高等数学重积分总结

第九章 二重积分

【本章逻辑框架】

⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。

⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。

9.1 二重积分的概念与性质

【学习方法导引】

1．二重积分定义

为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点

(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各

小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。

2．明确二重积分的几何意义。

(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D

f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲

顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D

f x y σ⎰⎰表示平面区域D

的面积。

(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分

(,)d D

f x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积

(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D

f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上

的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).

3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。

【主要概念梳理】

1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆，同时用i σ∆表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ∆和()j i j σ∆≠除边界外无公共点。

i σ∆既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积.

近似、求和 对任意点(,)i i i ξησ∈∆ ,作和式1

(,).n

i i i i f ξησ=∆∑

取极限 若i λ为i σ∆的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限0

1

lim (,)n

i i i i f λξησ→=∆∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为

称f (x,y )为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素).

2.二重积分

(,)d D

f x y σ⎰⎰的几何意义

(1) 若在D 上f (x,y )≥0，则(,)d D

f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以f (x,y )为曲顶

的曲顶柱体的体积.

(2) 若在D 上f (x,y )≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分

(,)d D

f x y σ⎰⎰ 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积

(3)若f (x,y )在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D

f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上

的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).

3．二重积分的存在定理

3.1若f (x,y )在有界闭区域D 上连续，则f (x,y)在D 上的二重积分必存在(即f (x,y )在D 上必可积).

3.2若有界函数f (x,y )在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f (x,y )在D 可积.

4．二重积分的性质

二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f (x ,y )，g(x,y)在区域 D 上都是可积的.

性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即

性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即

性质3 若D 可以分为两个区域D 1,D 2，它们除边界外无公共点，则 性质4 若在积分区域D 上有f (x ,y )=1，且用S (D )表示区域D 的面积，则

性质5 若在D 上处处有f (x ,y )≤g (x ,y )，则有 推论

(,)d (,)d .D

D

f x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰

性质6(估值定理) 若在D 上处处有m ≤f (x ,y )≤M ，且S (D )为区域D 的面积，则

性质7(二重积分中值定理) 设f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(,)ξη,使

【基本问题导引】

根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：

1．2d D

a xdy =⎰⎰ ，其中222{(,)|}D x y x y a =+≤

2．设D 是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成的区域，则

21(),D

I x y d σ=+⎰⎰32()D

I x y d σ=+⎰⎰的大小关系

是 .

【巩固拓展提高】

1．若f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，且在D 的任一子区域D *上有

*

(,)d 0D f x y σ=⎰⎰，试证明在D 内恒有f (x ,y )＝0

2．估计22(y )d D

I x xy x xdy =+--⎰⎰的值，其中{(,)|02,01}.D x y x y =≤≤≤≤

3．设f (x ,y )是有界闭区域D ：222x y a +≤上的连续函数，则

2

01lim (,)a D

f x y dxdy a π→⎰⎰的值为多少？

【数学思想方法】