三棱锥专题

三棱锥的特殊到一般
三棱锥 四面体 复杂根从简单起 线线、线面到面面 讨论角度和距离
解三棱锥
三棱锥对于多面体，如同三角形对于多边形.
三角形为多边形之根，三棱锥为多面体之根. 注意，三棱锥是个四面体，有4个面、6条棱. 图形的认识，从特殊到一般：
（1）三棱锥中最特殊的是正四面体，次特殊的是正三棱锥.
（2）与等腰直角三角形对应的有“正直三棱锥”.
（3）与直三角形对应的有直三棱锥.
（4）与等腰三角形对应的有“等腰四面体”.解正四面
体
正四面体化归为正方体求解.
在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，由6条面对角线
A 1D 、 BC 1 、A 1C 1、BD 、A 1
B 、D
C 1为棱的四面体
即为正四面体 A 1 - BC 1D .正四面体A 1- BC 1D 的棱长
为1的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ；
体积为正方体的13；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半径2
. 三棱锥确定条件个数
一般情况下,确定一个三角形需要3个条件. 同样，一般情况下确定一个三棱锥需要6个条件.
确定一个等腰三角形需要2个条件，对应的，确定一个正三棱锥需要2个条件.
确定一个等腰直三角形只需1个条件，对应的，确定一个“正直三棱锥”只需1个条件.
解三角形，一般是解斜三角形，已知条件需要3个. 而解三棱锥，一般是解特殊的三棱锥，已知条件不多于3个.
“正直”三棱锥
我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作“正直三棱锥”. 它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，1个底面是正三角形.正直棱锥的直观图画法有“立式”（左）和“卧式”（右）两种.
立式图中，1个侧面置于水平位置. 可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在竖直方向显示
底面上的高线.
解正直三棱锥
化为正方体求解
一、线线关系：
（1）相交垂直：AD⊥DD1
（2）相交45°：AD与AD1
（3）相交60°：AD1与AC
（4）异面垂直AC与DD1
二、线面关系
（1）垂直：AD与DCD1（2）交成45 °：AD与ACD1
三、面面关系
（1）垂直：三侧面两两之间
（2）交成：如平面ACD1与平面ACD
正直三棱锥的高线
【题目】若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为VA=1.
求它高线VH的长度.
【解1】（斜高法）
【解2】（等积法）
正直三棱锥的外接球
正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此“单位正直三棱锥”与单位正方体有共同的外半径.
【题目】正直三棱锥的侧棱长为1，求其外球半径长.
在三棱锥O - ABC，三条棱OA、OB、OC 两两垂直且相
等.M为AB 的中点. 则OM与平面ABC的成角的大小
为.
正方体内接三棱锥的个数
【问题】以正方体8个顶点中的4个顶点作三棱锥，这样的三
棱锥称正方体的内接三棱锥. 求正方体内接三棱锥的个数.
“长棱”三棱锥
正方体内接三棱锥可分四类. 除了内接正四面体和内接正直三棱锥外，还有两类. （1）斜三棱锥(图左). （2）底面为直三角形的直三棱锥(图右).
它们各有1条长度为的“长棱”，其外心在长棱的中点上.
直正三棱锥
底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直正三棱锥”.
确定一个“直正三棱锥”需2个条件，即底棱长a和直棱长b.
“直正三棱锥”与“正直三棱锥”不同，后者的确定条件只1个.
直正三棱锥的四个面中：
（1）底面是正三角形；
（2）有2个侧面为直角三角形，它们都垂直于底面；
（3）另一个侧面为等腰三角形；
解直正三角形
【题目】三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，且PA AB = BC = CA =1.
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）求A到平面PBC的距离.。