第34届中国数学奥林匹克试题及解析

的
.
. 一
.
We are fools,we love math.
1
1
∏ ai ≤ 25 = 32
2一
−x + 2y + 2z = 10
−y +x +z
y≤ ≤6
6
⇒
xy2z2
≤
x
( y
+
z )4
≤
2
·
( 6 )4
=
162
2
2
∏
ai ≥ −162 {a, b, c, d, e} = {−1, −1, 4, −1, 4}
AS D
K
EK = EA
BC
P
O
Q PQ
的
.
PQ
O
A, B, C, Q，A, K, P, Q
. ∠CQP = ∠CAQ.
∠CQP = ∠AQP − ∠AQC = (180◦ − ∠AKP ) − (180◦ − ∠ABP ) = ∠ABP − ∠AKP = ∠BAK
∠BAK = ∠CAQ
P
一
的
.
P
.We are fools,we love math
i=1
a = 5 − a4 − a5
数 b, c, d, e.
a, b, c, d, e ≥ −1 ⇔ ai + ai+1 ≤ 6(a6 = a1)
∑ ai = 10, ai + ai+1 ≤ 6(a6 = a1)
∏ ai
的
{ai}
些
些的
的
ai
5
的
5 的一
T
ai aT (i)
ai = aT (i)
ai aT (i)
=
√ ac
号
ax2E = cyE2
AB
解2
√
√
2
2
xA =
, √a
yB
=
c
2
√
2
的 的
的 O
OABC OA
OA′ = OB.
1. 2
P1P2, P3P4 P5P6, P7P8
M1, M3, M5, M7
2.
M1M3 M5M7 O
一
.
A一
.We are fools,we love math
8
3. O 4. O 5. O
.
5
二i
x ≤ 3
yz
≤ ≤
2 2
⇒ x2y2z ≤ 8 · 9 = 72
6
二 ii
y, z ≤ 2 x ≤ 8
⇒ x2y2z ≤ 29 = 512, {a, b, c, d, e} = {−1, −1, −1, −1, 9}
.
7
一
x ≤ 6 + y ≤ 8 y, z ≤ 2
xy2z2 ≤ 8 · 24 < 288
5
1, 2
.
6
1, 2
数
2的
2a, 2b, a, b ≥ 2
(4)
2max(a,b)
2 的数
P, Q P, Q
一 数 a, b
P, Q
a∼b 的
的.
3. △ABC AB < AC, O
D ∠BAC
EB
K
EK = EA △AKD
一 Q ̸= A.
P Q △ABC
证法一
O2 ⊙(AKD)
F AD ⊙O
∠P QA + ∠AKP = 180◦
一 √Q1Q2 的 2
Q1, Q2, Q3, Q4 A1, C1, B1, D1
A1, C1; B1, D1 A, C, B, D
AB C D
.
的
.
一
的
P1P2, P3P4
M1M3
.
引理的证明
的
Ax2 + Cy2 = 1
的
y = kx + b1, y = kx + b2
0
.
Pi(xi, yi)
Ax21 + Cy12 = 1 = Ax22 wk.baidu.com Cy22
4
∠BAK = ∠CAQ
∠ABK = ∠AQC
△ABK ∼ △AQC
的
Q
A, K, D, Q
△ABK ∼ △AQC
.
Q的 一
一
O
Q′
∠ABK = ∠AQ′C
A, K, D, Q′
△ABK ∼ △AQ′C ∠ABK = ∠AQ′C
A, K, D, Q′
AQ′ · AK = AB · AC AD ∠BAC
△ABK ∼ △AQ′C AQ′ · AK = AB · AC ∠ABK = ∠AQ′C AD ∠BAC
∠DAK = ∠DAQ′ = θ
AK · sin θ + AQ′ · sin θ = AD · sin 2θ
的
–
A, K, D, Q′
Q Q′
∠CQP = ∠AQP − ∠AQC = (180◦ − ∠AKP ) − (180◦ − ∠ABP ) = ∠ABP − ∠AKP = ∠BAK = ∠CAQ
.
3二
i
y + z ≤ 6 2y + z = 10 + 2x ≤ 12 − z
⇒ 2x + z ≤ 2
4二
x2y2z ≤ ( 2 )3 · y2 ≤ ( 2 )3 · 62 < 32
3
3
ii
z ≤ 3
yy
≤ +
6+x 2z = 10
+
2x
x ≤ 2
⇒
zy
≤ ≤
8 3
x2z2y ≤ 4 · 9 · 8 = 288 {a, b, c, d, e} = {−1, −1, −1, 4, 4}
FH
B E F的
axExB + cyEyB = 1 = axF xB + cyF yB
A, B, C, D G的
0
EG
a(xE − xF )xB = −c(yE − yF )yB
a(xF − xG)xC = −c(yF − yG)yC
a(xF + xE)xC = −c(yF + yE)yC
a2(xE − xF )(xF + xE)xBxC = c2(yE − yF )(yF + yE)yC yB
2数
.
a + b, c + d > 0 a + b + c + d = 5 − e ≤ 6
(a + b)(c + d) ≤ 9.
a + b, b + c, c + d, d + e, e + a ∈ [−2, 8] 3 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 一
≤ (−2)2 × 9 × 8 = 288. a + b > 0 (b + c) + (d + e) ≤ 0
∠DAK = ∠DAQ′ = θ.
的
–
AK · sin θ + AQ′ · sin θ = AD · sin 2θ
AQ′
二公
AK + AB · AC/AK = 2AD · cos θ
的 Q′
AB · AC = 2AD · AK cos θ − AK2
We are fools,we love math.
e ≥ −1 e + a ≥ 4
.
≤ 288 a = b = c = −1, d = e = 4
.
≤ 16 .
a≥5
解法二
a1 = a + b, a2 = c + d, a3 = e + a, a4 = b + c, a5 = d + e
∑5 ai = 2(a + b + c + d + e) = 10
AB · AC = 2AE · DE sin ∠AEB = 2R · AE sin ∠AEB
AE sin ∠AEB
的
AZ
AB · AC = 2R · AZ
D, E, K
的
一
的
.
AB · AC = 2R sin B · AB = 2R · AZ .
.We are fools,we love math
6
数 3 数 ≥ −2
2
数
≥ −512 a = b = c = d = −1, e = 9
1 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a
( 2a + 2b + 2c + 2d + 2e )5
≤
= 32.
5
2 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a
3 数 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 一
=
∠AO2O
+
∠O2AO
EO2⊥AK, ED⊥KC
∠AKC = 180◦ − ∠O2ED = 180◦ − ∠O2OA = ∠ABQ.
We are fools,we love math.
3
证法二 些
1
O
2 O BC
3 E BC
4
EB
5 △ADK
的– 的
ABC
AB < AC
A 的 BC S AS ∠BAC
F ̸= G
EF
a2 c2 =
ac |xE| = |xF |, |yE| = |yF |
B
a=c EF xBxC = −yByC ̸= 0
xBxC = yByC = 0 Ax
BC By
AD 的
. 2xAyB
AB
E的
axAxE = cyByE = 1
2
4
4
2xAyB
=
acxE yE
≥
√ac(ax2E
+ cyE2 )
PQ
O的 .
注
的一
的
一一
的.
的
–
S
We are fools,we love math.
7
第二天
4. 一 1 2
证明 1 E, F, G, H
axEx + cyEy = 1 EG B
的.
的的
一的
的.
的
ax2 + cy2 = 1
c>a>0
EF GH
E的
axGx + cyGy = 1
xE : yE = xG : yG
证明
O
Q′ ∠BAK = ∠CAQ′ ∠SAK = θ AD
O S AZ⊥BC Z.
OE ∥ AD, OS ∥ DE OSDE
DE = OS = R
O
AB · AC = 2R sin B · AB = 2R · AZ = 2AE · DE sin ∠AEB = 2R · AE sin ∠AEB = DA2 − EA2 − ED2 = DA2 − EK2 − ED2 = DA2 − DK2 = 2AD · AK cos θ − AK2
.
.
第三十四届中国数学奥林匹克
.
2018 11 .
第一天
1.
a, b, c, d, e ≥ −1 a + b + c + d + e = 5 的 数.
S = (a + b)(b + c)(c + d)(d + e)(e + a)
.
解法一 1 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a
一数
a + b < 0 a + b ≥ −2
( 10 − a − b )4
(b + c)(c + d)(d + e)(e + a) ≤
≤ 81
4
≥ −162.
2 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a
3
2
数 ≤ 64
≥ −512.
a + b, b + c, c + d, d + e, e + a
P = P1, Q = Pm P1, P2, · · · , Pm
∀ 1 ≤ i ≤ m − 1, P1 ∩ Pi+1 ̸= ∅.
Pi ∩ Pi+1 ̸= ∅
a ∈ P1, b ∈
Pm
a, b
a∼b
1 a ∼ b ⇒ ka ∼ kb
的
k.
2 a ∼ b, b ∼ c ⇒ a ∼ c
.
3 {2k + 1, 2k(k + 1), k2 + (k + 1)2}
2k + 1 ∼ 2k(k + 1) 2k + 1
数
2k + 1
数的
(1)
数
2的 .
4
{3, 4, 5}, {5, 12, 13}, {12, 16, 20}, {15, 20, 25}, {7, 24, 25}, {10, 24, 26}, {6, 8, 10} 2k ∼ 2k+1, k ≥ 2.
5
OE ∥ AD, OS ∥ DE .
OSDE
D
D的
.
DE = OS = R
O
AB · AC = 2AD · AK cos θ − AK2 的
AB · AC = DA2 − DK2
EK = EA DE = R
△K DE
AB · AC = DA2 − EK2 − ED2
△ADE
AB · AC = DA2 − EA2 − ED2 一
288 a, b, c, d, e
−1, −1, −1, 4, 4
−512 a, b, c, d, e
−1, −1, −1, −1, 9
.
.We are fools,we love math
2
2.
数 a, b, c 一
的
{a, b, c}
.
P, Q 证明
数m≥2 数 a, b
P1, P2, · · · , Pm
A(x1 + x2)(x1 − x2) = C(y1 + y2)(y2 − y1).
y2 − y1 = k(x1 − x2) ̸= 0
A(x1 + x2) + C(y1 + y2)k = 0
yM1 = − A .
xM1
Ck
yM3 = − A
.
xM3
Ck
O
的
的
.
的 AC
√ 2
的
BD 的
第一 .
的
一
5.
OO2, OE, O2E.
一 BC
.
E BC
OE ∥ AD, DE⊥BC
一 P ̸= D △ADK
△ABC
∠P QA + ∠ABQ = 180◦. ∠AKP = ∠ABQ.
OF ⊥BC
OF ∥ ED
OF ED
AO = OF = DE
AOED
.
O2A = O2D
O2 OE
△O2OE
.
∠ABQ
=
1 ∠AOQ 2
xBxC = −yByC
xBxC = −yByC ̸= 0 那
a2(x2E − x2F ) + c2(yE2 − yF2 ) = 0
a(x2E − x2F ) + c(yE2 − yF2 ) = 1 − 1 = 0,
x2E − x2F ̸= 0, yE2 − yF2 ̸= 0
x2E − x2F = yE2 − yF2 = 0
一 n×n 的
数1
的 N (n)
N (n) 数.
解 n 数 N (n) = n2
一些
一数
一
数的
n 数 N (n) = n2 − n + 1.
的 2n − 1
•
(i, j) 的
的
C(i, j)
1 ≤ i, j ≤ n.
• C(i, j), C(i, j′), C(i′, j), C(i′, j′)