巧用图像法解运动学类题

巧用图像法解运动学类题
郑卫锋
学生进入高中阶段一开始物理的学习，先接触到 的是运动学部分，而这一部分对于提升学生对物理的 兴趣，深化、活化物理思维有着最直接的影响。

运动 学类题解法多样，如果能较好地掌握图像法不只可以 体会到“柳暗花明又一村”激动，也可以感受到学物 理也可以如此地简单、直观、 “有形”！
下面结合例题就巧用图像法与大家一起分享、探 讨。

一、速度图像
速度—时间（ v t ）图像描述物体运动的速度随 时间的变化规律。

其横坐标表示速度、纵坐标表示时 间，其斜率表示速度变化的快慢程度即加速度，而图 线与坐标轴所围成的面积表示位移。

1．一物体做匀加速直线运动，一次通过 A 、B 、C
三个位置， B 为 A 、C 的中点，物体在 AB 段的加速度 恒为
a
1 ，
在 B 、 C 段的加速度恒为 a 2，现测得 v B （v A v C ）/2则a 1、
a 2的大小为（ ）
A ．
a 1
> a 2 B ． a 1 =a 2
C ．
a 1
< a
2 D ．无法确定
解析：此题若用计算法：由 v t
2
v 02 2as ，得到
22
v C v B
C B
，因 B 为 AC 的中点，所 2s 2 所以
s 1 s 2 ，由图可知 t AB > t BC ， v B （v A v C ）/2 得到
v C v B v B v A v ，
而
a 1
v/t
AB ，
a 2
v/t
BC
，所以
a
1
<
a 2 。

2．某人用手表估测火车的加速度， 现观察 3min ， 发现
火车前进 540m ，隔 3min 后又观察 1min ，发现火 车前进
360m ，若火车在这 7min 内做匀加速直线运动， 则火车的加速
度为（ ）
A ．0.03 m/s 2
B ．0.01 m/s 2
22
C ．0.5 m/s 2
D ．0.6 m/s 2
此题给的条件较为模糊，想用套公式法直接计算 又无从下手，那么，不妨画速度图像试试，设开始观 察时火车速度为
v 0 ，以任意斜率画出火车匀加速的速 度图像。

这时观察两段时间内的位移 （阴影面积） ，即可想 到两
段时间内的平均速度，又由某段时间内的平均速 度等于该段时间中间时刻的瞬时速度，可知：
540m
360m
3m/s
v 2
6m/s
3 60s
1 60s
运动组成： 先是匀加速直线运动， 后是匀速直线运动。

如果某同学在校运会上百米赛跑的成绩为 12.00s ，他 在匀速运动时的速度为
10.0m/s 。

试计算出他的加速
由题意做出 v t 图像，因 B 为 AC 的中点，
以
s 1 s 2 ，为了比较 a 1 、 a 2的大小将其求差：
由图亦可知 v 1、v 2 所对应的两时刻之间的时间间 t
（6.5 1.5） 60s 300s ，所以，加速度
a
1 a
2
再将 v B (v A v C )/2代入
v
2 v
1
a
t
2
0.01m/ s 2
3．我们可以将百米赛跑的过程近似地看成与两段
若用图像法如下：
度。

v/
(m/s)
12.00
a
1
22 v B v
A
2s 1
a
2
t /mi
整理得到： a 1 a 2
(v A v C )2
A C
< 0，故选 C
4s 1
解析：此题若不画图很难着手，依题意画出速度图像后，
解题思路才会恍然呈现。

图中阴影面积为运动员的位移s2 100m ，图中空白部分
面积s1 （10.0 12.0 100）m ，又由速度位移公式v t2
v02 2as 可知22
10.02 2as1 ，所以a 2.5m/s2。

4．物体做直线运动，在t 时间内通过的路程为s ，它
在中间位置s/2 处的速度为v1，在中间时刻t /2 时刻的速度为
v2，则v1和v2的关系为（）
A ．当物体做匀加速直线运动时，v1> v2
B ．当物体做匀减速直线运动时，v1> v2
C ．当物体做匀速直线运动时，v1＝v2
D．当物体做匀减速直线运动时，v1< v2
若是匀变速直线运动为了比较中点位置和中间时刻的
22
v02v t2
2
，
故A、B 正确。

若用图像法则更为直观快捷！
从图中可直接看出v1> v2。

5 ．甲、乙、丙三辆车沿直线行驶经过某一路标时速度相等，
甲车先匀加速再匀减速，乙车匀速，丙车先匀减速再匀加速，结
果它们到达下一个路标的速度又一次相同，试分析它们通过下一
个路标的先后次序．
解析：此题一只条件模糊难以用公式进行计算，若能依题
意画出速度图像，则结论一看便知。

甲乙丙三车的速度时间图像如图所示，要三者位移相等，
必有t甲< t乙<t丙，所以到达下一路标的次序为先甲再乙后
丙。

6．如图所示，两个质量完全一样的小球，从光滑的a
管和b 管由静止滑下，设转弯处无能量损失，比较两球所用时
间的长短。

（B、D 两点在同一水平面上）
解析：沿a 管下滑的小球，在AB段的加速度比BC段的
小，则在v t 图像中所表示的a 小球的斜率先小后大；同
理，沿b管下滑的小球在v t 图像中的斜率先大后小。

由机
械能守恒定律可知两球滑到底端时的速度相同，又由管道形状知
两球经过的总路程相等，即在速度图像上的面积相等，则必有
t a >t b 。

二、位移图像
位移—时间图像（s t ）描述运动物体的位移随时间的变
化规律，其纵坐标表示位移（直接看出），横坐标表示时
间，其斜率表示速度。

7．如图是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意
图，测速仪发出并接受超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信
号间的时间差，便可测出被测车辆的速度。

图中P1 、P2 是测
速仪发出的超声波信号，n1、n2分别是P1 、P2 由汽车反射回
来的信号。

已知P1 、P2之间的时间间隔t 1.0s ，超声波在
空气中传播速度是v0 340m / s 。

若汽车是匀速行驶的，则根
据图可知，汽车在接收到两个信号之间的时间间隔内前进的距
离是多少？汽车的速度是多少？
解析：设超声波在第一次和第二次到达汽车时，
汽车距测速仪的距离分别为s1、s2 ，两次距离之差即为汽车
在接收到两个信号之间的时间间隔内前进的距离，画出s t 图
像可直观地看出（图线的斜率表示超声波的波速，用两个小矩形
块表示汽车）。

解析：若是匀速直线运动，则v1＝v2，C 正确。

速度，则需想到
2
v0 v t，得到v1> v2，
v
再由v0 2v t(v0 v t)2 <
由P1、P2间的时间间隔t 1.0s在b图标尺上
1
对应30 个小格，说明每小格相当于时间s。

P1 、n1之间相差12个格子，说明第1 个超声波信号从发出到返回历时
1
t112 s 0.40s ，
130
则s1 v0t1 /2 ；
同理，P2 、n2之间相差9个格子，即第2个信号从发出到返回历时
1
t29 s 0.30s ，
230
则s2 v0t2 /2 ；
所以，汽车在接收到两个信号之间的时间间隔内前进的距离s s1 s2 17m 。

此距离s 除以汽车两次接收到信号的时间间隔t
就是汽车的速度。

汽车第1 次接收到信号的时刻应是P1、n1之间的中间时刻；第2次接收到信号的时刻是P2、n2 之间的中间时刻。

对应标尺上的小格线有：
1
t （39.5 11.0） s 0.95s 。

30
s
因此，汽车的速度v 17.9m / s 。

8．某公司每天专派一辆汽车准时接一位工程师上班。

有一天，工程师比平时提前1h 出门步行上班，在途中遇到来接他的汽车，就再乘车到工厂，结果比平时提前10min 到达公司，求：⑴该工程师在与汽车相遇前已经步行了多长时间？⑵汽车的速率是工程师步行速率的几倍？（假设工程师的家与公司位于同一长直公路上）
分析：这是一道运动学中的相遇问题，若用公式法方程较多且它们之间的关系不易确定，改用s t 图像可直接看出相关关系。

解析：根据题意画出s t 图像如下，其中折线EDF 是平时接送时汽车的位移图像，其斜率表示汽车的速率，折线AHG 表示工程师提早步行上班的位移图像。

因为汽车速率一定，所以HG∥ DF。

图中AD=1h，BD=GF=10min，而HC平分BD，可知在与汽车相遇前工程师已经步行了55min，根据AH 与BH的斜率可得：汽车速率是工程师步行速率的11 倍。

三、轨迹图像轨迹图就是反映物体实际运动的轨迹。

画轨迹图也就是平时常说的对运动过程“画草图”，此方法在解决追击、相遇类，抛体运动类、自由落体类题目时都较为常用。

9．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔为t A ，两次经过一个较高点B的时间间隔为
t B，则A、B 之间的距离为多少？
解析：此题必须画出草图才能找到关系
B
A
由竖直上抛运动的对称性可知，从A 点到最高点
的时间为t A /2，从B点到最高点的时间为t B/2，故A点到最高间的距离：h A1g（t A）2
A2 2
B点到最高间的距离：h B 21 g（t2B）2
1
2 2
所以A、B两点距离h h A h B g（t A2
t B2）。

8 10．甲球在乙球的正上方h 高度处，现将甲乙两球分别以大小为v1和v2的初速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使两球相撞的是（）
A．同时抛出，且v1< v2
B．甲迟抛出，且v1 < v2
C．甲早抛出，且v1> v2
D．甲早抛出，且v1 < v2
解析：画出两球做平抛的轨迹图（抛物线），假设两球相撞于P 处。

观察可知两球从抛出到相撞的下落高度h甲> h乙,
又由平抛运动高度决定（t 2h/g ）知t甲>t乙，
要同时相遇则必须甲早抛出。

由图又可知从抛出到相撞两球水平位移相等，又根据平抛运动水平位移x v0t ，可知v1 < v2 。

11．如图所示，两小球a、b 从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速率v0向左、向右水平抛出，分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为30o 和60o，则两小球a、b的运动时间之比为（） A 、1：3 B 、1：3 c、3 ：1 D、3：1
一斜面上将小球平抛后的轨迹，小球撞斜面时的速度方向不可知，但运动结束后两个分位移的关系很明朗：tan y gt /2，整理得t2v0
tan 即
x v0t g
t tan （小球的运动时间与其所在斜面倾角的正切成正比）所以，t a:t b tan 30o : tan 60o 1: 3。

四、矢量图法运动物体的速度、位移、加速度均为矢量，是矢量就可以用矢量的加减法则，比如常见的平行四边形定则，或三角形法则。

12．一只小船在静水中的速度为u ，若水速为v ，且u< v要使之以最短航线渡过宽度为L的河，试分析应如何行驶？最短航线由多长？
解析：若要航线最短，则小船合速度应尽可能向垂直于岸的方向靠拢（即角应尽量小），由图可知：当v 合和u 垂直时，小船航线最短，此时cos u/v 即船身应以偏向上游
arccos（u / v）行驶，最短航
线长度为s min L/cos L/cos vL/u 。

13．如图所示A船从港口P 出发去拦截正以速度v0沿直线匀速航行的B船，P点与B所在的航线的垂直距离为a ，A 船启航时与B船的距离为b（b>a ），忽略A 船启动时间，认为它一启航就匀速运动，求A 船能拦截到B 船所需的最小速率。

解析：这是两物体追赶的运动学求极值的问题。

一条思路是以河岸为参考系由正弦定理来求；另一条思路是巧选B 船参考系，画矢量图利用相对运动的矢
如图所示，根据相对速度的关系 v
v A 岸
v v AB v v
B 岸 即
v v
A v v
v v
0 ，它们组成的矢量三角形中， 要让 v A 最小， a 则应有
v A v ，所以 v A v 0 sin v 0 ，这就是
b
A 船的最小速率 v min av 0。

min
b
说明： 当然，解决运动学类问题的图像法也不尽 局限于上面的几项， 有时还需根据实际情况灵活运用。

不妨看看下面这道题。

14．一个有趣的竞赛题：一只老鼠离开洞穴沿一 直线运
动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比， 当其到达距洞口为
d 1的 A 点时速度为 v 1，若 B 点离洞
口的距离为
d 2，( d 2> d
1)求老鼠
由 A 运动至 B 所需 的时间。

分析 : 老鼠的运动即不是匀速直线运动也不是匀 变速直线运动， 不能直接用方程计算由 A 到 B 的时间。

老鼠运动速度
v k/d ，v d 图像是一条双曲线，
1
且不便于观察
图像所反映的物理规律，而 1
d 若灵
v 活点改为画
1/v d 图像，则其图像为一过原点的直 线，且图像与横轴所围
成的面积( d 1
)为时间，
v 因而求出面积便
可得到时间 t 。

1
思考： 此题是不是只能画成
d 图像才能研究， v
11
要是画成 d 图像或者 v 图像还能得到同样的 vd 结果吗？ 总之，运动学类题形式多样，解题方法也是不拘 一格。

笔者进行以上关于图像法分类总结的目的在于 对比、在于扩展思路、在于活化思维，以便对后面学 习中将要用到的 F s 图
像、 F t 图像、 I t 等图 像的运用奠基思维基础，同时在于让学生感到做物理 也有如此的美感、学物理也是如此地有趣、有形，欢 迎大家批评指导！
解析：设老鼠在 B 点的速度为
v 1 d 1 v 2 d 2
量三角形来求。

1
由 d 图像面积的物理含义得时间： v
1 1 1 t (
)(d 2 d 1) ②
2 v 1 v 2
解析：选取 B 船为参考系，只要 A 船相对 B 船的 由①②得 t
速度 v 的方向沿 PB 指向 B 船， A 船就可以拦到 B 船， 22 d 2 d
1
2d 1v 1
v 2，由v k/d 有：
①。