中考数学解题方法及提分突破训练：反证法专题(含解析)

解题方法及提分突破训练：反证法专题

对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。

一

真题链接

1.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于点P ，且AB 、CD 不是直径.求证：弦AB 、CD 不被P 平分

.

2.平面内有四个点，没有三点共线，

证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形

3. 平面内有四个点，没有三点共线

证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形

二 名词释义

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例如： 已知：a 是整数，2能整除2

a 。试证：2能整除a

① 探究：问题实际上是在讨论a 是奇数，还是偶数。已知中：说明2

a 是偶数，则

()

22a m m N =∈，此时)a m N =∈

② 反思：条件已用完，结论还不能明确得证，可能结论自身有问题。

③ 若结论有问题，则“2不能整除a ”应该成立，此时会发生怎样的情况，进行推理

引出反证法。

总结：在上题由“2不能整除a ”这个假设下，推理出了矛盾，肯定了原题的结论，从而

说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法，再通过问题2继续认识。

三 典型例题

反证法的证题步骤：

① 假设。假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化 ② 归结矛盾。矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。 ③ 否定假设，肯定结论。

例1.

设

,0,

q

p p =

≠且

,p q q =。 所以，2

2

2p q =。---------①

故2

q 是偶数，q 也必然为偶数。

不妨设2q k =，代入①式，则有22

24p k =，

即

22

2

p k

=，

所以，

p也为偶数。

p和q都是偶数，它们有公约数2，这与,p q互素相矛盾。

例2.在同一平面内，两条直线

,a b都和直线c垂直。求证：a与b平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。

不妨设直线

,a b的交点为M,,a b与c的交点分别为,P Q,

如图所示，则

0 PMQ ∠>.

这样，

MPQ

∆的内角和PMQ MPQ PQM

=∠+∠+∠

000

9090180

PMQ

=∠++>

这与定理“三角形的内角和等于0

180”相矛盾。说明假设不成立。

所以，直线a与b不相交，即a与b平行。

例3．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN ＝（AD＋BC）。求证：AD∥

BC

证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

在△ABD中

∵BM＝MA，BP＝PD

∴

MP AD，同理可证

PN BC

从而MP＋PN ＝（AD＋BC）①

这时，BD的中点不在MN上

若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾，

于是M、P、N三点不共线。

从而MP＋PN＞MN②

由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）

相矛盾，

故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。

解析：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。

要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。

四巩固强化

1. 设a，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式①a＋b＜c＋d，②，

③中至少有一个不正确。

2. 已知求证：。

3. 若，求证：。

4. 设a，b，c均为小于1的正数，求证：，不能同时大于。

5. 若，，，求证：，不能同时大于1。

6求证：三角形中至少有一个角不大于60°。

7求证：一直线的垂线与斜线必相交。

8．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与BE不能被点H 互相平分。