利用定积分求旋转体的体积
高等数学(一元微积分)02-7.10定积分应用之旋转体的体积
x2
2
dx
2b 2 a2
a
(a
2
x 2 )dx
0
2b 2 a2
a
2
x
x3 3
a
0
4 ab 2 ． 3
图 5.2.14
图 5.2.15
a 绕 y 轴旋转的椭球体，可看作右半椭圆 x
b2 y 2 与 y 轴围成的平面图
b
形绕 y 轴旋转而成(如图 5.2.15 所示)，取 y 为积分变量，y [b,b] ，由公式(5．2．7)
(5.2.6)
类似，由曲线 x g( y) ，直线 y c, y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，
所得旋转体(如图 5.2.13)的体积为
V d g 2 ( y)dy ． c(52.7)图 5.2.12
图 5.2.13
x2 y2 例 1 求由椭圆 1分别绕 x 轴及 y 轴旋转而成的椭球体的体积．
边梯形绕 x 轴旋转而成(如图 5.2.12)，我们来求它的体积V ．这是已知平行截面面 积求立体体积的特殊情况，这时截面面积 A(x) 是圆面积．
在区间 a,b 上点 x 处垂直 x 轴截面面积为 A(x) f 2 x ，在 x 的变化区间
a,b 内积分，得旋转体体积为
V b f 2 xdx ． a
所求椭球体体积为
b a
Vy
b b
b2
y2
2
dy
2a 2 b2
b (b 2 y 2 )dy
0
2a 2 b2
b
2
y
y3 3
b
0
4 a 2b ． 3
a2 b2
解 绕 x 轴 旋 转 的 椭 球 体 ( 如 图 5.2.14 所 示 ) ， 它 可 看 作 上 半 椭 圆
积分体积计算公式
绕x轴旋转体积的积分公式是V=π∫[a，b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy；或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积；绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
定积分叙述
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
定积分体积计算公式
定积分体积计算公式定积分在数学领域中可是个相当重要的概念，特别是在计算体积方面，那更是有着神奇的魔力。
咱们先来说说啥是定积分。
简单来讲，定积分就是把一个区间上的函数进行分割、近似、求和、取极限得到的一个数值。
听起来是不是有点晕乎？别担心，咱们慢慢捋。
就拿计算旋转体的体积来说吧。
比如说，有个函数 f(x)，咱们把它绕着x 轴旋转一周，形成的那个立体图形的体积就可以用定积分来算。
假设咱们有个函数 f(x) = x²，在区间 [0, 2] 上。
想象一下，这个函数绕着 x 轴旋转一周，会得到一个像碗一样的东西。
那怎么算这个“碗”的体积呢？这时候定积分就派上用场啦！咱们用一个特别的公式：V = π∫[a,b]f(x)² dx 。
在这个例子里，a = 0，b = 2，f(x) = x²，所以体积V = π∫[0,2] x⁴ dx 。
算这个定积分，先求出 x⁴的原函数是 x⁵ / 5 ，然后代入上下限，得到V = π×(2⁵ / 5 - 0) = 32π / 5 。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个特别有趣的事儿。
有个同学一直搞不明白为啥要这么算，觉得特别抽象。
我就拿了个圆柱形的杯子，还有一块橡皮泥。
我把橡皮泥捏成一个大概像函数曲线的形状，然后绕着杯子转一圈，问同学们：“你们看，这不就像是咱们要算体积的那个图形嘛？”然后我再一点点拆解，把计算的步骤和这个实际的操作结合起来讲。
嘿，那个同学一下子就恍然大悟，眼睛都亮了起来。
再比如说，计算由两个函数 f(x) 和 g(x) 围成的区域绕着 x 轴旋转的体积。
这时候就要用大的函数减去小的函数的平方再积分。
定积分体积计算在实际生活中也有很多用处哦。
比如说，工程师要设计一个旋转的零件，就可以用这个方法来计算它的体积，确保材料用得恰到好处，不浪费也不少用。
总之，定积分体积计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多联系实际，就能发现它的妙处。
绕x轴y轴旋转体积的积分公式
绕x轴y轴旋转体积的积分公式
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a，b]f(x)^2dx。
一条平面曲线绕着所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
绕y轴旋转体积公式：V=π∫[a，b]φ(y)^2dy。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx,其中y'^2是y对x的导数的平方，()^0.5是开平方。
绕x轴旋转得到的旋转体体积为0.5π^2，绕y轴旋转得到的旋转体体积为2π^2。
1、绕x轴旋转时，微体积dV = πy^2dx，或者：dV = π(sinx)^2dx，将dV在0到π之间对x做定积分。
得到：V = ∫π(sinx)^2dx (在0到π区间积分) = ∫π(1-cos2x)/2dx (在0到π区间积分) = 0.5π^2。
即，给定函数，绕x轴旋转得到的旋转体体积为0.5π^2。
2、绕y轴旋转时，微体积dV = π(2x)ydx，或者：dV = 2πxsinxdx，将dV在0到π之间对x做定积分。
得到：V = ∫2πxsinxdx(在0到π区间积分) =2π∫xsinxdx (在0到π区间积分) = 2π^2。
即，给定函数，绕y轴旋转得到的旋转体体积为2π^2。
一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
2πy求旋转体体积方法数学家
2πy求旋转体体积方法数学家旋转体是指在平面上围绕其中一直线旋转形成的立体图形，求旋转体的体积是数学中的一个重要问题。
在这篇文章中，我们将介绍求解旋转体体积的方法，包括定积分方法和线积分方法。
首先，我们来介绍定积分方法。
定积分是一种利用离散的数据求解连续变化的量的方法。
在求解旋转体体积时，我们可以通过将旋转体切割成许多薄圆片，然后对每个圆片的面积进行求和来近似求解旋转体的体积。
具体操作步骤如下：1.将旋转体切割成许多薄圆片，每个圆片的面积可以通过πr²来计算，其中r是圆片的半径。
2.根据切割得到的圆片，确定每个圆片的半径，可以通过相应的函数关系求解得到。
3.对每个圆片的面积进行求和，得到旋转体的体积的近似值。
4.当切割得到的圆片个数趋向于无穷大时，可以通过取极限的方法得到旋转体的准确体积。
例如，我们要求解由y = x²（0 ≤ x ≤ 2）所围绕的旋转体体积。
根据上述方法，我们可以将旋转体切割成许多薄圆片，每个圆片的半径为y，即圆片的面积为πy²。
我们可以通过求解定积分∫πy²dx（0 ≤ x ≤ 2）来得到旋转体的体积。
仿照上述方法，我们可以通过定积分方法求解各种形状的旋转体的体积。
然而，这种方法对于非常复杂的曲线或者是无法用常规函数表达的图形，求解会相对困难，并且需要一定的数学知识和技巧。
除了定积分方法外，还可以使用线积分方法求解旋转体的体积。
线积分是一种计算沿着曲线的函数值的方法，适用于曲线旋转生成旋转体的情况。
与定积分方法相比，线积分方法更加直接和简单。
具体操作步骤如下：1.根据旋转体的形状，选择合适的坐标系和参数化方程。
2.推导旋转体的体积元素公式，即旋转体的体积元素与参数化方程的微分之间的关系。
3.计算旋转体的体积公式，即将体积元素与参数范围进行积分计算。
例如，我们要求解由y = x²（0 ≤ x ≤ 2）围绕x轴旋转所形成的旋转体的体积。
定积分的几何应用(体积))
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
§定积分应用之简单旋转体的体积
§定积分应⽤之简单旋转体的体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积【学习⽬标】1、利⽤定积分的意义和积分公式，求⼀些简单旋转⼏何体体积。
2、数学模型的建⽴及被积函数的确定。
【问题导学】1、复习求曲边梯形⾯积公式？定积分的⼏何意义？微积分基本定理？2、什么是旋转体？学过哪些旋转体？⼀个平⾯图形绕平⾯内的⼀条定直线旋转⼀周，所成的⽴体图形叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。
如：圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠。
3、旋转体的体积（1）计算由区间[a 、b ]上的连续曲线y=f(x)、两直线x=a 与x=b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：v=π()b2a f x dx （2）类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 y=f(x),两直线y=c 与y=d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：()d2c v y dy π?=?[]【⾃学检测】1、给定直⾓边为1的等腰直⾓三⾓形，绕⼀条直⾓边旋转⼀周，得到⼀个圆锥体. 利⽤定积分的⽅法求它的体积2、⼀个半径为1的球可以看成由曲线y=1-x 2（半圆）与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转⼀周得到的，利⽤定积分的⽅法求球的体积3、求曲线y=e x 、x=0、x=12与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积【当堂训练】4、求 y = x 2 与 y 2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积5、将第⼀象限内由x 轴和曲线y 2=6x 与直线x=6所围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积等于6、求曲线x 轴、y 轴及直线x=1围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积7、求曲线y=1x、x=1、x=2 与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积8、求曲线x=1与坐标轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积1、3π2、43π3、(1)2e π-4、310π5、108π6、32π7、2π8、2π。
定积分的应用体积
定积分的应用体积
定积分是数学中的一种基本概念，用于计算曲线下的面积或曲线围成的体积。
其中，定积分的应用体积主要有以下几种情况：
1. 计算曲线围成的体积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线围成的体积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线围成的体积可以表示为：
V =∫[a,b] f(x)dx
其中，a和b是曲线的两个端点，f(x)是曲线的方程。
通过对曲线围成的体积进行积分，可以得到曲线围成的体积。
2. 计算旋转体的体积：旋转体是指通过将一个平面曲线围绕一个轴旋转而得到的立体。
如果已知旋转体的旋转轴和曲线方程，可以使用定积分来计算旋转体的体积。
具体来说，旋转体的体积可以表示为：
V = ∫[a,b] r2 d A
其中，a和b是旋转轴上的两个点，r是曲线在该点处的半径，d A是曲线在该点处的微小面积。
通过对旋转体的体积进行积分，可以得到旋转体的体积。
3. 计算曲线下的面积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线下的面积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线下的面积可以表示为：
A = ∫[a,b] f(x)dx
通过对曲线下的面积进行积分，可以得到曲线下的面积。
定积分在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
它可以用于计算曲线下的面积、曲线围成的体积以及曲线在一定区间内的累积量等问题。
定积分绕x和y的面积体积公式
定积分绕x和y的面积体积公式
一、定积分求平面图形面积。
1. 绕x轴旋转体的体积公式推导及应用。
- 面积公式。
- 由曲线y = f(x)，y = g(x)（f(x)≥slant g(x)）以及直线x = a，x = b（a < b）所围成的平面图形的面积S=∫_a^b[f(x) - g(x)]dx。
- 绕x轴旋转体的体积公式。
- 设y = f(x)是区间[a,b]上的连续函数，这个区域绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=π∫_a^b[f(x)]^2dx。
- 如果是由曲线y = f(x)，y = g(x)（f(x)≥slant g(x)）以及直线x = a，x = b （a < b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=π∫_a^b([f(x)]^2-[g(x)]^2)dx。
2. 绕y轴旋转体的体积公式推导及应用。
- 面积公式。
- 由曲线x = φ(y)，x=ψ(y)（φ(y)≥slantψ(y)）以及直线y = c，y = d（c < d）所围成的平面图形的面积S=∫_c^d[φ(y)-ψ(y)]dy。
- 绕y轴旋转体的体积公式。
- 设x=φ(y)是区间[c,d]上的连续函数，这个区域绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=π∫_c^d[φ(y)]^2dy。
- 如果是由曲线x = φ(y)，x=ψ(y)（φ(y)≥slantψ(y)）以及直线y = c，y = d （c < d）所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=π∫_c^d([φ(y)]^2-[ψ(y)]^2)dy。
绕y轴旋转体体积公式两种形式
绕y轴旋转体体积公式两种形式绕y轴旋转体的体积公式是求解由曲线和y轴旋转形成的立体体积的公式。
在数学中，我们可以使用两种不同的形式来表示绕y轴旋转体的体积公式，分别是定积分形式和壳体积分形式。
一、定积分形式当我们有一个曲线y=f(x)，在x轴上的积分区间为[a, b]时，我们可以使用定积分来表示绕y轴旋转体的体积。
根据定积分的公式，绕y轴旋转体的体积V可以表示为：V = π∫[a, b] (f(x))^2 dx其中，π表示圆周率，∫[a, b]表示积分区间，f(x)表示曲线上任意一点的纵坐标。
通过对曲线在x轴上的积分，我们可以得到绕y轴旋转体的体积。
二、壳体积分形式除了定积分形式，我们还可以使用壳体积分形式来表示绕y轴旋转体的体积。
壳体积分形式通常适用于一些无法通过定积分形式直接求解的情况。
当我们有一个曲线x=g(y)，在y轴上的积分区间为[c, d]时，我们可以使用壳体积分来表示绕y轴旋转体的体积。
根据壳体积分的公式，绕y轴旋转体的体积V可以表示为：V = 2π∫[c, d] g(y) h(y) dy其中，2π表示圆周率的倍数，∫[c, d]表示积分区间，g(y)表示曲线上任意一点的横坐标，h(y)表示该点到y轴的距离。
通过对曲线在y轴上的积分，我们同样可以得到绕y轴旋转体的体积。
绕y轴旋转体的体积公式不仅可以通过数学公式来表示，也可以通过立体图形的理解来加深我们对于体积公式的理解。
通过对绕y轴旋转体的两种不同形式的体积公式的探讨，我们可以更全面、深入地理解这一数学概念。
总结回顾通过以上的讨论，我们可以看出，绕y轴旋转体的体积公式有两种主要的表示形式，分别是定积分形式和壳体积分形式。
在求解绕y轴旋转体的体积时，我们可以根据具体情况选择适合的公式并灵活运用。
通过深入理解这两种形式的体积公式，我们可以更灵活地运用数学知识解决实际问题。
个人观点和理解在我看来，绕y轴旋转体的体积公式是数学中一个非常重要且有趣的概念。
定积分应用求曲线下的面积与旋转体体积
定积分应用求曲线下的面积与旋转体体积定积分是微积分的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。
其中，求解曲线下的面积以及旋转体的体积是定积分应用的两个常见问题。
本文将详细介绍这两个问题的计算方法和应用场景。
一、曲线下的面积在平面直角坐标系中，给定一条曲线y=f(x)，我们希望计算该曲线与平行于x轴的两条直线x=a和x=b所围成的图形的面积。
假设曲线与x轴之间没有发生交叉，则该面积可以利用定积分来计算。
设该曲线下的面积为A，根据定积分的定义，我们可以将曲线下的面积划分为无数个无穷小的矩形，再将这些矩形的面积相加即可得到整个图形的面积。
具体而言，假设分割区间为[a, b]，将该区间划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
然后，选择每个小区间内的一个随机点(xi, yi)，计算该小矩形的面积ΔAi=yiΔx。
最后，对所有的小矩形面积求和，即可得到曲线下的面积A的近似值。
利用极限的思想，当n趋向于无穷大时，这个近似值将趋近于曲线下的面积A。
因此，我们可以通过定积分的方式精确地计算曲线下的面积。
二、旋转体的体积除了计算曲线下的面积，定积分还可以应用于求解旋转体的体积。
在平面直角坐标系中，给定一个曲线y=f(x)，我们可以围绕某一轴线（一般为x轴或y轴）进行旋转，形成一个旋转体。
那么，我们希望计算该旋转体的体积。
设旋转体的体积为V，根据定积分的定义，我们可以将旋转体划分为无数个无穷小的圆盘，再将这些圆盘的体积相加即可得到整个旋转体的体积。
具体而言，假设分割区间为[a, b]，将该区间划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
然后，选择每个小区间内的一个随机点(xi, yi)，计算该小圆盘的面积ΔVi=πy^2iΔx。
最后，对所有的小圆盘体积求和，即可得到旋转体的体积V的近似值。
同样地，当n趋向于无穷大时，这个近似值将趋近于旋转体的体积V。
因此，我们可以通过定积分的方式精确地计算旋转体的体积。
极坐标绕x轴旋转体体积公式
极坐标绕x轴旋转体体积公式
极坐标绕x轴旋转体体积公式是用来计算由曲线在极坐标系中绕x轴旋转一周所形成的体积的公式。
在计算过程中，我们通常使用定积分来求解该问题。
假设我们有一个曲线在极坐标系中的表示方程为r=f(θ)，其中r是极坐标的半径，θ是极坐标的角度。
要计算该曲线绕x轴旋转一周所形成的体积，我们可以将其细分为无数个薄圆柱体，并对每个薄圆柱体的体积进行求和。
每个薄圆柱体的体积可以由以下公式计算得出：V = π * (f(θ))^2 * dx，其中，(f(θ))^2表示曲线在极坐标系中的半径的平方，dx表示薄圆柱体的厚度。
为了计算整个体积，我们需要对上述公式进行积分。
将曲线的θ范围从0到2π（一周）进行积分即可得到绕x轴旋转体的体积公式。
具体地，绕x轴旋转体的体积公式为：V = ∫[0,2π] π * (f(θ))^2 * dx
通过计算上述积分，我们可以得到绕x轴旋转体的准确体积值。
这个公式在物理学、工程学和数学领域都有广泛的应用，特别是在计算旋转体的体积、质量和惯性矩时。
需要注意的是，在计算过程中我们需要根据具体的曲线方程来确定上下限和积分变量。
正确地使用极坐标绕x轴旋转体体积公式能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。
旋转体积积分公式参数
旋转体积积分公式参数1. 旋转体体积积分公式的推导背景。
- 在人教版教材中，旋转体体积的计算是定积分应用的一个重要部分。
我们常常会遇到一些平面图形绕着坐标轴或者某条直线旋转一周形成的旋转体，为了计算它们的体积，就需要用到特定的积分公式。
2. 绕x轴旋转的体积积分公式。
- 设y = f(x)是区间[a,b]上的连续函数，由曲线y = f(x)，直线x=a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V。
- 公式为V=π∫_a^b[f(x)]^2dx。
这里的参数a和b分别是积分下限和上限，表示x的取值范围；f(x)是描述曲线的函数，[f(x)]^2的出现是因为我们把旋转体看作是由无数个以y = f(x)为半径的薄圆盘（或圆柱）叠加而成，根据圆的面积公式S=π r^2（这里r = f(x)），再通过定积分对这些薄圆盘的体积进行累加就得到了整个旋转体的体积。
3. 绕y轴旋转的体积积分公式（圆盘法）- 若x = g(y)是区间[c,d]上的连续函数，由曲线x = g(y)，直线y=c，y = d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积V。
- 公式为V=π∫_c^d[g(y)]^2dy。
这里c和d是y的取值范围（积分下限和上限），g(y)是关于y的函数，原理和绕x轴旋转类似，也是把旋转体看作是由以x = g(y)为半径的薄圆盘叠加而成。
4. 绕y轴旋转的体积积分公式（圆柱壳法）- 设y = f(x)是区间[a,b]上的连续函数，由曲线y = f(x)，直线x=a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积V。
- 公式为V = 2π∫_a^bx|f(x)|dx。
这里a和b是x的取值范围（积分下限和上限），x表示圆柱壳的半径，f(x)表示圆柱壳的高，2π是因为圆柱壳侧面展开是一个长方形，其长为圆柱壳底面圆的周长2π r（这里r = x），通过定积分对这些圆柱壳的体积进行累加得到旋转体体积。
旋转体体积绕x=a怎么办
旋转体体积绕x=a怎么办
求旋转体体积绕x=a的问题，可以用定积分的方法来解决。
首先，我们要明确的是，旋转体的体积是指沿着某一条曲线，将曲线上的某一区域旋转某一角度，得到的立体图形的体积。
其次，我们要确定旋转体的轴线，也就是x=a，这里的a是一个实数。
接下来，我们要确定旋转体的曲线，也就是沿着哪一条曲线旋转，这里可以是y=f(x)，也可以是x=g(y)，这里的f(x)和g(y)都是实数函数。
最后，我们要确定旋转体的旋转角度，也就是旋转多少度，这里可以是任意的实数角度。
有了以上的信息，我们就可以用定积分的方法来求解旋转体体积绕x=a的问题了。
首先，我们要求出旋转体的体积公式，也就是V=∫f(x)dx，其中f(x)是曲线的函数，dx是曲线的长度。
接下来，我们要求出旋转体的体积，也就是V=∫f(x)dx，其中f(x)是曲线的函数，dx是曲线的长度，a是旋转轴的位置，θ是旋转角度。
最后，我们要求出旋转体的体积，也就是V=∫f(x)dx，其中f(x)是曲线的函数，dx是曲线的长度，a是旋转轴的位置，θ是旋转角度，V是旋转体的体积。
通过以上的步骤，我们就可以求出旋转体体积绕x=a的问题了。
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用范围。
在实际问题中，定积分可以用于求解曲线下的面积、求解容积、质量、中心矩等问题。
接下来，我们将总结定积分的应用公式，包括面积、体积、质量、中心矩等几个重要应用。
1. 曲线下的面积定积分最常见的应用是求解曲线下的面积。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上，曲线y=f(x)与x轴所围成的面积可以通过定积分来计算。
公式为：S = ∫(a到b)f(x)dx其中S表示曲线下的面积，∫表示定积分，f(x)是函数曲线在x轴上的对应值。
2. 旋转体的体积定积分还可以用于计算旋转体的体积。
考虑一个曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积可以通过定积分来计算。
公式为：V = π∫(a到b)f(x)^2dx其中V表示旋转体的体积，π表示圆周率。
3. 弧长定积分可以用于计算曲线的弧长。
设有曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的弧长可以通过定积分来计算。
公式为：L = ∫(a到b)√(1+(f'(x))^2)dx其中L表示曲线的弧长，f'(x)表示f(x)的导数。
4. 质量和质心对于一条位于直角坐标系中的线密度分布曲线，其质量可以通过定积分来计算。
设密度函数为ρ(x)，曲线上的质量可以表示为：m = ∫(a到b)ρ(x)dx其中m表示曲线上的质量，ρ(x)表示密度函数。
同时，还可以通过定积分来计算曲线的质心。
曲线的质心可以通过以下公式来计算：x_c = (1/m)∫(a到b)xρ(x)dxy_c = (1/m)∫(a到b)yρ(x)dx其中x_c和y_c表示曲线的质心的坐标。
以上的公式总结了定积分的一些重要应用，包括面积、体积、弧长、质量和质心等。
在实际问题中，我们可以根据具体的问题情况，选择适当的公式来计算所需的结果。
这些公式可以帮助我们更好地理解和应用定积分的概念，解决实际问题。
定积分求旋转体体积公式
定积分求旋转体体积公式
定积分求旋转体体积公式是V=∫π[4a²-（2a-y）²]dx，定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限，这里应注意定积分与不定积分之间的关系。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
例题
求由x轴与y=lnx，x=e所围图形绕x=e旋转一周所得旋转体的体积。
解：
你可能没搞明白这种计算方法的实质含意。
其运算原理是
这样的：在旋转体上距y轴的距离
为x处取一厚度为dx，旋转半径为(e-x)的薄壁园筒，园筒的高度y=lnx；此薄壁园筒的微体
积dV=2π(e-x)lnxdx；故总体积V：
【在你的计算式中，只有园筒的高度和厚度，没有旋转半径，因此算出来的是你画阴影线的截面的面积，而不是该面积绕轴x=e旋转出来的体积，所以是错的。
】。
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定积分的简单应用
——简单旋转体的体积
【学习目标】:
1.进一步理解微积分基本定理，并能应用其求简单的定积分.
2.会用定积分解决简单旋转体的体积问题.
重点：用定积分解决简单旋转体的体积问题．
难点：用定积分解决简单旋转体的体积问题．
【预习自测】:
阅读课本89页—90页，完成下列问题：
1.你怎么理解由定积分求简单旋转体的体积的？
2.用定积分求简单旋转体体积的步骤？
【合作探究】
一．由定积分求圆锥(圆台)体积 例1.由直线x x y ,=轴和直线3=x 所围成的平面图形 绕x 轴旋转一周得到一个圆锥体，求其体积.
变式训练：求由直线x x x x y 和，21,2===轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
二. 由定积分求球体体积
例2.由曲线x x y 与24-=
轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
变式训练：由曲线x x y 与22-=轴所围成的图轴旋转一周所形成的几何体的体积
三.由定积分球一般旋转体的体积
例3. 由曲线x x x x y ,2,02===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
变式训练：由曲线x x x x
y ,3,21===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
【我的收获】
【巩固练习】
1. 由曲线x x x y 与π20,sin ≤≤=轴所围成的图形的面积为（ ）
B.2
C.π2
2. 由曲线x x x x y ,2,11=-=+=与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积为 .（写出定积分表达式并求出定积分）
3.求由曲线x x x x y ,0,112=-=+-=与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
4. 求由曲线x x y 与216-=轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
5.求由曲线x x x x y ,2,022===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
能力提升：求由曲线22=+=y x x y 与所围成的平面图形的面积？如将此平面图形绕x 旋转一周得到的旋转体的体积为多少？。