第六章对流与扩散

该格式计算量比指数小，且与指数格式的解差别很小。
§ 6-3
通用表达式
为了在讨论中引入 PE J* J u d * 记 J x x ( ) d( ) d i i+1 P d x i+1/2 d( ) 1 界面i+ 上的值可以有界面两侧节点值表示
第六章
对流扩散方程的差分格式
导热型方程：（原始或经过变换的）
二阶导数项（扩散），源项
对流扩散方程：（动量或能量）
二阶导数项（扩散），源项 一阶导数项（对流），压力梯度。 一维稳态无内热源的对流扩散方程:
d d d ( u ) ( ) 密度， 扩散系数。 dx dx dx
对流热能量方程
aE Pe De
aE 1 1 Pe De 2
指数
aE 0 De
二．混合格式
虽然指数格式是精确解,但计算过繁,通过对 随 Pe 变化及其三条切线 aE Pe 0 De aE Pe Pe De aE 1 Pe 0 1 Pe De 2 斯帕尔丁提出 aPP aEE aww
F u J * 而 P ,J D ( ) D x * 根据通量守恒 Je J De Je D J* 0
P{De B(P e ) D A(P )} De A(Pe )E e D BP W
aE De A(Pe ) De{A(| Pe |) [| Pe ,0 |]}
Pe 10
aE Pe DE aE (1 0.1Pe )5 Pe DE aE (1 0.1Pe )5 DE aE 0 DE
10 Pe 0
0 Pe 10
Pe 10
(f)
aE [| 0,(1 0.1| Pe |5 ] [| 0, Pe |] DE 讨论
D x
F u
1 1 1 1 则 P ( Fe Fw De Dw ) E ( Fe De ) w ( Fw Dw ) 2 2 2 2 1 1 a D F a D Fw aP aE aw ( Fe Fw ) E e e w w 记 2 2
坐标II相对I反向，流向不变，而 此时D在界面后。（界面的前后相 对坐标方向而言，并非对流向）
I C
J *'
D
J B(P )D A(P )C
*'
C
D
* *' 由于坐标描述的是同一量，故 J J
B( P )C A( P )D A(P )C B(P )D
C B(P ) A(P ) D A(P ) B(P )
上述若对任何成立，必得
B( P ) A( P ) A( P ) B( P )
即 A( P )与B(P ) 的值以 P =0
A
B B
P
的轴对称的。
根据对称特性可以说明为什么前面讨论格式特性 只研究函数 aE 因为
xe
e E
而
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
对控制容积采用分段线性进行积分。
e (E P ) w (P w ) 1 1 ( u)e (E P ) ( u)w (w P ) 2 2 xe xw
记
d d ( u )e ( u ) w ( )e ( ) w dx dx
指数 乘方
中心
混合
P
§ 6-4
原始的假扩散概念
关于假扩散的讨论
一维非稳态对流方程（纯对流,没有扩散）
u t x
显式迎风差分格式
in 1 i ''
t
u
in i 1''
x
, 0(x, t )
将上式在（i，n）点做taylar级数展开，保留二阶。 ux ut 2 u (1 ) 2 0(x 2 , t 2 ) t x 2 x x 变成了对流扩散问题，新增项叫做假扩散。
x
J * Bi Ai 1 （y）
A和B的性质的讨论 (1)当 i i 1 时，扩散量=0， J *完全由对流造成，即
2
J* P i 1 i P i 1 Bi A
得B-A= P 此为和差特性。
（2）对称特性
对坐标I，D在界面前。
J*
J * B(P )C A( P )D
即
aPP aEE aww
（A）
F u x P 以网格间距 x 为特征尺寸的贝克列数。 记 D
在均匀网格和常物性条件下，上式为: 1 1 P (2 D) E ( D F ) w ( D F ) 2 2 即
1 1 (1 P )E (1 P )w 2 2 P （B） 2
d dx 0 而迎风格式仍取 （4）当 P 很大时，在x=L/2处, 中心差分，放大了扩散作用。
故该格式没有考虑大小的影响。
§ 6-2
一、指数格式
指数格式混合格式与乘方格式
记总通量 J = u - 则
d 对流和扩散， dx d d d d ( u ) ( ) (J ) 0 dx dx dx dx
Je J w 0
故
F e[P
P ] F [ ] W exp( Pe ) 1 exp( P ) 1 E
P
W
exp( Pe ) exp( Pw ) Fe Fw exp( Pw ) P [ Fe Fw ] E w exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1 exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
B( P ) A(| P |) [| P ,0 |]
A( P ) A(| P |) [| P ,0 |]
xw xe
w W
* Jw * Je
e E
各种格式的通用表达式
J B( P e )P A( P e )E
* e
* J B( P ) A( P )P
1 2 3
4
300
50
x, u
一维对流－扩散问题示意
为了避免上式造成物理不真实，而构造迎风差分格式： （介绍第二类，有守恒性）在控制容积分时，界面上的未 知量恒取上游节点的值，而不象中心差分那样取两边节点 的平均值。
( u )e Fee P [| Fe ,0 |] E [| Fe ,0 |]
讨论 (1)当满足连续性条件时， aP aE aw , Fe Fw (2)式（A）为中心差分格式
(3)存在的问题，用（B）式计算。 取 D 1 F 4 P 4 （a）E 200,w 100 得 P 50 （b）E 100,w 200 得 P 250 显然不合理，真实值 P 在 E 和 w 之间。
控制容量积分 把精确解代入J中
Je J w 0
ρu/Г
L 0 Pe x L 0 Pe Pe x J u 0 [exp( 1] exp exp Pe 1 L L exp( Pe ) 1 L 0 L 0 L u[0 ] F [0 ] exp( Pe ) 1 exp( Pe ) 1
aE De
1 aE Dw [| Pe ,1 Pe , 0 |] 2 1 aw Dw [| Pw ,1 Pw , 0 |] 2 aP aE aw ( Fe Fw )
(e)
讨论
aE De (1)在 2 P 之间， e 2
差分格式。
1 Fe ，就是中心 2
(4)导致不合理的原因 P 2 而使 aE
0
在P 大时，

x 分布偏离线性很远，积分假设不合理。且 P
大时，在x=L/2处， 0 上游值而非平均值。 (5)中心差分格式只重于低雷诺问题
课堂作业
有一个一维稳态无内热源的对流－扩散问题，已知两
个端点的φ值如图所示，其中△x=2。试利用中心差分格式 计算图中2,3两点的φ值，并分析结果的合理性及原因。（ ） u＝5, 0.5
aE
A
P De 是 e 的函数，而
aw
Dw 是与之对称的。
A，B系数性质的含义
根据对称及和差特性，我们仅 须知道yellow线的值，即在 P 0, A( P ), B 1 P A
则所有 A( P ) 和 B( P ) 均确定了。
在 P 0. A( P ) B( P ) P A(P ) P A(| P |) | P | 通用格式 对B
而
aPP aEE a
Fe F exp( P ) aE , a exp( Pe ) 1 exp( P ) 1
(D)
aP aE aW w (F e Fw )
区别就在函数 ae和a
aE De
Pe aE De exp( Pe ) 1
讨论 （1）方程（c）的系数没有负数，解在物理上总是真实的。 管道 （2）格式的物理含义
储水箱→搅拌均温→控制容积 →壁面导热→扩散→管道→对流
进入管道的水温等于上游水箱 的温度，但它不知道将流入的箱中 的任何情况。
储水箱
（3）由于迎风格式在界面上取 界面 上游等于取 P 放大了对流作用。
F e P F e E
取最大值
当u>0 当u<0
保证 Fe 0
( u )w Fww w[| Fw ,0 |] P [| Fw ,0 |]
二阶导数的扩散项仍采用中心差分，
整理后得 但
a pP aEE a
aE De [|1 Fe ,0 |], a D [| F ,0 |] e) (C aP aE aw ( Fe Fw )
cuL
k

cuAT
KA T L
对流传热量/导热量
TL
1
纯导热 P e 0 上游信息对流到下游， 纯对流 下游信息无法通过扩 P e
散传到上游。
T0

Pe=0
1
-5 5

L x
以上精确解为例讨论各种差分格式的性能。
0
§6-1
连续方程
中心差分与迎风差分。
xw
W w
d ( u ) 0, u 常数 dx
a D B( P ) D {A(| P |) [| P ,0 |]}
aP De B( Pe ) D A( P )
De{A(| Pe |) [| P e ,0 |]} D { A( P ) [|1 P ,0 |]}
aE a ( Fe F )
(2)在 P 的区域里 aE Fe或aE 0, e 2和P e 2
即扩散项取零的迎风格式。
由于其综和了中心和迎风两种格式的优点，故称混 合格式。但最好还是看成精确解的三条直线的近似， 包络线。
三、乘方格式 由于混合格式在 Pe 2 附近，偏离真值较远，帕 坦卡提出乘方格式。
dT d 2T cu k 2 dx dx
精确解
x 0, T T0 x L, T TL
Pe x T T0 exp( cux / k ) 1 exp( L ) 1 TL T0 exp( cuL / k ) 1 exp( Pe ) 1
贝克列数 Pe
即
aPP aEE a
显然不论那种格式，仅仅是 A(| P |) 表Байду номын сангаас式的区别。
A( P )
A(|P |) 1 0.5 | P | 中心 迎风 1 混合 [0,1 0.5 | P |]
1.0
迎风
指数 乘方 | P | exp(| P | 1)
5 0, (1 0.1| P |