2021届福建省莆田一中高三上学期第一次月考数学试题Word版含答案

x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为．
三、解答题（70分）
17．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）当 时，判断f（x）的零点个数．
18．（12分）已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是 ， ， ， ，女生闯过一至四关的概率依次是 ， ， ， ．
4．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα= x，则tanα=（ ）
A． B． C． D．
5．已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），
f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2017（x）=（ ）
2021届福建省莆田一中高三上学期第一次月考
数学试题
一、选择题（60分）
1．已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（ ）
A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
20．已知直线l的方程为y= x﹣2 ，又直线l过椭圆C： + =1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
，g'（x）=0，即k=0时，SAOB的最大值为 ．…（12分）
21．解：（1） ﹣a（x＞0，且x≠1），
∵函数f（x）的图象在点 （e2，f（e2））ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的切线方程为 3x+4y﹣e2=0，
∴f′（e2）= ﹣a=﹣ ，f（e2）= =﹣ ，
联立解得a=b=1．
（2）当b=1时，f（x）= ﹣ax
A．sinx+cosxB．sinx﹣cosxC．﹣sinx+cosxD．﹣sinx﹣cosx
6．函数y= 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣ ，1）B．[﹣ ，1）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）
8．设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设
（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．
21．（12分）设函数
（1）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a、b的值；
（2）当b=1时，若存在x1， ，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
又∵ ，∴ ，∴b2=a2﹣c2=2…（3分）
∴椭圆方程为 ．…（4分）
（Ⅱ） 直线AB的斜率显然存在，设直线AB方程为y=kx+1
设A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，得（3k2+1）x2+6kx﹣3=0，
显然△＞0， …（6分）点D（0，1），|OD|=1， …（8分）
=
= …（10分）
令 ，则t∈（0，1]，
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
2021届福建省莆田一中高三上学期第一次月考
数学试题参考答案
一、选择题（60分）
1．C 2．D 3．B 4．D 5．A
6．B 7．C 8．C 9．C 10．D
11．A 12．D
二、填空题（20分）
13． ．
14．[﹣3，﹣2]．
15．2．
A．（0， ）B．（0， ）C．（ ，+∞）D．（ ，+∞）
二、填空题（20分）
13． =．
14．已知函数 是R上的增函数，则a的取值范围是．
15．已知函数y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，且f（0）=﹣1，若
g（x）=1﹣f（x+1），则g（﹣3）=．
16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时， ，若y=f（x）在
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）= ，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，
请考生在第22、23两题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．解：（1）曲线C的参数方程为化为标准方程是： ；
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程 可得：
或 ，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和 ．
（2）若a=8，则l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣12=0，
P（X=4）= × = ，
P（X=2）=1﹣ = ；
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
∴数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× +4× = ．
19．解：（1）由题意可知，公司生产并销售x件产品的销售收入为（0.05x﹣ ）万元，
投入固定成本0.5万元，另需增加投入 万元．
∴f（x）=0.05x﹣ ﹣（0.5+ ）=﹣ +0.0475x﹣0.5，（0＜x≤500）；
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
16．[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}
三、解答题（70分）
17．解：（1）a=1时，f（x）=e2x﹣ex﹣x，
f′（x）=2e2x﹣ex﹣1=（2ex+1）（ex﹣1），
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）a= 时，f（x）= e2x﹣ ex﹣x，
（2）由f（x）=﹣ +0.0475x﹣0.5= ．
∴当x=475时，f（x）max=10.78125．
∴当年产量为475（件）时，当年公司所得利润最大，最大为10.78125万元．
20．解：（Ⅰ）∵a＞b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，
∵直线l与x轴的交点为（2，0），∴椭圆的焦点为（2，0），∴c=2，…（1分）
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；
综上，g（x）max= ，
，f′（x）= ﹣a，
∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]， ∈[ ，1]．
∴f′（x）+a= =﹣（ ﹣ ）2+ ，
∴[f′（x）+a]max= ，x∈[e，e2]．
存在 x1，x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立
⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f′（x）max+a= ，
则“男生甲闯关成功”为事件 ，
∴P（A）=1﹣P（ ）
=1﹣ × × ×
=1﹣
= ；
（Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件B，
则P（B）= × × × = ，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4；
且P（X=0）= × = ，
P（X=1）= • • • + • • • = ，
P（X=3）= • • • + • • • = ，
f′（x）=e2x﹣ ex﹣1= （2e2x+1）（ex﹣2），
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故f（x）在（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
故f（x）min=f（ln2）=﹣1﹣ln2＜0，
故f（x）有2个零点．
18．解：（Ⅰ）记“男生甲闯关失败”为事件A，
（ii）当﹣a＜0时，即0 时，由f′（x）的单调性和值域可知：
存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，
且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x 时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）min=f（x0）= ，x0∈（e，e2）
∴ ，与0 矛盾．
综上可得：a的最小值为： ．
∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；
（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．
19．（12分）光泽圣农公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为（0.05t﹣ ）万元．
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
，
当sin（θ+φ）=﹣1 时，C上的点到l的距离有最大值 ．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），则下列结论中正确的是（ ）
A．h（x）关于（1，0）对称B．h（x）关于（﹣1，0）对称
C．h（x）关于x=1对称D．h（x）关于x=﹣1对称
9．函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的一个极值点为x=1，则f（x）的极大值为（ ）
A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若a=8，求C上的点到l的距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
①当a 时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，
则f（x）min= ，解得a≥ ．
②当a 时，由f′（x）=﹣（ ）2+ ﹣a在[e，e2]上的值域为[﹣a， ]．
（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，
因此f（x）在x∈[e，e2]上为增函数，
∴f（x）min=f（e）=e﹣ae ，不合题意，舍去．
10．设x、y、z均为负数，且2x=3y=5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z
11．不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a≥2 C．a≤ D．a≤
12．曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（ ）