 10．A 11．a ＞1
2
12．证明 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝(－x 31＋1)－(－x 32＋1)＝x 32－x 31＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 2
2)．
∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，又∵x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 22)2＋34x 22且(x 1
＋x 22)2≥0与34x 22≥0. 其中两等号不能同时取得(否则x 1＝x 2＝0与x 1＜x 2矛盾)，
∴x 21＋x 1x 2＋x 22
＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，又∵x 1＜x 2， ∴f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．
13．解 设2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋a
x 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2
＜0恒成
立．
由于x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立．又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.
1． A 2.A 3.A 4.C 5.D 6．－2 0
7． 解 ∵f (x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34，又∵1
2
∈[－1,1]，
∴当x ＝1
2
时，函数f (x )有最小值，
当x ＝－1时，f (x )有最大值，即f (x )min ＝f (12)＝3
4，f (x )max ＝f (－1)＝3.
8． 解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[1
2
，3]，
∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f (12)＝54，f (3)＝5，所以f (x )在区间[1
2，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴
m ＋22≤2或m ＋2
2
≥4， 即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)． 9． B 10．C 11．(－∞，－5]
12．(1)证明 设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1
x 1x 2
＞0，
∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)解 ∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[1
2，2]上单调递增，
∴f (12)＝12，f (2)＝2.∴a ＝2
5
.
13．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.
∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝－1
，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为x ＝32，
∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.。