线面平行与面面平行
线面平行与面面平行
第三课时线面平行与面面平行【学习目标】①掌握线与面的位置关系及面与面的位置关系。
②掌握线面平行于面面平行的判定与性质定理。
【考纲要求】线面平行与面面平行为B级要求【自主学习】1．线面位置关系2．面面位置关系3．线面平行的判定定理4．线面平行的性质定理5．面面平行的判定定理6 面面平行的性质定理7 本节内容有哪些重要的结论？[课前热身]1下列命题中，正确命题的个数是 .①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.2下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面3对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）.①若m⊥α，m⊥n，则n∥α②若m∥α，n∥α，则m∥n③若m⊂α，n∥α，则m∥n④若m、n与α所成的角相等，则m∥n4已知直线a,b,平面α，则以下三个命题：①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,a∥α,则b∥α;③若a∥α,b∥α,则a∥b.其中真命题的个数是 .[典型例析]例1 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.例2如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β,点E，F分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB =CF ∶FD . （1）求证：EF ∥ ;（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC =4，BD =6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长.例3如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证： （1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ； （3）平面BDF ∥平面B 1D 1H .例4正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP =DQ .求证：PQ ∥平面BCE .[当堂检测]1．下列命题，其中真命题的个数为 .①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α；④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.2. 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ;②存在平面γ，使得α，β都平行于γ;③存在直线l⊂α,直线m⊂β,使得l∥m;④存在异面直线l、m，使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有（写出符合题意的序号）.3. （2008·海南，宁夏文，12）已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB ∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .①AB∥m②AC⊥m③AB∥β④AC⊥β4．（2008·湖南理，5）设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是（填序号）.①若m∥α,n∥α,则m∥n②若m⊂α，n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β④若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α5下列关于互不相同的直线m,l,n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α,l∩α=A,点A∉m，则l与m不共面；②若m,l是异面直线，l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α;③若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m;④若l⊂α,m⊂α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则α∥β.其中假命题的序号是 .[学后反思]____________________________________________________ ____________________________________________________________________。
线面定理性质
线面、面面平行和垂直的定理性质
一、线面平行
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
变形：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：
（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
变形：垂直于同一条直线的两个平面平行
四、面面垂直
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直）
其他：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角，则这两个平面互相垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
线面平行面面平行的判定
证明：如图 7，连接 B1D1， 则有B1D1∥BD. ∵E、F、G 分别为 A1A、A1B1、A1D1 旳中点， ∴FG∥B1D1. 则FG∥BD， ∴FG∥平面BC1D. 同理 EF∥DC1.∴EF∥平面BC1D. 又∵EF∩FG＝F， ∴平面 EFG∥平面BC1D.
图7
2.如图 8，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 ， E、F、G 分别 是 CC1、BC 和 DC 旳中点，M、N、Q 分别是 AA1、A1D1 和 A1B1 旳中点．
如图 9，P 是平AC、BD 旳交点．
(1)求证：EO∥平面 PCD ;
(2)图中 EO 还与哪个平面平行？
(1)证明：∵在平行四边形ABCD 中，O 为AC、BD 旳交点，
∴O 为 BD 旳中点．
又∵在△PBD 中，E为PB 旳中点，
∴EO∥PD.
∵EO⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴EO∥平面PCD.
图9
(2)解：图中EO 还与平面 PAD 平行．
1.线面平行旳鉴定定理(文字语言、符号语言、图形语言） 2.面面平行旳鉴定定理(文字语言、符号语言、图形语言）
思索： 怎样鉴定直线与平面平行呢？
线面平行旳鉴定定理：平面外旳一条直线与
此平面内旳一条直线平行，则该直线与此平面平行． 符号表达为：l ⊄α，m ⊂α，l∥m⇒ l∥α
定理旳本质：
线面平行旳概念
例1：如图1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，回答下列问题: (1)在图 1中，哪些线段所在旳直线与平面 ADD1A1 平行？
图5
证明：∵D1B1∥DB，D1B1⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB， ∴D1B1∥平面C1DB，同理 AB1∥平面C1DB， 又 D1B1∩AB1＝B1，AB1、D1B1 同在平面AD1B1 内， ∴平面AD1B1∥平面C1DB.
2.2线面平行、面面平行的判定
2.2 线面平行、面面平行的判定例题解析:【线面平行的判定定理】: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行符号表示:例1已知空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点,求证:EF ∥平面BCD.【练习1】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，试判断BD 1与平面AEC 的位置关系，并说明理由。
例2. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线AC 、FB 上，且FN AM ，求证：//MN 平面BCE 。
C1A C【练习求证：例3.已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC【练习3】:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F BC 、C 1D 1的中点 求证：EF ∥平面BB 1D 1DPDBA C1A CA例4.(如图)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,求证平面AB 1D 1∥平面C 1BD练习4 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,中,M,N,E,F 分别为棱A 1B 1,A 1D 1,B 1C 1,C 1D 1的中点,求证: 平面AMN ∥平面EFDB例5:在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、P 、Q 、R 分别是所在棱AB 、BC 、BB '、A 'D '、D 'C '、DD '的中点，求证：平面PQR ∥平面EFG 。
CB 1A 1C 1D 1ABDC'CB 1A 1C 1D 1ABD练习5:已知四棱锥P-ABCD 中,地面ABCD 为平行四边形,点M,N,Q 分别为PA,BD,PD 上的中点,求证:平面MNQ ∥平面PBC【巩固练习】一、选择题1、a ∥β，则a 平行于β内的( ) A 、一条确定的直线 B 、任意一条直线 C 、所有直线 D 、无数多条平行线2、如果直线a ∥平面a ，那么直线a 与平面a 内的( ) A 、一条直线不相交 B 、两条直线不相交 C 、无数条直线不相交 D 、任意一条直线都不相交3 两条平行线中的一条平行于一个平面，那么另一条与此平面的位置关系是( ) A.平行 B.相交或平行C.平行或在平面内．D.相交或平行或在平面内 4. 已知直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与 a 必定 ( ) A.平行． B.异面． C.相交． D.无公共点．5、直线a ∥面α，面α内有n 条互相平行的直线，那么这n 条直线和直线a ( ) A 、全平行B 、全异面C 、全平行或全异面D 、不全平行也不全异面6、直线a ∥平面a ，平面a 内有n 条直线相交于一点，那么这n 条 直线中与直线a 平行的( ) A 、至少有一条B 、至多有一条C 、有且只有一条D 、不可能有二、填空题7、若直线a ∥平面 α，直线b ∥平面β，且 a ⊂β，b ⊂α，且 α∩β=c ，则 a 、b 的位置关系是8、若直线a ∥平面 α，直线b ∥ 平面β，a ⊂β，b ⊂α,则a 、b 的位置关系是B9. 空间四边形ABCD 中，AC=2cm ，BD=4cm ，AC 与BD 成45°角，M ，N ，P ，Q 分别是四边中点，则四边形MNPQ 的面积是 . 三.解答题10.在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ：EB=CF ：FB=1：3，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系如何？11.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 是线段AD 1，DB 上的点，且AE =BF . 求证：EF ∥平面CD 1.12.已知，如图P 是平行四边形ABCD 外一点同M ，N 分别是PC ，AB 的中点。
数学线线平行,线面平行,面面平行的证明方法
数学线线平行,线面平行,面面平行的证明方法嘿，咱今儿就来聊聊数学里那线线平行、线面平行还有面面平行的证明方法呀！你想啊，线线平行就像是两个好伙伴肩并肩一起走。
要证明它们平行，咱可以找同位角相等呀，内错角相等呀，或者同旁内角互补啥的，这就好比两个小伙伴步伐一致，那肯定是平行向前嘛！还有啊，如果一条直线平行于另一条直线，而另一条直线又平行于第三条直线，那这第一条和第三条不也就平行了嘛，这就跟传递似的，是不是挺有意思？再说说线面平行。
这就好像一条线在一个平面上愉快地“玩耍”，但又不跟平面里的其他线“纠缠”。
咱可以找平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那外面这条线不就和整个平面平行啦！这就好比你在一个大操场外面，看到里面有个小伙伴在沿着一条直线跑，那你不就知道你和他跑的方向是平行的嘛。
那面面平行呢？哎呀呀，这就像两个大“舞台”摆在那儿。
要证明它们平行，可以先找到一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行，那这两个平面不就平行了嘛！这就好像两个舞台上都有各自的表演，而且表演的路线都是平行的，那这两个舞台自然也就是平行的啦。
你说数学是不是很神奇呀？这些证明方法就像是解开一道道谜题的钥匙。
有时候可能会觉得有点难，但只要咱认真去琢磨，就像攻克一个难关一样，一旦成功了，那成就感可不是一般的大呀！比如说，给你一道题，让你证明两条直线平行。
你就得开动脑筋，想想用哪种方法合适。
是找同位角呢，还是内错角呢？这就跟打仗选武器似的，得选个趁手的呀！然后一步步去分析，去推理，等你成功证明出来的时候，哇，那心情，简直比吃了蜜还甜！数学里的这些证明方法，其实也是在锻炼我们的思维能力呀。
让我们学会有条理地去思考问题，去分析问题，去解决问题。
这对我们以后做其他事情也是很有帮助的呢！所以呀，别害怕这些证明方法，大胆地去尝试，去探索。
就像探险家一样，在数学的海洋里勇敢前行，去发现那些隐藏的宝藏！相信自己，你一定能行的！咱可不能被小小的证明方法给难住了，对吧？加油！。
9.3线面平行与面面平行
因为 AB /
/ A1 B1所以 NF / / AB 所以AN∥BF
因为AN和MN是平面AMN内两相交直线， BF和EF是平面EFBD内两相交直线，所以平 面AMN∥平面EFBD. 点评：本题证面面平行的方法是分别在两 个平面中找两组平行直线，需注意的是平面内 的两条直线必须是相交直线.证面面平行还有其 他方法，如证两平面同垂直于一条直线，两平 面同平行于第三平面等.
连结BN并延长交CD于F，由重心性质
可知，E、F重合为一点，且该点为
CD的中点E，由
得MN ∥ A B，
EM MA
EN NB
1 2
，
因此，MN∥平面ABC
且MN∥平面ABD.
题型1
线面平行的判定与证明
1. 如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF 所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且
A M = FN，求证：MN∥平面BCE.
设a、b为异面直线，α、β为平 面， 已知aα，bβ， 且a∥β,b∥α，求证：α∥β.
证明：经过直线a作平面γ，
使β∩γ=c.因为a∥β，
所以a∥c. 又aα，c α，
所以c∥α.因为a、b为异面直线，
所以b、c为平面β内两相交直线.
又b∥α， 所以α∥β.
参 考 题
线面平行背景下的求值问题 1. 在正四棱锥S-ABCD中，P为SC上 SP 1 一点，且 P C 2 ，M、N分别是SB、SD上 的点.若BD∥平面PMN， SA∥平面PMN， 求MNBD的值. 解：连结AC交BD于O 点，连结SO交MN于E点， 连结PE并延长交AC于F点. 因为SA∥平面PMN，所以SA∥PF. 题型
因为BD∥平面PMN， 所以BD∥MN. 因为 所以
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβααI 二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。
智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。
然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之蔡仲巾千创作
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条
直线与这个平面平行。
符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号暗示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们
的交线平行。
符号暗示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，那么这条直线垂直这个平面。
符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号暗示： 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线面平行、面面平行的性质与判定定理
1
提问
一、直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
2
线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线//线
线//面
面//面
由a // , 通过构造过直线 a 的平面 与平
面 相交于直线b，只要证得a // b即可。
17
二、两个平面平行具有如下的一些性质： ⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所
有直线都与另一个平面平行 ⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,
那么它们的交线平行. ⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，
表示平面）
（1）若a∥b，b，则a∥ . ( )
（2）若a∥，b∥，则a∥b . ( )
（3）若a∥b，b∥，则a∥ . ( )
（4）若a∥，b，则a∥b . ( )
（5）如果a,b是两条直线，且a∥b，那么a平行
于经过b的任何平面
（）
8
例题：已知
平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，
求证：另一条也平行于这个平面
a
a
b
a∥ b 注意：
a∥
b
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记：线线平行，则线面平行。
3、定理告诉我们：要证线面平行，得在面内找一 条线，使线线平行。
3
二：如何判断平面和平面平行?
答:有两种方法,一是用定义法,须判 断两个平面没有公共点;二是用平 面和平面平行的判定定理,须判断 一个平面内有两条相交直线都和另 一个平面平行.
面面平行,线面平行,线线平行之间的关系
面面平行,线面平行,线线平行之间的关系平面几何作为数学中的一个重要分支，其中涉及到一些基本的概念，其中就包括线面平行、面面平行和线线平行等三个概念，这些概念在日常生活中很常见，比如我们常常会听到地平线与天平线在水平面上平行等。
一、面面平行面面平行，是指两个平面之间没有交点，且在三维空间中，它们的法线向量方向相同。
当两个不同平面是面面平行时，两个平面看起来就像是彼此不同的两个平行的平面，并且它们之间的距离是不变的。
图1是一个很好的例子，其中PABCD与QWXYZ两个平面是面面平行的。
在图中可以看出，这两个平面没有交点，且它们的法线向量方向相同。
图1中的平面PABCD和QWXYZ，并不是你常见的平分面，为了更好地解释这个概念，我们可以举个例子。
比如常见的斜视图投影中，地面和墙面之间就是面面平行的。
二、线面平行线面平行，是指一条直线与一个平面之间没有交点，且这个直线在与平面相交的任何一条直线上的投影，都和这个平面上的任何一点垂直。
如果一个平面和一条直线是线面平行的，那么这条直线在这个平面上的投影将是一条平行线。
图2是一个简单的线面平行的示意图。
在该示意图中可以看出直线l与平面ABC是线面平行的，这也就意味着平面ABC通过平行于它的直线l的投影，得到的投影线也将会保持平行。
三、线线平行线线平行，是指两条直线互相没有交点，且在三维空间中，它们都位于不同平面上。
如果两条直线是线线平行的，则它们不管在什么距离内，始终都不可能相交。
图3是一个线线平行的示意图。
在图中，如果一条直线和一个平面平行，那么与这条直线在同一平面中的另一条直线必须与该平面平行，这样这两条直线才能既平行于同一平面，又互相平行。
通过以上的解释，可以发现，这三个理念之间存在一些必要的联系。
例如，如果有两个平面，它们之间是面面平行的，那么这两个平面上的任何一条线与第三个平面都是线面平行的。
因为这两个面彼此平行，所以在它们之间的任何一条线都与这两个面平行，因此在第三个平面上所投影出的线也将是平行的。
线面平行与面面平行
2、若直线l//平面 EMBED Equation.3 ，则下列命题中，正确的是（ ）
A．l平行于 EMBED Equation.3 内的所有直线
B．l平行于过l的平面与 EMBED Equation.3 的交线
3、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．不能确定
4、设 EMBED Equation.3 为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥ EMBED Equation.3
9、已知直线a//平面 EMBED Equation.3 ，a与平面 EMBED Equation.3 相距4cm，平面 EMBED Equation.3 内直线b与c相距6cm，a//b并且相距5cm，则直线a与c相距_________。
10、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的一点，且EFGH为菱形，若AC//平面EFGH，BD//平面EFGH，AC=m，BD=n，则AE：BE =____________
8、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E、F两点，则四边形EBFD1形状为_________.
9、已知a、b为不垂直的异面直线， EMBED Equation.3 是一个平面，则a、b在 EMBED Equation.3 上的射影有可能是：（1）两条平行直线；（2）两条互相垂直的直线；（3）同一条直线；（4）一条直线及其外一点。在上面的结论中，正确结论的编号是_________（写出所有正确结论的编号）
线线线面面面平行转化关系
线线线面面面平行转化关系
线线平行：同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行。
公理：平行于同一直线的两条直线互相平行。
（空间平行线传递性）定理：同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行。
如果两条共面直线无公共点,则这两条直线平行。
线面平行：直线与平面有无数个公共点，称直线在平面内。
公理：如果一条直线上两点在一平面内，那么这条直线在此平面内。
公理：任意两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面；两相交直线、两平行直线确定一平面。
如果一条直线与一个平面没有交点,则这条直线与此平面平行。
面面平行：面面平行，指的是两个平面平行。
如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面也平行。
公理：平行于同一平面的两个平面互相平行。
（空间平行面传递性）定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
直线和平面平行的判定定理与性质定理经常交替使用，即通过“线线平行”推出“线面平行”（判定），再通过“线
面平行”推出新的“线线平行”（性质）。
线线平行、线面平行、面面平行之间是相互联系，相互转化的关系。
“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”之间互为因果，而是相互转化，联系紧密的关系。
“线线平行”建立于所有平行关系的基础。
例如：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”就像是我国的三座城市，通过河流、道路彼此相互连接，“平行”就是控制中心，调控三座城市的交易往来。
线面平行与面面平行
线面平行与面面平行专题复习【知识梳理】线线平行二线面平行=面面平行定理图形符号简称①若平面外一条直线和这个面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行a(zabaaa//ba all a线线平行* 线面平行②若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和交线平行。
l//ctI u a a Pl 0= m=> I // m线面平行，线线平行③若一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
a、bua aQb= A a.b// p•nail p线线平行，面面平行④若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。
all p ' af]y = a PC\y= l\vcillb面面平行线线平行⑤若两个平面平行，那么其中一个平面的直线必平行于另一个平面。
/亠/ / /all p"aua= "//0面面平行线面平行题型一线面平行的判定与性质1♦已知：平面afl平面0 =人aua、bu队求证：alll 归纳2 '在正方体中，0为面ABCD的中心，B,求证：4。
//平面妨cp・归纳：3、已知：点是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点, 求证：PC//平面BQD.归纳：4 ♦如图，两个正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB, M, N分别是对角线AC, BF上的点，AM=FN ‘ 求证：MN//平面BCE.小结1 :证明线面平行的方法常常转化为面外线与面线平行，而证明两线平行的方法常有：题型二、面面平行的判定与性质1 ♦在正方体ABCD — AgD】中，求证：平WU3Q//平面C、BC・归纳:C2、如图，已知正三棱柱ABC-A8C 中，点£>为AC 的中点求证 ⑴BCJ/平面A 坊D;(2)p 为ACfl 勺中点，求证：平面冋04〃平而BCQ.3、已知平面a 〃平面0, AB.CD 是异面直线，A 已a 、Cea 、Be 卩、D 已卩、EF 分别为4氏CZXI 勺中点，求证：EFIIallp归纳： 练习：1・如图，£>,£分别是正三梭柱ABC —人坊C ；的棱A4、的中点、, 求证：人疋〃平面BDC,；2 •在直三梭柱ABC-A^C.中，E 、F 分别为 AG 、的中点，Q 为棱CC ］上任一点. 求证：直线£F ||平面ABD ；3 ♦如图，在正方体ABCD — ABiCQ 中，E ，F 分别是梭BC ，C ；®的中点，求证：EF// 平面 BB 、D\D •4.如图，在四梭锥P —ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB、PC的中点• 求证：MN//平面PAD・p线面平行练习题11.三棱柱ABC--A）B\Ci中，若〃为BB\上一点* M为AB的中点，用为BC的中点.求证：刖||平面M皿〃；2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCI）中-EE是PI）的中点.求证：PB//平面AEC ；3 •四棱锥P-ABCI）中，底面ABCI）是矩形＞M ' N分别是AB、PC的中点，求证：MN||平面PAI）；线面平行练习题24 •在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形Ub N分别是AB > PC的中点•求证：MN||平面PAD；4、如图，在正方体ABCD——ABCD中，0是底面ABCD 对角线的交点•求证：GO//平面ADB・5、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，I）是AC的中点。
线面、面面平行的性质定理
• (4)相似三角形的周长比等于相似比. • (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似 三角形的传递性，即如果： △ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么 △ABC∽A2B2C2
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3.平行四边形的判定定理
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是a 上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4， CF=4，AF=5，求EG.
∵点A为直线a线外一点 ∴点A与直线a确定一个平面，平 面ABD 又∵a∥α ，α ∩平面ABD=EG ∴BD∥EG ∴<AGE= <ADB 又∵<A=<A ∴△AGE∽△ADB ∴EG/BD=AF/AC即 EG/BD=AF/AF+CF ∴EG/4=5/9 ∴EG=20/9
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
D
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且 相等，则两平面的位置关系为________． 解析： 平行或相交，如图
答案：
平行或相交
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
必修2
定理的应用
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行 线段相等
D
α
A
C
β
B
必修2
第二章
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.
线面平行证明面面平行的判定定理
线面平行证明面面平行的判定定理你想知道线面平行如何证明面面平行吗？好，那咱们就一起聊聊这个有点复杂，但其实也挺有趣的几何问题。
首先嘛，先别紧张，不用怕公式，咱们从生活中的例子开始讲。
你想想，两个街道平行，对吧？它们永远都不会交汇，永远保持着相同的距离。
如果咱们把这条街道想象成“线”，把马路面想象成“面”，那么这两个街道平行，就是在告诉咱们“线面平行”了。
那么接下来的问题就是：如果一条线和一个面平行，那这个面和另一个面平行，怎么证明呢？咱们首先来捋一捋基本的概念。
什么叫做“线面平行”？简单来说，就是说有一条直线和一个平面保持平行，也就是说，直线上的每个点都和平面上的每个点之间的距离是一样的，永远不相交。
就像我们说的那两个街道，虽然它们有不同的起点和终点，但始终并肩走，不会分开，更不会碰头。
你可以想象一个铁轨，铁轨就是线，铁轨的表面就是面，铁轨永远不弯曲，永远平行。
所以，线和面平行的含义就这么简单。
不过，咱们今天的重点可不是这个。
而是，如果有一条线和一个面平行，那怎么推断出两个面平行呢？这不就是题目问的关键问题嘛。
别急，这就开始了！先给你个提示：当你看到一个几何题目，尤其是像面平行这种问题时，脑袋里就要开始想“平行”的意思了。
平行可不只是说它们不相交，还要注意它们“相似”的性质：距离相等，方向相同。
哎呀，你可以把平行看成是“一对双胞胎”，它们长得一模一样，无论在哪个地方，都会保持相同的步伐。
所以，如果一条线与一个面平行，那它就是在告诉我们这个面与另一个面之间，必然会保持一致的规律。
你想啊，两个平行的面一定不会有差距，不会发生交叉。
就像一对朋友走在马路上，一旦走得稳了，彼此间的距离就不会发生改变。
如何证明呢？举个简单例子，假设你有两个平面A和B，且有一条直线L与面A平行。
如果这条线L穿过面B，那么就可以得出一个结论——面A和面B一定是平行的。
为什么呢？因为，假设面A和面B不平行，那它们之间必定会有交点。
线线平行、线面平行、面面平行的判定方法
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、 两条直线垂直的判定（1） 在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
线面平行与面面平行
第2课时线面平行与面面平行※考纲链接1.了解空间线面、面面平行的有关概念2.理解直线与平面、平面与平面的平行关系的性质与判定，并能进行简单运用.【课前自主探究】※教材回归◎基础重现：1．直线与平面平行的判定①定义法：证明直线与平面无公共点（反证法）.②判定定理：如果____________和平面内的一条直线平行，则直线和平面平行.③面面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.2．直线与平面平行的性质：①定义：如果一条直线和一个平面平行，,则直线与平面无公共点②性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和_______平行．3．平面与平面平行的判定①定义法：证明两个平面没有公共点（反证法）.②判定定理：如果一个平面内的____________分别和另一个平面平行，那么这两个平面相互平行.③推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相交）平行，那么这两个平面相互平行.④垂直于同一直线的两个平面相互平行.4．平面与平面平行的性质：①.定义：如果两个平面平行, 则两个平面没有公共点②.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________．5．两个平行平面间的距离两个平行平面的_________的长度叫做两个平行平面间的距离．基础重现答案：1. 平面外的一条直线；2. 交线；3. 两条相交直线4. 所得的两条交线平行5. 公垂线段◎思维升华：1.线线、线面、面面平行的转换_________性质定理性质定理2．解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作_____或辅助平面.思维升华答案：1. 面面平行性质定理 2.辅助线※基础自测1.下列命题中，正确命题的个数是 .①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.答案：1解析：正确的命题仅是④ 2．下列说法正确的有____________①一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行； ②两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行； ③两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面互相平行； ④两个平面同时平行于某一个平面，则这两个平面互相平行； 答案：②④3．如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，则这两个平面 位置关系为 ______ 答案：平行或相交4. (2010·宿迁模拟题)设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ”为真命题的是 .（填所正确条件的代号） ①,,x y z 为直线； ②,,x y z 为平面；③,x y 为直线，z 为平面； ④x 为直线，,y z 为平面. 答案：③5.（2010·山东高考题改编）在空间，下列命题正确的有______个 ①.平行直线的平行投影重合②.平行于同一直线的两个平面平行 ③.垂直于同一平面的两个平面平行 ④.垂直于同一平面的两条直线平行答案：1.解析：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出命题④是正确的.【课堂师生共探】※ 经典例题题型一 直线与平面平行的判定与性质例题1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F.求证：EF ∥平面ABCD.分析：要证EF ∥平面ABCD ，思路有两种：一是利用线面平行的判定定理，即在平面ABCD 内确定EF 的平行线；二是利用面面平行的性质定理，即过EF 作与平面ABCD 平行的平面.证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN.又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ，故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN. 又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD.ABC DEP 方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ， ∴BB GB BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG∩FG=G ，AB∩BC=B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD.点评：判断或证明线面平行的常见途径：①利用线面平行的定义（无公共点）；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理变式训练：（2010·福建泉州一中模拟卷改编）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC //PD .求证：BE //平面PDA ； 证明：PDA EC PAD PD ,PD //EC 平面，平面⊄⊂Θ，PDA //EC 平面∴，同理可得BC//平面PDA ，C BC EC EBC BC EBC EC =⋂⊂⊂且平面，平面Θ PDA //EBC 平面平面∴又EBC BE 平面⊂Θ，PDA //EB 平面∴○题型二 平面与平面平行的判定与性质例题2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心. （1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △321G G G ∶S △ABC .分析：要证明平面G 1G 2G 3∥平面ABC ，可以通过面面平行的判定定理，两条相交直线3221,G G G G ，都平行平面ABC.证明（1）如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD=2∶3， PG 2∶PE=2∶3，∴G 1G 2∥DE. 又G 1G 2不在平面ABC 内，∴G 1G 2∥平面ABC.同理G 2G 3∥平面ABC. 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC. （2）解由（1）知PE PG PD PG 21==32，∴G 1G 2=32DE. 又DE=21AC ，∴G 1G 2=31AC. 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=31BC. ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3，∴S △321G G G ∶S △ABC =1∶9.点评：证明面面平行，一般可利用面面平行的判定定理，将面面平行转化为线面平行，进一步转化线线平行.值得 注意的是，不能直接通过FE G G FD G G //,//2121得出平面G 1G 2G 3与平面ABC .平行，而通过两条相交直线3221,G G G G 都和平面ABC 平行.变式训练：如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点,问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？解析： 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 题型三 平行关系的综合应用例题3 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB=CF ∶FD. （1）求证：EF ∥β；（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC=4，BD=6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长. 分析：（1）首先判断A 、B 、C 、D 未必共面，可以对其是否共面进行讨论.若这四点共面,可通过EF//BD 来证得EF ∥β，若这四点不共面，可过A 、C 、D 作辅助平面交β于DH,在AH 取一个合适点G ，进而通过平面EFG ∥平面β来证得EF ∥β.（2）求线段的长可以将其放到三角形中去解三角形. （1）证明 ①当AB ，CD 在同一平面内时， 由α∥β，平面α∩平面ABDC=AC ，平面β∩平面ABDC=BD ，∴AC ∥BD ， ∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴EF ∥BD ， 又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.②当AB 与CD 异面时，设平面ACD ∩β=DH ，且DH=AC. ∵α∥β，α∩平面ACDH=AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH=CF ∶FD ， 又∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ， 又EG ∩GF=G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.（2）解 如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF. ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ， 且ME=21BD=3，MF=21AC=2，∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF=60°或120°，∴在△EFM 中由余弦定理得， EF=EMF MF ME MF ME ∠••-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+=613±， 即EF=7或EF=19.点评：线线、线面、面面平行之间常常需要直接或间接转化，不少问题还需要我们多次转化，才能实现；立体几何中问题的解决还需要平面几何知识的运用，事实上复杂的立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.变式训练：如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1； （2）EG ∥平面BB 1D 1D ； （3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.解析： （1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1. 又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE 21DC ，又D 1G21DC ，∴OE D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O. 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D.（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1，DB ∩BF=B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H.※高考新题零距离（2010·陕西文高考题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点. (1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥E —ABC 的体积V. 证明：(1)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD , 又∵AD ⊄平面P AD ,E F ⊄平面P AD , ∴EF ∥平面P AD . (2)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ,则BG ⊥平面ABCD ,且EG =12P A . 在△P AB 中，AD =AB ,∠P AB °,BP =2,∴AP =AB =2,EG =22.∴S △ABC =12AB ·BC =12×2×2=2, ∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =13×2×22=13.※典型错误警示1.线面平行关系判定时,对两直线平行比较关注,但对两条直线分别在平面外、平面内的要求比较容易忽视,如：例1证明 EF ∥平面ABCD .容易遗漏⊄EF 平面ABCD 和⊆MN 平面ABCD；2.在证明面面平行，容易直接运用一个平面两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线而得到结论，而不是通过线线平行过渡到线面平行再到面面平行.如例2中直接运用QB ∥PA， D1B∥PO⇒平面PAO//平面QBD1.◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径.请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：※学以致用第2课时线面平行与面面平行[基础级]1．以下命题正确的有_________________①．两个平面可以只有一个交点②．一条直线与一个平面最多有一个公共点③．两个平面有一个公共点，它们可能相交④．两个平面有三个公共点，它们一定重合答案：③.解析：两个平面有一个交点，则有经过该点的一条直线，所以①错误；直线在平面内，则直线与平面有无数个公共点，所以②错误；若两个平面有三个共线的点，则两个平面未必重合.所以④错误.2．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么α与β位置关系为_______答案：α∥β或α与β相交.解析：若这无数条直线平行，则α∥β或α与β相交；若这无数条直线有两条相交，则α∥β.3．平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的位置关系是________答案：平行解析：连BC，作BC的中点M，可证明面MEF//α.从而EF//α..4.下列命题，其中真命题的个数为 .①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α；④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.答案1解析①、②、③错，④对.5.写出平面α∥平面β的一个充分条件（写出一个你认为正确的即可）.答案存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.解析：面面平行的判定.6.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l⊂α,直线m⊂β,使得l∥m；④存在异面直线l 、m ，使得l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有 （写出符合题意的序号）.答案 ②④解析 由线面位置关系不难知道②④正确.7.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .①AB ∥m ②AC ⊥m ③AB ∥β ④AC ⊥β 答案 ①②③解析 ∵m ∥α，m ∥β，α∩β=l ，∴m ∥l .∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故①一定正确.∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m .从而②一定正确. ∵A ∈α，AB ∥l ，l ⊂α，∴B ∈α.∴AB ⊄β，l ⊂β.∴AB ∥β.故③也正确.∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立.故④不一定成立.8.设有直线m 、n 和平面α、β.下列命题不正确的是 （填序号）.①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n②若m ⊂α，n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β ③若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β ④若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则m ∥α答案 ①②③解析 若α∥β，m ⊂β，n ⊂β，可知m ∥α,n ∥α,但m 与n 可以相交，所以①不对；若m ∥n ，即使有m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β, α与β也可以相交，所以②不对；若α⊥β，α中仍有不与β垂直的直线，例如α与β的交线，故③不对；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n ,又m ⊥β，则m ∥n ，又m ⊄α，所以m ∥α，故④正确. [升华级]9．求证： 两个相交平面分别过两条平行直线, 则它们的交线和这两条平行直线平行. 解析：如图, a ⊄β，∵ a//b , b ⊂β，∴ a//β又∵a ⊂α, α∩β= l , ∴ a// l ,又 a//b ，∴ a//b// l .10．（2010·姜堰中学月考）如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证：PC ∥平面QBD ； 解析：设 ⋂AC BD=0,连OQ . ⑴ ∵ABCD 为菱形， ∴ O 为AC 中点，又Q 为PA 中点. ∴OQ ∥PC . 又⊄PC 平面QBD , ⊂OQ 平面QBD ∴PC ∥平面QBD11．（2010·江苏省届百校联考改编）在在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF//平面OCD 证明：取OD 中点M ，连接EM,CM ,则1,2ME AD ME AD =‖， ∵ABCD 是菱形，∴//,AD BC AD BC =，BACD P Q O∵F 为BC 的中点，∴1,2CF AD CF AD =‖， ∴,ME CF ME CF =‖．∴四边形EFCM 是平行四边形，∴//EF CM ，,//EF OCD CM OCD EF OCD⊄⊂∴Q 平面平面平面我的错题：错因：反思：第三课时 线面垂直与面面垂直※考纲链接1.了解线面垂直的概念，能正确判断空间线面、面面垂直的位置关系；2.能运用线面、面面垂直的判定和性质来证明线面、面面垂直，能求简单的线面角和二面角和点面距离.【课前自主探究】※ 教材回归 ◎基础重现1.直线与平面垂直判定（1）定义：若一条直线和一个平面内的_______垂直，则这条直线和这个平面垂直. （2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（3）判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.2.直线与平面垂直的性质：（1）一条直线和一个平面垂直,那么该直线与平面内所有直线垂直. （2）性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线______. 3.平面与平面垂直的判定（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）如果一个平面经过另一个平面的_________，那么这两个平面互相垂直. （3）一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个. 4.平面与平面垂直的性质：（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，________.DABCFE OM（3）如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 5.二面角及二面角的平面角(1)半平面： 一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面. (2)二面角 ： __________________________叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成. 6.空间的几种距离点到平面的距离：面外一点引一个平面的垂线，这个点和___________间的距离叫做这个点到这个平面的距离.直线和平面的距离：定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.平行平面的距离：个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.基础重现答案：1. 任何一条直线2. 平行3. 一条垂线4. 在第一个平面内5. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形6.垂足 ◎思维升华：1．三种垂直关系的相互转化2．求点面距离、线面距离、平行平面距离常用的方法： （1)直接利用定义求;（2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离;（3)等体积法.其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②__________________________；③由V=sh 31求出h 即为所求. 线面距、平行平面距离：转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.思维升华答案：1.线面垂直2.求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ； ※ 基础自测1.给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线. 其中正确的命题共有 个.答案 2.解析 与线面垂直的定义及判定定理相对照，②、③为真，①中两线可能不相交，④中两线不相交，故不正确.判定判定 性质性质2.(2010·无锡模拟)已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则n与平面α的关系为 .答案n ∥α,或n⊂α.解析∵n与β的位置关系各种可能性都有.当n⊄α时，作n′∥n,且n′∩m=O,则n′与m确定平面γ,设α∩γ= l,则有m⊥l,又m⊥n′,所以l∥n′,∴l∥n,∴n∥α；当n⊂α时，显然成立.3.(2010年南京市高三情况调查卷)下列命题中，真．命题．．是________①.如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直②.如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行③.如果一条直线垂直于平面的两直线，则垂直于这个平面④.如果两平面垂直，则一平面的直线垂直于另一个平面答案：①②4.如图，BC是Rｔ△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，则图中共有直角三角形个.答案：45.如图，AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，P A垂直于圆O所在的平面，则BC和PC所成角为答案：2π【课堂师生共探】※经典例题题型一直线与平面垂直的判定与性质例1．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC 的中点. （1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD. 分析：要证明MN⊥平面PCD，只要证明MN与平面PCD内两条相交直线垂直.证明（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=21PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=21PC.∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.PABCPABCO（2）连接PM 、CM ,∵∠PDA =45°，PA ⊥AD ，∴AP =AD .∵四边形ABCD 为矩形. ∴AD =BC ，∴PA =BC .又∵M 为AB 的中点，∴AM =BM . 而∠PAM =∠CBM =90°,∴PM =CM . 又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC . 由（1）知，MN ⊥CD ，PC ∩CD =C , ∴MN ⊥平面PCD .点评：在线线垂直和线面垂直的相互转化中, 平面在其中起着至关重要的作用, 应考虑线与线、线与面所在的平面特征, 以顺利实现证明需要的转化.变式训练：如图, AB 为⊙O 的直径, C 为⊙O 上的一点, AD ⊥面ABC , AE ⊥BD 于E , AF ⊥CD 于F.求证： BD ⊥面AEF.解析： ∵ AB 为⊙O 直径, C 为⊙O 上一点，∴ BC ⊥AC.BC ACAF DC DA ABC BC DAC DA BC BC AF BC ABC AF DAC AC DA A BC DC C ⊥⊥⎫⎫⊥⊥⎫⎫⎪⎪⇒⊥⇒⇒⊥⎬⎬⎬⎬⊂⊂⎭⎭⎪⎪==⎭⎭I I 平面平面面面BD AEAF DCB AF BDBD AEF DB DCB AE AF A ⊥⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭I 平面平面平面. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 边的中点， （1）求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.分析：要证明BG ⊥平面PAD ，可通过平面PAD ⊥平面ABCD 来证明；要探求在PC 上是否存在点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，只需平面探求PC 上是否存在点F ，使得平面DEF ∥平面PGB.（1）证明 在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ， 所以BG ⊥平面PAD.（2）证明 连接PG ，因为△PAD 为正三角形， G 为AD 的中点，得PG ⊥AD ，由（1）知BG ⊥AD ， PG ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB ，PG ∩BG=G ，所以AD ⊥平面PGB ，因为PB ⊂平面PGB ， 所以AD ⊥PB.（3）解 当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD.证明如下：取PC 的中点F ，连接DE 、EF 、DF ，在△PBC 中，FE ∥PB ，在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而FE ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， EF ∩DE=E ，所以平面DEF ∥平面PGB ，因为BG ⊥平面PAD ，所以BG ⊥PG 又因为PG ⊥AD ，AD ∩BG=G ，∴PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ， 所以平面PGB ⊥平面ABCD ，所以平面DEF ⊥平面ABCD.点评：（1）线面垂直可以通过转化为线线垂直来证明；（2）探求符合要求的点，可通过先构造垂直的特殊位置上的点或线，然后验证其是否符合条件，如果符合要求，则反过来直行证明.变式训练：（2010·江宁区模拟）如图所示，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， DB=BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点.（1）求证：B 1D 1//平面A 1BD ； （2）求证：MD ⊥AC（3） 试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D 解析：（1）∴B 1D 1//BD而BD ⊂平面A 1BD ，BD ⊄平面A 1BD ， ∴B 1D 1//平面A 1BD.（2）AC ⊥平面B 1BD 而MD ⊂平面B 1BD ， ∴MD ⊥AC.（3）当点M 为棱BB 1的中点时， 可使得平面DMC 1//平面CC 1D 1D取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连结NN 1交DC 1于O ，连结OM. ∵N 是DC 的中点，BD=BC ∴BN ⊥DC又∵平面ABCD ∩平面DCC 1D 1=DC,平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1， ∴BN ⊥平面DCC 1D 1. 又可知O 是NN 1的中点，∴BM//ON 且BM=ON ，即BMON 是平行四边形， ∴BN//OM∴OM ⊥平面CC 1D 1D 又∵OM ⊂平面DMC 1，∴平面DNC 1⊥平面CC 1D 1D. 题型三 线面角的求法例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，ABCD A 1B 1C 1D 1M NN 1O∠BAD =90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =AB =2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （1）求证：PB ⊥DM ；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.分析：线面角关键是找出直线BD 在平面ADMN 内的射影，即只要找出过直线BD 上某一点且和平面ADMN 垂直的垂线问题便迎刃而解！ 解析：（1）∵N 是PB 的中点，PA =PB ， ∴AN ⊥PB .∵∠BAD =90°，∴AD ⊥AB . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD .∵PA ∩AB =A ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PB . 又∵AD ∩AN =A ，∴PB ⊥平面ADMN . ∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB ⊥DM .（2）连接DN ，∵PB ⊥平面ADMN ，BD 在平面ADMN 上的射影为ND ， ∴∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角，在Rt △BDN 中，sin ∠BDN =BD BN =ABAB2221•=21， ∴∠BDN =30°,即BD 与平面ADMN 所成的角为30°.点评：作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．变式训练：△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ，∠ABC ＝∠DBC ＝120°．求AD 与平面DBC 所成的角； 解析：作AE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，由面ABC ⊥面BCD 知AE ⊥平面BCD ，∠ADE 即为所求，在△ABE 中，∵∠ABC=120°∴∠ABE=60°，AE=AB 23，同理在△BDE 中， DE=DB 23,则AE=DE ，则∠ADE ＝45°,即AD 与平面DBC 所成的角为45°. 题型四 点到平面的距离例5 （2010·江苏高考题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.分析：一方面可以通过AB ∥DC 且AB=2DC ，将点A 到平面PBC 的距离转化为D 到平面PBC 的距离的2倍.过D 作PC 的垂线便可以解决；另一方面也可以运用等体积法A PBC P ABC V V --=，将距离转化为平面PBC 上的高.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得CD ⊥BC ， 又PD I DC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC.A BD C E（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ， 连DE 、DF ，则：易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ， 点D 、E 到平面PBC 的距离相等.又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F. 易知DF=22，故点A 到平面PBC 2. （方法二）体积法：连结AC.设点A 到平面PBC 的距离为h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=.由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=. 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC. 又PD=DC=1，所以222PC PD DC =+=由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积22PBC S ∆=. 由A PBC P ABC V V --=，1133PBC S h V ⋅==V ，得2h = 故点A 到平面PBC 2点评：求点到平面的距离的方法：⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质．⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.(3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距.※高考新题零距离（2010·山东高考题）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，⊥MA 平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA. （1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（2）求三棱锥P —MAB 与四棱锥P —ABCD 的体积之比. 解析：(1)由已知⊥MA 平面ABCD ，PD ∥MA ，所以⊥PD 平面ABCD ，又⊂BC 平面ABCD ，所以BC PD ⊥因为四边形ABCD 为正方形,所以DC BC ⊥ 又D DC PD =I ,因此，⊥BC 平面PDC 在PBC ∆中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点， 所以GF ∥BC ， 因此⊥GF 平面PDC 又⊂GF 平面EFG 所以平面EFG ⊥平面PDC（2）因为⊥PD 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1,则PD ＝AD ＝2 所以3831=⨯=-PD S V ABCD ABCD P 正方形 由于⊥DA 面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离， 三棱锥322212131＝⨯⨯⨯⨯=-MAB P V ， 所以MAB P V -：ABCD P V -＝1：4.※典型错误警示1．证明线面垂直时，容易忽视直线垂直与平面内两条直线相交的条件.如遗漏条件PC ∩CD =C ,2．找线面角时不知道找线在平面内的射影，关键是不知道找出平面的垂线.在求线面角时,需要作、证、算三个步骤，同学们在解题过程中容易忽视“证”这个过程.如例3的第2问的解答中，遗漏“PB ⊥平面ADMN ，BD 在平面ADMN 上的射影为ND ”这个环节.◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径. 请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！ 我的错题：错因：反思：※学以致用第三课时 线面垂直与面面垂直[基础级]1．已知a ⊥平面α, b ⊂α, 则a 与b 的位置关系是答案：a ⊥b.解析：直线垂直于平面,则该直线垂直于平面内所有直线. 2.直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线有 条.答案：无数条解析：直线a 与平面α斜交，设斜足为Ａ，则过Ａ必可作一条直线l 与直线a 垂直，从而α内与l 平行的直线都与a 垂直.3.(2010·江苏扬州模拟卷) 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的___________条件答案：必要非充分.解析：直线l 与平面α内平行线垂直时，直线l 与平面α未必垂直. 4..已知a 、b 是两条不重合的直线, α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a ⊥α,a ⊥β,则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③α∥β,a ⊂α,b ⊂β,则a ∥b ；④若α∥β，α∩γ=a , β∩γ=b ，则a ∥b .其中正确命题的序号是 .答案 ①④解析 根据线面、面面平行与垂直的判定与性质可知①④正确.5.(2010年广州市高三模拟)已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的___________条件 答案： 必要不充分解析： 当直线a 与平面α内无数条平行直线垂直, 则直线a 与平面α未必垂直,但直线a 与平面α垂直,则直线a 与平面α内所有直线垂直．6.(2010·南通模拟卷) 已知直线l ，m ，n ，平面α，m α⊂，n α⊂，则“l α⊥”是“,l m l n ⊥⊥且”的 条件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一）答案：充分不必要.解析： 通过,l m l n ⊥⊥且来证明l α⊥,必须要具备m ，n 是平面α的两条相交直线.7．（2010·江苏宿迁模拟）设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，ββ⊥⊥n m ,，则βα⊥； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβαI ，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ． 答案：④解析：αα⊥⇒⊥m n n m ,//，又βα//，则β⊥m .8．P 是△ABC 所在平面外一点，O 是P 点在平面α上的射影,若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则O 是△ABC 的 心.答案：垂心. 解析：因为PA 、PB 、PC 两两互相垂直，所以PA ⊥平面PBC ，所以PA ⊥BC ，又因为OA 是PA 在面ABC 内的射影，且BC 在面ABC 内，所以OA ⊥BC ，同理可得，OB ⊥AC ，OC ⊥AB ，所以O 是△ABC 的垂心. [升华级]。
线线平行到面面平行的判定定理
线线平行到面面平行的判定定理你知道吗，有时候我们在学几何的时候，总觉得那些定理、公式像是天书一样，搞得人云里雾里，什么“平行的线、平行的面”，搞得一头雾水。
其实呢，数学它就像是个老顽童，不是想难倒你，而是想和你玩一个“推理游戏”。
今天我们要聊的这个定理就是关于线和面平行的事儿，简直就像是生活中的一段小插曲，想起来都让人有点小激动。
所谓的“线线平行到面面平行的判定定理”，它基本上就是告诉你一个秘密：如果两条线平行，而且这两条线在同一个平面上，那么它们所在的平面和另外一个平面也会平行。
是不是很神奇？说白了，就是两条直线平行的时候，它们的“宿命”是——它们的所在平面也要平行。
好像是，咱们俩一块儿走，走着走着，后面那个人就也跟着平行了，能不厉害吗？要是把它换成现实生活的情景，就像你和朋友站在一起，手拉着手一起走，这样一来，你俩所走的道路就形成了一个平行的轨迹。
如果你们身后有条马路在你们走的轨道上铺开，估计那条马路也得跟着你们走，保持平行，不能偏离一步。
你能想象吗？你们仨玩得那么开心，不自觉就拉着别的东西也跟着跑了。
这个定理说的就是这样的事儿，真是有趣又妙不可言。
其实在几何学里，常常会有一些令人捧腹的意外。
“线平行到面平行”这个定理其实是“把问题想简单点”的一种典型方法。
你看，要是两条线在一个平面内平行，它们就像两根不动的箭，始终保持着相同的方向。
连它们所在的平面也得追随这些不变的线条，维持一个平行的关系，不然就不合情理了，对吧？换句话说，线走的方向决定了面走的路线，俩人一走，平行的轨迹就此固定住了。
几何学的这些定理也特别“接地气”，就像你说你和朋友走在一起，不可能各自分道扬镳；而是你俩走哪儿，大家伙儿都要配合着走。
这种“顺势而为”的思想在几何学里无处不在。
不论线怎样平行，面就得配合，不能偏离，就像是一种不成文的规则一样。
要知道，几何定理的根本精神就是“有序而平衡”，跟生活中的许多事儿也很像，做事不急不躁，讲究一个“平衡感”。
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5.(教材改编)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE 的位置关系为________.
解析
连接 BD ，设 BD∩AC ＝ O ，连接 EO ，在 △BDD1 中， O 为 BD 的中点，所以 EO 为
那么这条直线和这个平面平行 (
简记为“线线平行⇒线面平行”)
∴l∥α
如果一条直线和一个平面平行，
∵l∥α，
性质 经过这条直线的平面与这个平面
交线 平 定理 相交，那么这条直线就和 _____ 行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
l⊂β，
α∩β＝b， ∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 ∵a∥β，
________. 答案 a∥平面α或a⊂平面α
2.(教材改编)下列命题中不正确的有________(填序号). ①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面； ②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；
③平行于同一条直线的两个平面平行；
④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α. 解析 ①中a可以在过b的平面内；②中a与α内的直线可能异面；③中两平面可相交； ④中由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确. 答案 ①②③
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
【训练1 】 如图所示， CD， AB 均与平面EFGH 平行， E， F，G， H分别在BD，BC ， AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形.
证明 ∵CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD， 而平面EFGH∩平面BCD＝EF，
△BDD1的中位线，
则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，
所以BD1∥平面ACE. 答案 平行
知识梳理
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如 果 平 面 外 一 条 直 线 和 判定 定理
∵l∥a， a⊂α， l⊄α，
这个平面内 的 一 条 直 线 平 行 ， ____________
1 ∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴BC 綊 AE，
∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点. 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP， FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点，H是CD的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，FH、OH⊂平面OHF，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
【例 1－2】 (2018· 镇江月考)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条 侧棱长均为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.
第46讲
考试要求
线面平行与面面平行
1.空间中线面平行、面面平行的判定定理、性质定理及有关性质(B级要
求)；2.运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的 简单命题(B级要求).
诊断自测
1.( 必修 2P41 练习 2 改编 ) 若直线 a ∥ b ，且 b⊂ 平面 α ，则直线 a 与平面 α 的位置关系为
1 再由 PO∥GK 得 GK＝2PO，
1 即 G 是 PB 的中点，且 GH＝2BC＝4.
由已知可得 OB＝4 2，
PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6，
所以 GK＝3.
GH＋EF 4＋8 故四边形 GEFH 的面积 S＝ · GK＝ × 3＝18. 2 2
规律方法 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
判
定 定
相交直线 都平行于 如果一个平面内有两条__________
另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“
线面平行⇒面面平行”)
b∥β，
a∩b＝P， a ⊂ α，
理
b ⊂ α，
∴α∥β
如果两个平行平面同时和第三 相交 ，那么所得的两 性质定理 个平面______ 条______ 交线 平行
∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b
所以PO⊥底面ABCD. 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD， 从而GK⊥EF. 所以GK是梯形GEFH的高. 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
1 1 从而 KB＝4DB＝2OB，即 K 为 OB 的中点.
பைடு நூலகம்
(1)证明 因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF. (2)解 如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，
3.设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的________条件.
解析 当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝ ∅” 是 “α∥ β”
的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是 α∥β的必要不充分条件.
答案 必要不充分
考点一 直线与平面平行的判定与性质
1 【例 1－1】 如图，四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝ AD，E，F，H 分别为 2 线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点.
(1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD. 证明 (1)连接EC，