测量与误差的基本知识

在直角坐标图上，以频率(ni/n)为纵坐标，以随 机误差 i为横坐标，画出它们的关系曲线，得到频 率直方图，或称统计直方图。如下图所示。
如果改变区间长度 i 的取值，相应的频率值 (ni/n) 也 会发生变化，对同一组测量数据，频率直方图将不相同。 如果 n i /(n )这 个量作为纵坐标，就可以避免这个问题。
当测量次数 n 时，令 d , n i d n ，无限多 个直方图中，顶点的连线就形成一条光滑的连续曲线，这 条曲线称为随机误差正态分布曲线。
此时，n i /(n )
的极限 f( )
f(源自文库 ) lim
n
称为概率密度。即
ni 1 dn n n d
f( ) - 的图形如下图所示。显然，曲线下阴影部分的 面积等于 dn
2 f( ) exp(- 2 ) 2 2
1
式中 是方均根误差，或称标准误差。标准误差 可由下式 求得
lim
n
1 n 2 (x x ) i 0 n i 1 1 n 2 i n i 1
lim
n
计算 时，必需已知真值x0，并且需要进行无限多次等精度重 复测量。这显然是很难做到的。 根据长期的实践经验，人们公认，一组等精度的重复测量值的 算术平均值最接近被测量的真值，而算术平均值很容易根据测 量结果求得，即 _ x1 x 2 x n 1 n x xi n i 1 n 因此，可以利用算术平均值代替真值x0，来计算 i i =xi-x0 此时，剩余误差
3.2.2 随机误差的分析与处理
1 概率、概率密度与正态分布
自然界中，某一事件或现象出现的客观可能性大小， 通常用概率来表示。 客观的必然现象称为必然事件。例如，平面三角形 内角和为 180°，就是一个必然事件。必然事件的概 率为1。 违反客观实际的不可能出现的现象称为不可能事件， 不可能事件的概率为零。
客观上可能出现，也可能不出现，而且不能预测的现象称
为随机事件或随机现象。它具有一定的概率，且概率在 0和1之间。
例如，抛掷硬币，出现正面朝上或反面朝上的现象，即为
一随机事件。当抛掷次数无限加多时，大量的实验证明，
它们的概率接近0.5。
在研究随机事件的统计规律时，概率是一个重要的概念。 它是随机事件统计规律性的表现，是随机事件的固有特性。 同时，也应当注意到概率是个统计概念，只有在大量重复 实验中，对整体而言才有意义。 在相同的条件下，对某个量重复进行多次测量，在排除 系统误差和粗大误差之后，测量结果的随机误差在某个范 围内取值的可能性，就是一个随机事件的统计概率问题。
ˆ
1 (x i - x ) n - 1 i 1
n
_ 2
1 n 2 vi n - 1 i 1
ˆ 并不加以严格区分，统 在一般情况下，我们对 和 称为标准误差。
标准误差在评价正态分布的随机误差时具有特殊的意义。 理论计算表明： I. 介于(- ，+ )之间的随机误差出现的概率为
下面是一组无系统误差和粗大误差的独立的等精度长度测量 结果。用长300mm的钢板尺，测量已知长度为：836mm的导线， 共测量了150次，即n=150。 现将测量结果，对应的误差，各误差出现的次数ni等列于 表1-1中。
表1-1 测量误差分布表 测量区间中心值 区间号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi(mm) 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 误差区间中心值 δi(mm) -5 -4 -3 -2 -1 +0 +1 +2 +3 +4 出现次数 ni 1 3 8 18 28 34 29 17 9 2 频率 ni/n (%) 0.66 2.00 5.33 12.00 18.66 22.66 19.33 11.33 6.00 1.32

-2

f( )d 0.6827
II. 介于(-2 ，+ 2 )之间的随机误差出现的概率为

2
f( )d 0.9545
11
841
+5
1
0.66
为了便于统计，在这里我们将测量结果分成了11个区间，区间长度 x i 1mm 。因 此，测量误差也相应的被分成11个区间，误差区间长度 i 1mm 。 表1—1中还列出根据统计结果计算得到的频率(ni/n)的数值。它表示测量值或随 机误差落在某个区间的相对次数。
n 时，全
。
lim
n i 1
n
i
0
Ⅳ.单峰性 绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出 现的机会多，即前者比后者的概率密度大，在 0 处 随机误差概率密度有最大值。
3
算术平均值和标准偏差
我们可以用解析的方法推导出随机误差正态分布曲线的数 学表达式，即正态概率密度分布函数。
f( )d
n
它表示随机误差值落在图中所示d的微小区间内的概率。
2
随机误差的特点
根据表 1-1-1 。给出的测量结果和图 1—10 随机误差的正态 分布曲线，可以得到随机误差正态分布的特性： I.对称性 随机误差可正可负，但绝对值相等的正、负误差 出现的机会相等。也就是说 f( ) - 线对称于纵轴。 II. 有界性 在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超 过一定的范围，即绝对值很大的随机误差几乎不出现。 III.抵偿性 在相同条件下，当测量次数 体随机误差的代数和等于零，即
vi ，剩余误差的特点是，不论n为何值，总有 v (x - x ) x - x
n n _ n n _ i 1 i i 1 i i 1 i i 1
n x- n x 0
_
_
由此，我们可以看到，采用由n个测量值计算出的算 术平均值和这 n 个测量值，计算出 (n-1) 个剩余误差后， 余下的第n个剩余误差就不再是独立的了。也就是说， 虽然我们可以求得n个剩余误差，但实际上它们之中只 有 (n-1) 个是独立的：考虑到这一点，测量次数 n 为有 限值时，标准误差的估计值可由下式计算