(完整word版)重庆专升本历年高等数学真题及模拟试题

第一篇 真题
2005年重庆专升本高等数学真题
一、 单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）、 1、 下列极限中正确的是（ ）
A 、0lim x →1
2x
=∞ B 、0lim x →12x
=0 C 、0lim x →=sin 1x 0 D 、0
lim
x →sin x
x
=0 2、函数f （x ）={x-1
2-x (0≦x ≦1)
(1﹤x ≦3) 在x=1处间断是因为（ ）
A 、f （x ）在x=1处无定义
B 、1lim x -
→f （x ）不存在
C 、1
lim x →f （x ）不存在 D 、1lim x +
→f （x ）不存在
3、y=ln （1+x ）在点（0,0）处的切线方程是（ ）
A 、y=x+1
B 、y=x
C 、y=x-1
D 、y=-x 4、在函数f （x ）在（a ，b ）内恒有f ′(x)﹥0 , f ″(x)﹤0，则曲线在（a ，b ）内（ ）
A 、单增且上凸
B 、单减且上凸
C 、单增且下凸
D 、单减且下凸
5、微分方程y ′－y cotx=0的通解（ ） A 、y=sin c x
B 、y= c sinx
C 、y=cos c
x D 、
y=c cosx
6、n 元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是（ ）
A 、方程个数m ﹤n
B 、方程个数m ﹥n
C 、方程个数m=n
D 、秩(A) ﹤n
二、 判断题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
1、 若极限0
lim x x →f （x ）和0
lim x x →f （x ）g （x ）都存在，则0
lim x x →g （x ）必
存在（ ） 2、
若0x 是函数f （x ）的极值点，则必有'()0f x = ( )
3、4sin x xdx π
π-⎰=0 （ ）
4、设A 、B 为n 阶矩阵，则必有222()2A B A AB B +=++ ( ) 三、 计算题（1-12题每题6分，13题8分，共80分）
1、 计算3
x → 2、 计算57lim 53x
x x x →∞+⎛⎫
⎪-⎝⎭
3、 设y=(1+2x )arctanx ，求'y
4、 设y=sin （10+32x ），求dy
5、 求函数f （x ）=3212313
x x x -++的增减区间与极值
6、 计算3ln x xdx ⎰
7、 5
⎰
8、设4422
4
z x y x y
=+-，求dz
9、计算sin
D x d
x σ
⎰⎰，其中D是由直线y=x及抛物线y=2x所围成的区域
10、求曲线x
y e
=与过其原点的切线和y轴所围成的平面图形的面积及该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积
11、 求矩阵133143134A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的逆矩阵 12、 求线性方程组1231235
224{x x x x x x -+=-++=的通解
13、 证明：当x ﹥0时，arctan x ﹥31
3
x x -
2006年重庆专升本高等数学真题
一、 单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、 当0x →时，下列各无穷小量与x 相比是高阶无穷小的是（ ） A 、22x x + B 、2sin x C 、sin x x + D 、2sin x x + 2、下列极限中正确的是（ ）
A 、sin lim 1x x x →∞=
B 、01lim sin 1x x x →=
C 、0sin 2lim 2x x
x
→= D 、1
0lim 2x x →=∞ 3、已知函数f （x ）在点0x 处可导，且0'()3f x =，则000
(5)()
lim
h f x h f x h
→+-等于（ ）
A 、6
B 、0
C 、15
D 、10
4、如果00(,),'()0,x a b f x ∈p 则0x 一定是f （x ）的（ ）
A 、极小值点
B 、极大值点
C 、最小值点
D 、最大值点
5、微分方程
0dy x
dx y
+=的通解为（ ） A 、22x y c += ()c R ∈ B 、22x y c -= ()c R ∈
C 、222x y c += ()c R ∈
D 、222x y c -= ()c R ∈
6、三阶行列式2315022012985
2
3
-等于（ ）
A 、82
B 、-70
C 、70
D 、-63
二、 判断题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 1、 设A 、B 为n 阶矩阵，且AB=0，则必有A=0或B=0 （ ） 2、
若函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内单调递增，则对于（a ，
b ）内的任意一点x 有'()0f x f （ ） 3、 2
1
101x xe
dx x -=+⎰ （ ）
4、
若极限0
lim ()x x f x →和0
lim ()x x
g x →都不存在，则[]0
lim ()()x x f x g x →+也不存在 （ ）
三、计算题（1-12题每题6分，13题8分，共80分）
1、计算2cos x
dx x
⎰ 2、 计算311ln lim x x x x e e
→-+-
3、
设arcsin 'y x y =+求
4、 计算23lim 25x
x x x →∞+⎛⎫
⎪-⎝⎭
5、 求函数3()3f x x x =-的增减区间与极值
6、 设函数2xy z e yx =+，求dz
7、 设2cos(523)y x x =++，求dy
8、 计算4
⎰ 9、
求曲线ln y x =的一条切线，其中[2,6]x ∈，使切线与直线x=2，x=6和曲线y=lnx 所围成面积最少。

10、 计算D
xydxdy ⎰⎰，其中D 是有y x =，2
x y =和2y =所围成的区
域
11、 求矩阵A= 223110121⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
的逆矩阵
12、 解线性方程组12412341234312262414720
x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪
-++-=⎨⎪-++-=⎩
13、 证明x ﹥0时，ln(1)x +﹥21
2
x x -
2007年重庆专升本高等数学真题
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
1、10lim(13)
x
x x →-=（ ）
2、1
3n
n n n x ∞
=∑
的收敛半径为（ ） 3、222
sin x x dx π
π-=⎰（ ）
4、''5'140y y y --=的通解为（ ）
5、1312212332111435--⎡⎤⎢⎥
-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的秩为（ ） 二、单项选择题（本大题共五小题，每小题4分，满分20分）
6、函数33y x x =-的减区间（ ）
A 、（-∞，-1]
B 、[-1,1]
C 、[1，+ ∞）
D 、（-∞，+
∞）
7、函数()y f x =的切线斜率为2
x
，通过（2,2），则曲线方程为（ ） A 、2134y x =+ B 、2112y x =+ C 、2132y x =+ D 、2114
y x =+
8
、设n u =，35n
n n v =，则（ ）
A 、收敛；发散
B 、发散；收敛
C 、发散；发散
D 、收敛；收敛
9、函数2()6f x ax ax b =-+在区间[-1,2]上的最大值为3，最小值为
-29，且a ﹥0，则（ ）
A 、a= 3215-
，b= 31115 B 、a= 3215
，b= 31115-
C 、a= 3215，b= 17915-
D 、a= 3215
-，b= 179
15
10、n 元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充要条件是（ ）
A 、r ﹤n
B 、r=n
C 、r ≥n
D 、r ﹥n
三、计算与应用题（本大题共10个小题，11-20每题8分，满分80分）
11、求极限01cos lim
2
x x
x x
e e -→-+-
12、设2ln(1)22arctan y x x x x =+-+，求'y
13、设函数422121y x x x x =--++，求函数的凹凸区间与拐点
14、
求定积分4
0⎰
15、 设二元函数sin x z y xy =+，求全微分dz
16、 求二重积分2
2
D y dxdy x ⎰⎰
，其中区域D 是由直线y=x ，x=2和曲线1y x
=围成
17、 解微分方程''2'150y y y --=，求0'7x y ==，03x y ==的特解
18、
曲线y =的一条切线过点（-1,0），求该切线与x
轴及
y =
19、 求线性方程组123412341
234352
23421231
x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩
20、若n 阶方阵A 与B 满足AB+A+B=E （E 为n 阶单位矩阵）。

证明：
（1）B+E 为可逆矩阵 （2）11
()()2
B E A E -+=+
2008年重庆专升本高等数学真题
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
1、极限5lim 1x
x x →∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
=（ ）
2、函数2y x =在点（3,9）处的切线方程是（ ）
3、一阶线性微分方程2'y y x x
+=满足初始条件25x y ==的特解是（ ）
4、设函数1sin sin 0()0x x a x x f x x -⎧=⎨≥⎩
p 在点x=0处连续，则a=（ ）
5、行列式1234
2341
3412
4123
的值是（ ）
二、单项选择题（本大题共五小题，每小题4分，满分20分）
6、设22z x y =+在（1,1）处的全微分(1,1)dz =（ ）
A 、dx+dy
B 、2dx+2dy
C 、2dx+dy
D 、dx+2dy 7、设3n n n
v =
，n u =则（ ） A 、收敛；发散 B 、发散；收敛 C 、均发散 D 、均收敛 8、函数33y x x =-的单调递减区间为（ ）
A 、（-∞，1]
B 、[-1,-1]
C 、[1,+ ∞）
D 、(-∞,+∞) 9、设f （x ，y ）为连续函数，二次积分()2
2
0,x dx f x y dy ⎰⎰交换积分次序后（ ）
A 、
()2
2
,x
dy f x y dx ⎰
⎰ B 、
()2
2
,dy f x y dx ⎰
⎰
C 、()100,y dy f x y dx ⎰⎰
D 、()200,y
dy f x y dx ⎰⎰
10、设A 、B 、C 、I 为同阶方阵，I 为单位矩阵，若ABC=I ，则
下列式子总成立的是（ ）
A 、ACB=I
B 、BAC=I
C 、BCA=I
D 、CBA=I 三、计算与应用题（本大题共10个小题，11-20每题8分，满分80
分）
11、求极限0sin lim
cos 2
x x x x
e x x →-+--
12、求定积分3
0⎰
13、设函数cos()x z y xy =+，求dz
14、计算二重积分2
x D
e dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线y=0，y=x 和x=1
所围成的区域
15、求微分方程''4'50y y y -+=满足初始条件02x y ==，0'7x y ==的
特解
16、求幂级数1
12n
n
n x n ∞
=⋅∑的收敛半径和收敛区域
17、求解线性方程组123451245
123451234523352261
34563134
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-=⎧⎪++-=⎪⎨
+++-=⎪⎪++++=⎩的同解
18、设矩阵10031
04100
7⎡⎤⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，已知16A BA A BA -=+，求矩阵B
19、求函数在432()34121f x x x x =--+区间[-3,3]的最大值与最小
值
20、证明：当x ≠0时，1x e x +f
2009年重庆专升本高等数学真题
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
1、极限23lim 25x
x x x →∞+⎛⎫
⎪-⎝⎭
=（ ） 2、2
cos x
dx x
⎰
=（ ） 3、微分方程223(1)dy
x y dx
=+满足初始条件01x y ==的特解是（ ）
4、设函数1arctan 0
0()x x x a x f x ≠⎧=⎨⎩
B 在点x=0处连续，则a=（ ）
5、行列式31302342972
2
203
-的值是（ ）
二、单项选择题（本大题共五小题，每小题4分，满分20分）
6、若函数f （x ）在（a ，b ）内恒有'()f x ﹤0，()f x ﹥0，则曲线在（a ，b ）内（ ）
A 、单增且上凸
B 、单减且上凸
C 、单增且下凸
D 、单减且下凸
7、定积分31
4
1
cos 1x x
dx x -+⎰的值是（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2 8、设二元函数2sin()z xy =，则
z
x
∂∂等于（ ） A 、22cos()y xy B 、2cos()xy xy C 、2cos()xy xy - D 、22cos()y xy -
9、设
5n n n
u =
，n v = ） A 、发散；收敛 B 、收敛；发散 C 、均发散 D 、均收敛 10、设A 、B 、C 、I 均为n 阶矩阵，则下列结论中不正确的是（ ） A 、若ABC=I ，则A 、B 、C 都可逆 B 、若AB=0，且A ≠0，则B=0 C 、若AB=AC ，且A 可逆，则B=C D 、若AB=AC ，且A 可逆，则BA=CA
三、计算与应用题（本大题共10个小题，11-20每题8分，满分80分）
11、极限02lim sin x x x e e x
x x
-→---
12、设函数21
ln(1)arctan 2
x x x y e x e e -=+-+，求dy
13、求定积分4
0dx ⎰
14、计算二重积分D
xydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线y=x ，y=x ∕2，
y=2围成的区域
15、求微分方程''4'40y y y -+=满足初始条件03x y ==，0'8x y ==的特
解
16、求幂级数113n n n x n ∞
=⋅∑
的收敛半径和收敛区域
17.求线性方程组12345123451
245123457323222623543312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+-+-=⎩的通解
18.求矩阵223110121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
的逆矩阵1A -
19、讨论函数32()62f x x x =+-的单调性，凹凸性，并求出极值和
拐点
20、已知a ，b 为实数，且e ﹤a ﹤b ，证明b a ﹥a b
2010年重庆专升本高等数学真题
一、单项选择题（本大题共五小题，每小题4分，满分20分）
1、函数的定义域是（ ）
A 、[0,4]
B 、[0,4)
C 、(0,4)
D 、(0,4]
2、设202()01x x x f x x e ≤⎧+=⎨≥-⎩
，则0lim ()x f x -→（） A 、0 B 、1-e C 、1 D 、2
3、当0x →时，ln （1+x ）等价于（）
A 、1x +
B 、112
x + C 、x D 、1ln x +
4、设A 为4×3矩阵，a 是齐次线性方程组0T A X =的基础解系，
r （A ）=（）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5、下列方程中那个方程是可以分离变量的微分方程（ ）
A 、'xy y e =
B 、'x xy y e +=
C 、2'x y y e +=
D 、'0yy y x +-= 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
6
、01lim sin 2x x
→=（ ） 7、1
121x e dx x
-⎰=（ ） 8、设2
sin()z xy =，则221
1x y z x ==∂∂=（ ）
9、微分方程''2'0y y y ++=的通解为（ ）
10、若行列式12
835
146
a-
-
的元素
21
a的代数余子式2110
A=，则a=（）
三、计算与应用题（本大题共10个小题，11-20每题8分，满分80
分）
11、求极限
1 0
lim()x x x
x e
→
+
12
、求y=的极值
13
、求
14、设z=z（x，y）由方程z
z e xy
+=所确定，求dz
15、求sin D y dxdy y
⎰⎰，其中D 是由直线y=x ，2x y =围成的闭区域
16、判断级数12sin
3n n n π∞=∑的敛散性
17、求幂级数213n
n n x n ∞
=⋅∑的收敛半径和收敛区域
18、已知A= 101020101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，且满足2AX I A X +=+，（其中I 是单位矩阵），求矩阵X
19、求线性方程组
1
2
3
4 10311 11226 2414720 1417821
x
x
x
x
-⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
20、求曲线2
1
y x
=-及其点（1，0）处切线与y轴所围成平面图
形A和该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积
x
V
2011年重庆专升本高等数学真题
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
1、极限lim 4x
x x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a=（ ） 2、设函数sin()y z x xy =+，则dz=（ ）
3、设函数2x y z e =，则2z y x
∂∂∂=（ ） 4、微分方程''2'50y y y -+=的通解是（ ）
5、方程2
2
112
3122
3023
152319x x -=-的根为（ ） 二、单项选择题（本大题共五小题，每小题4分，满分20分）
6、函数0()sin 302x x f x x x x k
⎧≤⎪=⎨≥⎪+⎩在x=0处连续，则k=（ ） A 、3 B 、2 C 、13
D 、1 7.已知曲线2y x x =-在M 点出切线平行于直线x+y=1，则M 点的坐标为（）
A 、（0,1）
B 、（1,0）
C 、（1,1）
D 、（0,0）
8
、0⎰=（ ）
A 、π
B 、4π
C 、3π
D 、2π 9、下列级数中发散的级数为（ ）
A 、114n
n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ B 、211n n ∞=∑ C
、1n ∞=∑ D 、11!n n ∞=∑
10、设A 、B 为n 阶矩阵，且A(B-E)=0，则（ ）
A 、|A|=0或|B-E|=0
B 、A=0或B=0
C 、|A|=0且|B|=1
D 、A=BA
三、计算与应用题（本大题共10个小题，11-20每题8分，满分80
分）
11、求极限20
arctan lim ln(1)x x x x →-+
12、设函数11x y x -=
+4'x y =
13、求函数32391y x x x =--+的极值
14、求定积分4
1
⎰
15、计算二重积分D
ydxdy ⎰⎰，其中D 是由y=x ，y=x-1，y=0，y=1
围成的平面区域
16、求微分方程211'y y x x
+=满足初始条件10x y ==的特解
17、求幂级数1
1(1)n n n x n -∞=-∑的收敛半径和收敛区域（考虑区间端点）
18、求矩阵A= 101
221123
-的逆矩阵1A -。

19、求线性方程
1234
1234
1234
31
3344
5980
x x x x
x x x x
x x x x
+--=
⎧
⎪
--+=
⎨
⎪+--=
⎩
的通解
20、求曲线y=ln（1+x）及其通过点（-1,0）处的切线与x轴所
围成的平面图形的面积
第二篇 模拟题
重庆市专升本高等数学模拟试卷（一）
一．选择题（本大题共5小题，每小题4分,共20分,每项只有一个正确答案，请把所选项前
的字母填在括号内）
1.)(2sin
lim =∞
→x
x x π
(A) 0 (B) 1 (C) ∞ (D) π2
2.设)(x F 是)(x f 在()+∞∞-,上的一个原函数，且)(x F 为奇函数，则)(x f 是（ ） (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 不能确定
3.⎰
=)(
tan xdx
(A) c x +cos ln (B) c x +-cos ln (C) c x +-sin ln (D) c x +sin ln
4.设)(x f y =为[]b a ,上的连续函数，则曲线)(x f y =，a x =，b x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为（ ） (A) ⎰
b a dx x f )( (B)
⎰
b a
dx x f )(
(C)
⎰
b a
dx x f )( (D) ⎰-b
a
dx x f )(
5.下列级数发散的是（ ）
A ．21
34(1)(1)(2)n
n n n n ∞
=--++∑ B ．11(1)1n
n n ∞
=-+∑
C ．
1
1
1
(1)
3n n n ∞
-=-∑ D ．3
1
2
1(21)
n n ∞
=+∑
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分,共20分，请把正确结果填在划线上）
1.方程 033
3=-+axy y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数为 2.)3(tan 3
1
2y x y +=
'的通解为 3..若lim n n nu k →∞
=（0k >），则正项级数
∑∞
=1
n n
u
的敛散性为 ．
4.积分⎰
-21
1
21
dx x ＝
5.二次积分
⎰⎰
1
00
24x xdy dx ＝
三．计算题（本大题共10题，1-8题每题8分, 9题9分,10题7分） 1、求极限1
1
lim 3
1
--→x x x
2、已知x x xy y x sin )ln(2
2
+=+，求0
=x dx dy
3.⎰
10
arctan xdx x
4、求方程2
2x y y y =-'+''的通解
5、求幂级数∑∞
=+-0
1)2(n n
n x 的收敛域．
6、.求二重积分σd y
x D
⎰⎰
22
，其中D 是由直线2=x ，x y =及直线1=xy 所围成的闭合区域.
7
、求函数arc tan ln x
z y
=+
8、对于非齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=--=-+0
)1(33314321
32321x x x x x x x x λλ，λ为何值时，（1）有唯一值；（2）无
解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。

9、过点(3, 0)M 作曲线ln(3)y x =-的切线，该切线与此曲线及x 轴围成一平面图形D ．试求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．
10.设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内二阶可导，且0)()(==b f a f ，且存在点()b a c ,∈使得0)(>c f ，试证明至少存在一点()b a ,∈ξ，使0)(<''ξf
重庆市专升本高等数学模拟试卷（二）
一、选择题（每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填写在题后的括号中）
1． 2
20sin lim x mx
x →等于( )
A ：0
B ：∞
C ：m
D ：2
m
2．设)(x f 在0x 处连续，则：下列命题正确的是( ) A ：)(lim 0
x f x x →可能不存在
B ：)(lim 0
x f x x →比存在，但不一定等于
)(0x f
C ：)(lim 0
x f x x →必定存在，且等于)(0x f
D ：)(0x f 在点0x 必定可导
3．下列关系中正确的是（ ） A ：)()(x f dx x f dx
d b
a ⎰= B ：)()(x f dt t f dx
d x
a ⎰= C ：)()(x f dx x f b
a
⎰
='
D ：
C x f dx x f b
a
+='⎰
)()(
4．
⎰
'1
)2(dx x f 等于( )
A ：
[])0()1(2
1
f f - B ：[])0()2(21
f f -
C ：[])0()1(2f f -
D ：[])0()2(2f f -
5．如果
∑∞
=1
i n
u
收敛，则：下列命题正确的是( )
A ：n n u ∞
→lim 可能不存在
B ：n n u ∞
→lim 必定不存在
C ：n n u ∞
→lim 存在，但0lim ≠∞
→n n u
D ：0
lim =∞
→n n u
二、填空题（每小题5分，共20分）
6．设当0≠x 时，x
x
x f sin )(=，)(x F 在点0=x 处连续，当0≠x 时，)()(x f x F =，
则：=
)0(F
7．设)(x f y =在点0=x 处可导，且0=x 为)(x f 的极值点，则：=')0(f
8．设
⎰
-=x
x e dt t f 0
21)(，其中)(x f 为连续函数，则：=
)(x f
9．设)ln(2
y x z +=，则：=
dz
10．级数∑∞
=13n n n
x 的收敛区间是
(不包含端点)
三、计算题（每题8分，共80分）
11、求极限)
31ln()1()sin (tan lim 2
2
x e
dt
t t x x
x +--⎰→.
12、求微分方程0'
=-+x
e y xy 满足e y x ==1的特解.
13、已知5
cos )21ln(arctan π
+++=x
x y ，求dy .
14、计算⎰
⎰
⎰
⎰
-+++220
12
210
222
22
x
x dy y x dx dy y x dx
15、求积分dx x
x x ⎰
-4
2
1arcsin
16、设函数)(x y y =由方程1=-y
xe y 所确定，求
2
2=x dx y
d 的值.
17、设函数)(x f 可导，且满足方程)(1)(2
x f x
dt t tf x
++=⎰，求)(x f .
18、判断无穷级数∑∞
=1!
n n n n
n a （0>a ）的敛散性。

19、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求
（1）切线方程； （2）由2-=
x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；
（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

20、 设
A 、
B 均是n 阶方阵, 且
AB
E +可逆, 则BA E +也可逆, 证明：
A A
B E B E BA E 11)()(--+-=+
重庆市专升本高等数学模拟试卷（三）
一、选择题：本题共5小题，每小题4分，满分20分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

2．设均存在，则及)]()([lim )]()([lim x g x f x g x f a
x a
x -+→→ ( )
A ．不存在存在，)(lim )([lim x g x f a
x a
x →→ B ．存在不存在，)(lim )(lim x g x f a
x a
x →→
C ．存在存在，)(lim )(lim x g x f a
x a
x →→ D ．不存在不存在，
)(lim )(lim x g x f a
x a x →→ 3．当的是无穷小量时，无穷小量x x x x -→320 ( )
A ．高阶无穷小
B ．等价无穷小
C ．低阶无穷小
D ．同阶无穷小
6．设⎰=++=)(,11
)(x f C x dx x xf 则 ( )
A ．
x x +1 B ．2)1(1x x +- C ．2
)1(1x +- D ．2)1(x x + 7．由直线x y x x x y 轴围成的图形绕轴及,1,1=+=轴旋转一周所得的旋转体积 为 ( )
A ．π37
B ．3π
C ．π3
4
D ．π38
9．四阶行列式第二行的元素依次为1,-2,5,3，对应的余子式的值依次为4，3，2，9，则该行列式的值为 （ ） A ．35 B ．7 C ．-7 D ．-35
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填在题中横线上。

11．由参数方程==⎩⎨⎧-=+=dx dy
x y y t
t y t x 则所确定的函数),(arctan )1ln(2_____________.
13．微分方程2|0==-'=x x y e y y 满足初始条件的特解为___________.
15．幂级数=+∑∞
=R x n n n n
的收敛半径11
22__________.
16．设=∂∂+∂∂==++=y
u
x u y x y x u 时，，当1)1ln(32__________.
19．设矩阵方程=
⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==X B A B XA 则其中,012001,9574,_________.
三、计算题：本大题共8个小题，每题8分，共64分。

解答应写出文
字说明，计算应写出必要的演算步骤。

21．求极限⎰
⎰-→x x x dt
t t t dx
t 0
2/30
)sin (lim
2.
22．求函数阶导数的n x y )1ln(-=.
23．计算不定积分⎰+-dx x x x
x ）（ln 212
.
24.计算定积分⎰-++1
122)1(dx x x .
25．判别无穷级数Λ+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+12
9637
531963531633131的敛散性.
26．设函数.,,00
01sin )(22的值处可导，求常数在c b a x x c bx ax x x x x x f =⎪⎩
⎪⎨⎧
≤++>+=
27．计算二重积分⎰⎰≤+≤=+D
y x y x y x D dxdy e
}41|),{(,222
2其中.
28．求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-4
8733375221
24321
43214321x x x x x x x x x x x x .
四、证明与应用题：本大题共3小题，第30-31题每题8分，第32题9分，共25分。

30．证明：当2
2
)1(ln )1()1,0(x x x x <++∈时，
.
32．在第一象限内，求曲线上一点，1222=+y x 使在该点处的切线与曲线及两个坐轴所围成的面积最小，并求最小值.
重庆市专升本高等数学模拟试卷（四）
2005年重庆市专转本选拔考试高等数学试题
一. 单项选择题(每小题4分，共24分)
1 当0x →时，下列各无穷小量与x 相比是高阶无穷小量的是_______。

.A
22x x + .B 2sin x
.C sin x x +
.D 2sin x x +
2 下列极限中正确的是_____________。

.A sin lim
1x x x →∞= .B 01lim sin 1x x x →= .C 0sin 2lim 2x x
x
→= .D 1
0lim 2x x →=∞ 3 已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()3f x '=，则000
(5)()
lim
h f x h f x h
→+-等于
_______。

.A 6 .B 0 .C 15 .D 10 4 如果()0,x a b ∈，()0f x '=，()0f x ''<，则0x 一定是()f x 的_______。

.A 极小值点 .B 极大值点 .C 最小值点 .D 最大值点
5 微分方程
0dy y
dx x +=的通解为_______。

.A 22()x y c c R +=∈
.B 22()x y c c R -=∈ .
C 222()
x y c c R +=∈
.
D 222()x y c c R -=∈
6 三阶行列式2
31
502
2012985
23
-等于_______。

.A 82 .B 70- .C 70 .D 63
二. 判断题(每小题4分，共16分)
1 设,A B 为n 阶矩阵，且0AB =，则必有0A =或0B =
2 若函数()y f x =在区间(),a b 内单调递增，则对于(),a b 内的任意一点x 有
()0f x '> 3 2
1
2
101x
xe dx x -=+⎰ 4 若极限0
lim ()x x f x →和0
lim ()x x g x →都不存在，则[]0
lim ()()x x f x g x →+也不存在。

三. 计算、应用与证明题(1-13题，每小题6分，14题8分)
1 计算
2cos x
dx x ⎰
2 计算311ln lim x x x x
e e
→-+-
3
设arcsin y x =+y '
4 计算23lim 25x
x x x →∞+⎛⎫
⎪-⎝⎭
5 求函数3
()3f x x x =-的增减区间与极值 6 设函数2xy
z e
yx =+，求dz
7 设2
cos(523)y x x =++，求dy 8
计算
4
⎰
9 求曲线ln y x =的一条切线，其中[]2,6x ∈，使切线与直线2,6x x ==和曲线
ln y x =所围成面积最少。

10 计算
D
xydxdy ⎰⎰，其中D 是由y x =，2
x
y =
和2y =所围成的区域。

11求矩阵223110121A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
的逆矩阵。

12解线性方程组1341234123431
2262414720
x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪
-++-=⎨⎪-++-=⎩
13证明 0x >时，21ln(1)2
x x x +>-
（参考答案）模拟二
1-5 DCBBD
6．【参考答案】1 7．【参考答案】0 8．【参考答案】x
e
22 9．【参考答案】
)2(1
2
dy xdx y
x ++ 10．【参考答案】)1,1(- 11
、原式
2411221lim 12)sin 1(tan lim 12sin tan lim 3)sin (tan lim 32
03030400=⋅=-=-=-=→→→→⎰x
x x x x x x x x x dt t t x x x x
x .
12、x e y x y x =⋅+1'
，通解为 x e x
C C dx e x e e y x dx x
x dx x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-11 因为e y =)1(，C e e +=，所以0=C ，故特解为x
e y x =.
13、dx x x x dy x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++⋅+=21ln 22111
14、原式=12
40
1
22
12
2
2π
θπ
=
⋅=+⎰⎰⎰
⎰
-rdr r d dx y x dy y y
15、
C x +22arcsin 4
1
16、0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y y
y
，对上式求导并将0=x 、1=y 代
入，解得：2
2''e y =.
17、等式两边求导的)(2)('
x f x x xf +=即x x xf x f 2)()('
-=-且1)0(-=f ，
x p -=，x q 2-=，
⎰-=22x pdx ，2
2
e pdx e e -=⎰
，2
2x pdx
e
e =⎰
-，
2
2
2222x x pdx
e
dx xq
dx qe
-
-
=-=⎰
⎰⎰
所以2
2
2
2222)2()(x x x Ce
e C e x
f +=+=--，由1)0(-=f ， 解得3-=C ，
2
2
32)(x e x f -=
18、0<a<e ，收敛；a>e ，发散；a=e ，调和级数，发散。

19、（1）012=+-x y ；（2）31；（3）6π=x V ，π5
6=y V 20
、
证
明
：
A A
B E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+
]
)()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+=A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=
E BA BA E =-+= 因此)(BA E +可逆, 并且A AB E B E BA E 11
)()
(--+-=+
参考答案（模拟一）
一．选择题
1. D
2. B
3. B
4. C
5. A
二．填空题
1．ax
y x ay y --='22 2． c y x x y =++-)]3(2sin[31
2 3．发散 4．3ln 21 5．1
三．计算题
1．解：用洛必塔法则
11lim
3
1
--→x x x =2
3lim 2
13
21--
→x x
x = 32
2．解：x x xy y x sin )ln(2
2
+=+
两边同对x 求导 得
x x x y xy y y
x y x cos sin 2222
++'+=+'
+ 当0=x 时由原方程式可得1=y 于是解得()10='y
3．解：
⎰
10
arctan xdx x =
⎰102
arctan 21xdx =()
dx x
x x x 21022112101arctan 21+-⎰ =-8πdx x x ⎰
+-+102211121=-8π21+01arctan 21
x =-8π21+8π=-4π2
1 4．解：对应的齐次方程的特征方程为022
=-+λλ 得1,221=-=λλ
于是对应的齐次方程的通解为x x
e c e
c y 221+=-（其中21,c c 是任意常数）
因为0=μ不是特征根，所以设特解为C Bx Ax y ++=*2
代入原方程，得4
1,21,0-=-
==C B A ，4121--=*x y
故原方程的通解为4
1
21221--++=+=-*x e c e c y y y x x
（其中21,c c 是任意常数）
5
．解：因为1
lim
1n n n n n
a a ρ+→∞
→∞==== 所以原级数的收敛半径为 1
1R ρ
=
=
也就是，当121x -<-<，即13x <<时，原级数收敛．
当1x =
时，原级数为
n
n ∞
=
是交错级数且满足1n n u u +=
>=
，lim 0n n n u →∞
==，所以它是收敛的； 当3x =
时，原级数为
n ∞
=，这是一个1
12p =<的p -级数，所以它是发散的；
所以，原级数的收敛域为[1, 3)．
6．解：
σd y x D
⎰⎰
22
=⎰⎰2122
1x x dy y
x dx
=
()⎰
-
21
11
2
dx x x x
y
=
()⎰+-2
1
3
dx x x =4
9
7、解：由于
222222z y x x y x x y x y x y ∂+=+=∂+++ 222222
z x y y x y x y x y x y ∂-=-+=∂+++ 所以
d d d z z z x y x y ∂∂=
+∂∂2222
d d x y y x
x y x y x y +-=+++．
8、解：增广矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=+↔-3)1)(3(00121011411210330114
101313301141233213λλλλλλλλλr r r r r r B
（1）要使方程组有唯一解必有3)()(==B R A R 则0)1)(3(≠-+λλ即13≠-≠λλ且
（2）要使方程组无解必有)()(B R A R <则⎩⎨
⎧≠+=-+0
30
)1)(3(λλλ即1=λ
（3）要使方程组有无穷多解必有3)()(<=B R A R 则⎩
⎨⎧=+=-+030
)1)(3(λλλ即3-=λ
此时增广矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-⨯+00001110350100001110114101313301141)1(4221r r r B λλ
同解方程组⎩⎨⎧--=+=323
1153x x x x 令k x =3则通解为⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛115013321k x x x
9、解：设切线与曲线相切于点()000,ln(3)M x x -（如第9题图所示），
第9题图
由于
01
'
3
y x x x =
=- 则切线方程为 0001
ln(3)()3
y x x x x --=-- 因为切线经过点(3, 0)M ，
所以将3, 0x y ==代入上式得切点坐标为()0e 3, 1M + 从而切线方程为
1
(3)e
y x =-
因此，所求旋转体的体积为
()3e 22
41V π1e πln(3)d 3
x x +=⨯⨯--⎰
()e 21e
πe πln 2ln d 13x x x x ⎡⎤=
--⎢⎥⎣⎦
⎰
e 1e πe πe 2πln 1d 13x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦
⎰e 2π13⎛⎫
=- ⎪⎝⎭．
10．证明：Θ)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内二阶可导，且0)()(==b f a f ，0)(>c f ∴由拉格朗日定理知：
0)()
()(1>'=--ξf a c a f c f ，()c a <<1ξ
0)()
()(2<'=--ξf c
b c f b f ，()b c <<2ξ
再在[]21,ξξ上应用拉格朗日定理：则至少存在一点()21,ξξξ∈
使0)()()(1
212<''=-'-'ξξξξξf f f ，即至少存在一点()b a ,∈ξ，使0)(<''ξf。