加热弹性圆板的大振幅自由振动

收稿日期:1996-12-24

*机械部教育司科研基金资助项目

加热弹性圆板的大振幅自由振动*

李　世　荣

(甘肃工业大学基础课部,兰州　730050)

摘　要　基于v o n K árm án 理论和Hamilton 原理,导出了均匀加热弹性圆板用中面位移表示的大振幅自由振动动力学控制方程.并在调和振动模态假设下,采用Kan-to rovich 平均方法将所得混合初-边值问题转化为相应的非线性常微分方程两点边值问题,采用打靶法和解析延拓法,分别获得了不可移简支和夹紧加热圆板非线性振动的调和振动响应,绘出了不同加热温度下的幅-频特征曲线.得出:升温使圆板的固有频率降低,从而实现改变板的温度对其固有频率的控制.

关键词　加热圆板　大振幅振动　打靶法　解析延拓　固有频率分类号　O.343

受约束弹性构件在变温环境中的振动和热屈曲问题的研究对有效的工程设计具有十分重要的意义.关于薄板构件的热弯曲、热屈曲和热振动问题的研究状况可见Tauchert (1991)和

Thornto (1993)的综述文章

[1,2]

;文献[3]中采用Galerkin 法研究了面内热应力作用下的圆薄板在热屈曲构形附近的微幅振动;在文献[4]中采用混合方法分析了变温产生的内力对矩形板

和斜形板微幅振动的影响;Tani [5]采用有限差分格式研究了横向均布载荷作用下的加热环板在轴对称大变形弯曲平衡构形附近微幅振动的特征值问题;本文作者也曾采用摄动法与有限差分法有机结合的方法分别讨论过等厚度和变厚度环板在均匀变温场内的非线性振动问题

[6,7]

.本文将以横向和径向位移作为基本未知量,讨论了周边受约束圆板在静态变温下的大

振幅自由振动.

1　控制方程

考虑一半径为a ,厚度为h 的周边不可移圆形薄板,设板从自然状态起的均匀升温为T ,分析该加热圆板的轴对称大振幅自由振动.忽略面内位移的惯性项,由Hamilto n [8]

原理可导出用中面位移表示的系统vo n K árm án 型的无量纲动力学控制方程:

4

w

x

4+2x 3

w x 3-1x 2 2

w x 2+1x 3 w x - 2

w f

2+λx x x w

x =12W 2 x x u x +12 w x 2

+_x u w x

(1) 2

u

x 2

+1x u x -u x 2+ 2

w x 2

w x +1-_2x w

x

2

=0

(2)

第23卷第2期1997年6月甘　肃　工　业　大　学　学　报Jour nal of Gansu U niv er sity o f Technolog y V o l.23N o.2

Jun.1997

在x =0处,w 有限,

w x

=0,　u =0

(3)lim x →0 3

w x 3

+1x 2

w

x 2

=0

(4)在x =1处,w =0, w x +k 2

w

x

2=0,　u =0(5)当f =0时,w =a (x ),

w

f

=0,　u =Z (x )(6)

上述方程中各无量纲的含意分别为

x =r /a ,　W =a /h ,　w =W /a ,u =U /a ,f =t (D /d )1

2/T 2

,　λ=12(1+_)W 2

T T

(7)

式中　r

径向坐标　f

时间变量

　W (r ,t ),U (r ,t )

中面的横向及径向位移

　D 抗弯刚度,D =Eh 3

[12(1-_2

)]　E ,_材料弹性模量及泊松比　d 质量密度　T

热膨胀系数

　a (x ),Z (x )无量纲初始位移

　k =0,1/_分别表示圆板周边横向夹紧和简支边界条件设式(1～7)的动力响应为下列调和模式:

w (x ,f )=a (x )co s k f ,　u (x ,f )=Z (x )cos 2

k f (8)

其中,k 为系统的无量纲固有频率.采用Kanto rovich 平均方法[7]

,可消去时间变量,将式(1～7)转化为

a ″″+2a /x -a ″/x 2

+a ′/x 3

+k 2

a +λ(a ″+a ′/x )

=c [a ′(Z ″+a ″a ′+_Z ′/x -_Z /x 2

)+(a ″+a ′/x )(Z ′+a ′2

/2+_Z /x )](9)Z ″+Z ′/x -Z /x 2

+a ′a ″+(1-_)a ′2/(2x )=0(10)a (0)=A /W ,　a ′(0)=0,　Z (0)=0(11)

lim x →0

(a +a ″/x )=0(12)a (1)=0,　a ′(1)+k a ″(1)=0,　Z (1)=0

(13)

其中,A =W (0,0)/h =a (0)W ;c =9W 2

,式(9～13)中包含动力学参数k 2

,温度载荷参数λ和振幅参数(这里为非线性控制参数)A ,构成一多参数的非线性常微分方程两点边值问题.其中若令

k

=0,c =12W 2

,则得圆板热过屈曲问题位移形式控制方程.2　两点边值问题的打靶法

式(9～13)为一组耦合的非线性常微分方程两点边值问题,其解析解难以求得.这里采用将边值问题初值化求解的打靶法来求其数值解.为此,先将式(9～13)记为下列标准形式:

d Y

d x =H (x ,Y ,λ

),　Δx

·

104·甘肃工业大学学报 第23卷