基于蚁群算法的旅行商问题解决方案

基于蚁群算法的旅行商问题解决方案

一引言

旅行商问题（TSP, Traveling Salesman Problem）是在1859年由威廉·汉密尔顿爵士首次提出的，它是物流领域中的典型问题，这个问题的求解具有十分重要的理论和现实意义。所谓TSP问题是指：有N个城市，要求旅行商到达每个城市各一次，且仅一次，并回到起点，且要求旅行路线最短。这是一个典型的优化问题，对一个具有中等顶点规模的图来说，精确求解也是很复杂的，计算量随着城市个数的增加而呈指数级增长，即属于所谓的NP问题。TSP在工程领域有着广泛的应用，并常作为比较算法性能的标志。如网络通讯、货物运输、电气布线、管道铺设、加工调度、专家系统、柔性制造系统等方面，都是TSP广泛应用的领域。求解算法包括贪婪法（GM）、极小代数法（MA）、模拟退火法（SA）和遗传算法（GA）等。而应用蚁群算法求解旅行商问题是近年来研究的新方向，由于其并行性与分布性，特别适用于大规模启发式搜索，实验结果证明了其可行性和有效性。

二蚁群系统基本原理

在蚂蚁群找到食物时，它们总能找到一条从食物到巢穴之间的最优路径。这是因为蚂蚁在寻找路径时会在路径上释放出一种特殊的信息素（phero-mone）。当它们碰到一个还没有走过的路口时，就随机地挑选一条路径前行。与此同时释放出与路径长度有关的信息素。路径越长，释放的激素浓度越低。当后来的蚂蚁再次碰到这个路口的时候，选择激素浓度较高路径概率就会相对较大。这样形成了一个正反馈。最优路径上的激素浓度越来越大，而其它的路径上激素浓度却会随着时间的流逝而消减。最终整个蚁群会找出最优路径。在整个寻径过程中，虽然单个蚂蚁的选择能力有限，但是通过激素的作用，整个蚁群之间交换着路径信息，最终找出最优路径。

三基于蚁群算法的旅行商问题求解方案

TSP问题描述如下：

设有n个城市C=（1，2,...,n），任意两个城市i，j之间的距离为d ij ，求一条经过每个城市的路径π=（π（1），π（2），...，π（n）），使得距离最小。

主要符号说明

C n个城市的坐标，n×2的矩阵

NC_max最大迭代次数

m蚂蚁个数

Alpha表征信息素重要程度的参数

Beta表征启发式因子重要程度的参数

Rho 信息素蒸发系数

Q 信息素增加强度系数

R_best各代最佳路线

L_best各代最佳路线的长度

求解TSP问题的蚂蚁算法中，每只蚂蚁是一个独立的用于构造路线的过程，若干蚂蚁过程之间通过自适应的信息素值来交换信息，合作求解，并不断优化。这里的信息素值分布式存储在图中，与各弧相关联。蚂蚁算法求解TSP问题的过程如下：

（1）首先初始化，设迭代的次数为NC。初始化NC=0

（2）将m个蚂蚁置于n个顶点上

（3）m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，完成各自的周游

每个蚂蚁按照状态变化规则逐步地构造一个解，即生成一条回路。蚂蚁的任务是访问所有的城市后返回到起点，生成一条回路。设蚂蚁k当前所在的顶点为i，那么，蚂蚁k由点i向点j移动要遵循规则而不断迁移，按不同概率来选择下一点。

（4）记录本次迭代最佳路线

（5）全局更新信息素值

应用全局信息素更新规则来改变信息素值。当所有m个蚂蚁生成了m个解，其中有一条最短路径是本代最优解，将属于这条路线上的所有弧相关联的信息素值进行更新。

全局信息素更新的目的是在最短路线上注入额外的信息素，即只有属于最短路线的弧上的信息素才能得到加强，这是一个正反馈的过程，也是一个强化学习的过程。在图中各弧上，伴随着信息素的挥发，全局最短路线上各弧的信息素值

得到增加。

（6）终止

若终止条件满足，则结束；否则NC=NC+1，转入步骤（2）进行下一代进化。终止条件可指定进化的代数，也可限定运行时间，或设定最短路长的下限。

（7）输出结果

四数据实验及结果

通过计算机仿真，得出旅行商问题优化结果和平均距离和最短距离，如图所示：

四分析与总结

本文设计了一种基于MATLAB实现的蚁群算法，用以求解组合优化难题中的典型代表旅行商问题。对30个城市旅行商问题进行了测试，所得结果能达到优化作用，解决了这个问题。

经过对旅行商问题的深入理解，得到了能解决问题的基本数学模型，然后设计算法的基本思想，技术路线，最后编码。在多次调试，修改后，本算法成功运行，并实现了最初的设定目标。另外，MATLAB具有丰富的绘图函数，对于绘图十分方便，这是选择MATLAB解决TSP问题的算法编写、调试的原因。

蚁群算法解决旅行商问题MATLAB程序

x=[41 37 54 25 7 2 68 71 54 83 64 18 22 83 91 25 24 58 71 74 87 18 13 82 62 58 45 41 44 4]';

y=[94 84 67 62 64 99 58 44 62 69 60 54 60 46 38 38 42 69 71 78 76 40 40 7 32 35 21 26 35 50]';

C=[x y];

NC_max=50;

m=30;

Alpha=1.5;

Beta=2;

Rho=0.1;

Q=10^6;

%%-------------------------------------------------------------------------

%% 主要符号说明

%% C n个城市的坐标，n×2的矩阵

%% NC_max 最大迭代次数

%% m 蚂蚁个数

%% Alpha 表征信息素重要程度的参数

%% Beta 表征启发式因子重要程度的参数

%% Rho 信息素蒸发系数

%% Q 信息素增加强度系数

%% R_best 各代最佳路线

%% L_best 各代最佳路线的长度

%%=============================================================== ==========

%%第一步：变量初始化

n=size(C,1);%n表示问题的规模（城市个数）

D=zeros(n,n);%D表示完全图的赋权邻接矩阵

for i=1:n

for j=1:n

if i~=j

D(i,j)=((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2)^0.5;

else

D(i,j)=eps; %i=j时不计算，应该为0，但后面的启发因子要取倒数，用eps（浮点相对精度）表示

end

D(j,i)=D(i,j); %对称矩阵