(奥赛)圆锥曲线的切线及切点弦方程

1(a b 0上) ，
x0

a cos ,
y0
bsin ,
(0, )
2
O 直线
l2 与直线
l1 :
xx0 a2

yy0 b2
垂1 直，
为坐标原点，直线
直线 l2 的倾斜角为 .
o的p倾斜角为 ，
证明: 点 P 是椭圆与直线 l1的唯一交点；

复习：
1： 过圆x2 y2 r2上一点M (x0 , y0 )的切线方程:
Q
(2)设Q(t，0)，则直线AB的方程为tx-2(y-2)=1
直线MQ的方程为
x t

y 2
1,
B
交点N的坐标为（t2
t
4
,2tt2246
）,
NM A
点N的参数方程为

t
xt2 4
y

2t2 6 t2 4
Q
点N的轨迹方程为x2 y2 7 y 3 0 2

圆锥曲线的切点弦方程
◆ 设P(x0 , y0 )为圆x2 y2 r2外一点，则切点弦的方程为：
xx0 yy0 r2。
◆
设P(x0 ,
y0
)为椭圆
x2 a2

y2 b2
1外一点，过该点作椭圆的两条切线，
切点为A，B则弦AB的方程为：
xx0 yy0 1 a2 b2
◆
过P(x0 ,
切点为A，B，求证直线AB恒过定点
证：设A(x1, y1），B(x2 , y2 )
则过A点的切线方程l1：xa12x

y1 y b2
1
则过B点的切线方程l2：xa22x

y2 y b2
1
Y
A
P
F1 H O F2
X
B
因为P在直线l1和直线l2上，所以
mx1 a2
1和 mx2 a2
1
所以直线AB的方程为x a2 ，即恒过定点H ( a2 , 0)
：
yy0 p(x x0 )
圆锥曲线切线的几个性质
性质1 过椭圆（双曲线，抛物线）的准线与其长（实）轴所在直线 的交点作椭圆（双曲线，抛物线）的两条切线，则切点弦长等于该 椭圆（双曲线，抛物线）的通径．
Y
A
A1 F1 O F2 A2X
B
性质2 过椭圆（双曲线，抛物线）的焦点F1的直线交椭圆 （双曲线，抛物线）于A，B两点，过A，B两点作椭圆（双曲
xx0 yy0 r2。
2 设P( ：
x0
,
y0
)为椭圆
x2 a2

y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 a2

yy0 b2
1
3：设P( x0 ,
y0
)为双曲线
x a
2 2

y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 yy0 1 a2 b2
4 设P(x0, y0 )为抛物线y2 2 px上的点，则过该点的切线方程为：
思考题：
已知P是直线l：y x+3上一点，过点P作抛物线
y2 2x的两条切线，切点分别为A,B.求PAB面积
的最小值。
yl
B
P x
A
圆锥曲线的切线及切点弦方程
近几年，圆锥曲线考试的热点为直线与圆锥曲线相 切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问 题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题 ，或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积 的最值等问题。
09年安徽高考试题
点 P(x0 , y0在) 椭圆
x2 a2

y2 b2
解：设切点A、B坐标分别为 (x, x02 )和(x1, x12 )((x1 x0 )
∴切切线线BAPP的的方方程程为为：：22xx10xxyyxx120200; ;
解得P点的坐标为：xP

x0
2
x1
, yP

x0 x1
yG
所以△APB的重心G的坐标为xG：
x0
x1 xP 3
线，抛物线）的切线交于点P，则P点的轨迹是焦点F1的对应
的． 准线，并且 PF1 AB
Y
A P
B F1
O F2
X
例题1： 如图，设抛物线
的C焦: y点为x2F，动点P在直线
上运动，过P作抛l :物x 线yC的2 两 0条切线PA、PB 且与抛物线C分别
相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
y0
)为双曲线
x2 a2

y2 b2
1的两支作两条切线，则切点弦方程为：
xx0 a2

yy0 b2
1
◆ 设P(x0, y0 )为抛物线y2 2 px开口外一点，则切点弦的方程为：
yy0 p(x x0 )
例题2 ：
对于圆锥曲线 x2 a2

y2 b2
1，过点P(m, 0)，作两条切线，
m
m
例题3 已知椭圆x2 2y2 1, P是在直线4x 3y 12上一点，由向已知椭圆作
：
两切线，切点分别为A,B，问当直线AB与两坐标轴围成的 OMN
面积最小，最小值为多少？
解：设P点坐标为P（x0 ,y0）,所以切点弦所在直线方程为：
y
xx0 2 yy0 1.
P
所以M ( 1 ,0),N(0, 1 )
x0
2y0
A
N B Mx
SOMN

1 4x y
O
00
又
4x0 3y0 12 4
3x y 00
x
0
y 0
3,当且仅当4x0
3y0，即x0

3 2
，y0

2
y
P
A
NB M
O
此时SOMN

1 ，直线AB方程为 3
12
2
x

4y
1
例题4
：已知 M：x2 +(y-2)2 1, Q是x轴上的动点，QA,
QB分别切 M于A,B两点。
（1）：如果 AB 4 2 ，求直线MQ的方程； 3
（2）：求动弦AB的中点的轨迹方程。
解：设Q(t，0)，AB的中点为N, AB 4 2 , MN 1
3
3
由射影定理 MQ 3， t2 4 9
B MN
t= 5
A
直线MQ的方程为 2x+5y-2 5 0
xP
y0 y1 yP x02 x12 x0 x1 (x0 x1 )2 x0 x1
33Βιβλιοθήκη 34xP2 3
yp
,
所以 y p 3yG 4xG2
由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
x (3y 4x2 ) 2 0,即y 1 (4x2 x 2). 3