弹簧振子振动周期的公式讨论

弹簧振子振动周期的公式讨论

陈思平

西华师范大学物理与电子信息学院指导教师：罗志全四川·南充 637002

摘要：本论文主要研究弹簧振子在振动过程中，如果改变弹簧振子的放置方式、不忽略弹簧质量与摩擦力、复杂的振子系统振动时以及在几种特殊情况下振子的振动周期公式。

关键词：弹簧振子；周期公式

Th e di scu ssi on of Sprin g Vibr ation cy cl e f ormul a

Chen Siping

Department of physics and electronic information, China West Normal University Instructor: Luo Zhiquan Sichuan·Nanchong 637002

Abstr act:In the thesis,they are researched mainly that the spring oscillator in the vibration process, if changes in spring placement of oscillator,not ignore the spring mass and friction, the complex oscillator vibration and in some special cases, the vibration cycle oscillator formula.

Key w or ds:spring oscillator; cycle formula

目录

摘要 (1)

ABSTR ACT (1)

1.引言 (2)

2.理想状态下弹簧振子的相关结论 (2)

3.放置方式对振子振动周期的影响 (3)

4.摩擦力对振子振动周期的影响 (4)

5.弹簧质量对振子振动周期的影响 (7)

6.复杂弹簧振子系统的振动周

期 (8)

7.几种特殊情况下弹簧振子系统的周期计

算 (10)

结

论………………………………………………………………………………………………………

(12)

参考文

献………………………………………………………………………………………………………

(13)

致

谢………………………………………………………………………………………………………

(13)

1.引言

振动现象在自然界中是广泛存在的，简谐运动又是最简单、最基本的振动形式。在物理学研究中，人们在观察和实验的基础上，为了便于对比较复杂问题的

研究，就要充分运用抽象思维能力，重点考虑现象中起决定性作用的主要因素和

过程，把研究对象形式化、纯粹化，这就是科学研究中的理想化方法。建立理想

模型就是理想化方法表现的一种形式。而理想模型是以客观实体为原型所进行的

科学抽象的产物，是对原型客体主要特征的反映；由理想模型建立起来的相应理

论都要一定的适用范围。

图1.1 弹簧振子理想模型

因而在研究简谐运动时，就借助了理想化物理模型弹簧振子系统来研究，弹簧振子如图（1.1）所示，其中的小球常称为振子，可将其看作质量为m的质点。

理想化即指：一，系统中的弹簧为“轻”弹簧，其质量比振子的质量小得多，可

忽略不计；二，系统中的振子都是在“光滑”面上运动，忽略振子在运动过程中

受到的摩擦力，并且不考虑空气阻力。这样，在忽略这些外在因素后，我们就得

到了理想化状态下弹簧振子振动周期。但是，如果我们将这些外部因素考虑进来，

即不忽略弹簧质量、外界阻力时，弹簧振子的振动周期又会是怎样的？如果改变

了弹簧振子的放置方式以及复杂的振子系统振动，振动周期又会怎样？为了得到

上述物理问题的结论，本论文就将对上述问题进行研究。

2.理想状态下弹簧振子的相关结论

如图（1.1）所示，在水平面放置一理想化物理模型弹簧振子，在振子运动过程中，由于受到线性回复力作用，振子做简谐运动。由牛顿第二定律F=ma可

知，其运动方程为：

即为弹簧劲度系数

令，则有

为弹簧振子的振动频率

上式为一个二阶线性常微分方程，根据微分方程理论，弹簧振子运动

为弹簧振子的振幅，为弹簧振子的初相位，、为积分常数，可由初始条件确定。

根据弹簧振子运动方程的解的性质，可知振子振动的位移是时间t的周期函数，其固有周期大小即为

3.放置方式对振子振动周期的影响

3.1 如图（ 3.1）所示，竖直放置的理想化物理模型弹簧振子在运动过程中，振子除了要受到弹簧线性回复力的作用之外，还要受到一个恒力--重力的作用。为弹簧的劲度系数，设为弹簧振子的自然长度，为弹簧振子静止时弹簧的伸长量，有：。竖直向下为X轴的正方向，当振子运动到位移处于坐标位置处时，根据牛顿定律，振子的运动方程为

即

图3.1 竖直放置的弹簧振子

可知竖直放置的弹簧振子与水平放置时的运动方程相同，则其振动周期公式同为

由此可见，竖直放置即在恒力作用下的弹簧振子的振动周期不变，运动表达式不变。

3.2 如图（3.2）所示，将理想化物理模型弹簧振子放在一个倾角为的斜面上。振子与斜面有摩擦力，且在振动过程中，由于振子的体积较大，还会受到空气的阻力。

但在讨论过程中，忽略这些外力的作用。设为弹簧振子的自然长度，为弹簧振子静止时弹簧的伸长量，如图受力分析，在弹簧振子系统处于平衡位置时，有。沿斜面向下为X轴的正方向，当振子运动到位移处于坐标位置处时，根据牛顿第二定律，振子的运动方程为

图3.2 倾斜放置的弹簧振子

即

同理，由，有

可知竖直放置的弹簧振子与水平放置时的运动方程相同，则其振动周期公式同为由此可见，沿倾角为的斜面放置的弹簧振子的振动周期不变，运动表达式不变。

4.摩擦力对振子振动周期的影响

对于理想弹簧振子，设弹簧的劲度系数为,振子质量为，振子与水平面滑动摩擦系数为，静摩擦系数为。 X轴方向水平向右，弹簧振子的平衡位置为X 轴原点O。在弹簧振子的运动过程中，振子受到摩擦力大小为 , 摩擦力方向与振子运动的方向相反。若用符号来表示任意值的正负号, 则

这样, 当时, ；当时, 。

当时, 弹簧振子的运动方程为