14.3_极点、零点与冲激响应

1/sC
R+sL+1/sC 1 1 2 s LC sRC 1 LC
1 1 LC ( s p1 )(s p2 )
1 R 1 2 (s s ) L LC
(1) 若0 R 2 L 即：
C
1 R ( )2 0 LC 2 L
p1, 2 jd
2、冲激响应:(网络函数就是冲激响应的象函数) •由于一般情况下h(t)的特性就是时域响应自由分量 的特性，而h(t)=L-1[H(s)]，所以分析网络函数的极点 与冲激响应的关系就可预见时域响应的特点。 •若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲 激响应为:
n Ki 1 -1 h(t)=L [H(s)] L i 1 s pi
R , 2L
R 1 R 2 j ( ) 2L LC 2 L
2 2
d 0 ,
0
1 LC
Байду номын сангаас
(1) 0 R 2 L
C
p1, 2 jd
d 0 ,
2 2
R , 2L
0
1 LC
这时H(s)的极点位于左半平面， 因此uC(t)的自由分量为衰减的正弦振荡， 其包络线为e-δt， 振荡角频率为ωd 且极点离开虚轴越远， O t 振荡衰减愈快。
(1)若H(s)的极点都位于负实轴上，则h(t)将随t的 增大而衰减，这种电路是稳定的；
jω
×
O
δ
O
t
(2)若有一个极点位于正实轴上，则h(t)将随t的增长而增 长，这种电路是不稳定的。
jω
O
×
δ
O
t
(3)当极点pi为共轭复数时， h(t)是以指数曲线为包络线的 正弦函数，其实部的正或负确定增长或衰减的正弦项。
jω
O ×
t
O
t
×
O
δ
×
×
(4)当为虚根时，则将是纯正弦项。
jω
O
t
×
O
δ
极点与冲激响应波形的关系
jω
O
t
× ×
O
t
O
t ×
×
× δ
O
×
× O t O t
4、电路的稳定性 不管极点是实数还是共轭复数，只要极点 位于左半平面，则必随时间增长而衰减， 故电路是稳定的。 所以一个实际的线性电路，其网络函数的 极点一定位于左半平面。 Im[S]
一、关于系统的稳定性
工程上所使用的控制系统必须是稳定的，不稳定的系统是无法工作的
稳定性：系统在受到扰动作用使平衡状态被破坏后， 经过调节，能重新达到平衡状态的性能。
当系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态 ①若这种偏离不断扩大，即使扰动消失，系统也不能回到平衡状态， 此系统 是不稳定的。 ②若系统通过自身的调节作用，使偏差最后逐渐减小，系统又逐渐恢复 到平 衡状态，此系统是稳定的。
所以分析网络函数的极点与冲激响应的关系就可预见时域响应的特点。
n Ki 1 -1 h(t)=L [H(s)] L i 1 s pi
Ki e
i 1
n
pi t
（t≥0）
根据pi极点判断稳定性：
1、若是实根，必须是负的
2、若是复根，其实部必须是负数
其包络线为e-δt，
二、系统的稳定性和数学模型的关系
一、极点与冲激响应
1、电路的零状态响应的象函数
N ( s) P( s) R( s ) H ( s ) E ( s ) D( s) Q( s)
式中
N ( s) H ( s) D( s )
E (s) P( s) Q( s)
响应中：包含Q(s)=0的根的那些项属于强制分量， 包含D(s)=0的根（即网络函数的极点）的那些项则是自由分量或瞬 态分量（按指数规律最终趋于零，例如充电电流）。 由于一般情况下h(t)的特性就是时域响应自由分量的特性， 而h(t)=L-1[H(s)]，
所有极点都在 复平面的左侧
3、若极点在纵轴上，处于临界状态
(3) R 2
L C
O
R R 2 1 p1 ( ) 2L 2L LC R R 2 1 p2 ( ) 2L 2L LC
+
t × ×
O
δ
O
t
这时H(s)的极点位于负实轴上， 因此uC(t)是由两个衰减速度不同的指数函数组成 且极点离原点越远， uC(t)衰减愈快。
知识补充
稳定区 域
不稳定区 域 Re[S] 0
线性非时变的无源网络总是稳定的； 对于含有受控源的有源线性网络， 非线性网络，时变网络则必须研究其稳定性。
5、网络变量的固有频率 pi仅由网络的结构及元件值确定，因而将pi称 为该网络变量的自然频率或固有频率。
二、零点位置与冲激响应的关系
零点位置只影响ki的大小，而不影响h(t)的变 化规律。
jω
×
O ×
（2）当R=0时
R , 2L
p1, 2 jd
d 0 ,
2 2
0
1 LC
jω
δ=0 ωd= ω0
p1,2 j0
O
t
这时H(s)的极点位于虚轴上， 因此uC(t)为等幅振荡 且ωd的绝对值越大， 等幅振荡的频率愈高。
× O ×
δ
jω
例：RLC串联电路接通恒定电压源US。根据网络函数 H(s)=UC(s)/ US(s)的极点分布情况分析uC(t)的变化规律。
R
S(t=0) + US L + UC -
C
解：
U C ( s) H ( s) = U S ( s)
1/sC
R+sL+1/sC
U C ( s) H ( s) = U S ( s)
§14.3 极点、零点与冲激响应
一、极点与冲激响应
1、电路的零状态响应的象函数
N ( s) P( s) R( s ) H ( s ) E ( s ) D( s) Q( s) N ( s) 式中 H ( s) D( s ) P( s) E (s) Q( s)
响应中包含Q(s)=0的根的那些项属于强制分量， 包含D(s)=0的根（即网络函数的极点）的那些项 则是自由分量或瞬态分量。
Ki e pi t
i 1
n
•E(S)=1
显然极点位置不同，响应性质不同，极点反映网 络响应的动态过程中自由分量的变化规律。
3、极点的位置和响应的关系
h(t ) K i e pi t
i 1 n
当pi为负实根时，epit为衰减的指数函数； 当pi为正实根时，epit为增长的指数函数； 而且|pi|越大，衰减或增长的速度越 快。 (1)若H(s)的极点都位于负实轴上，则h(t)将随t的增大 而衰减，这种电路是稳定的； (2)若有一个极点位于正实轴上，则h(t)将随t的增长而 增长，这种电路是不稳定的。 (3)当极点pi为共轭复数时， h(t)是以指数曲线为包络 线的正弦函数，其实部的正或负确定增长或衰减的正弦项。 (4)当为虚根时，则将是纯正弦项。