利用空间向量求空间角解析方法

1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.

(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A -PB -C 的余

弦值．

解：(1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，

得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .

因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .

又AP ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面PAD .

又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .

(2)在平面PAD 内作PF ⊥AD ，垂足为F .

由(1)可知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PF ，可得PF ⊥平面ABCD .

以F 为坐标原点，FA ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长

度，建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz .

由(1)及已知可得A ⎝⎛⎭⎫2

2，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，2

2，B ⎝⎛⎭⎫2

2，1，0，

C ⎝⎛⎭⎫－2

2，1，0.

所以PC ―→＝⎝⎛⎭⎫－2

2，1，－2

2，CB ―→＝(2，0,0)，

PA ―→＝⎝⎛⎭⎫22，0，－2

2，AB ―→＝(0,1,0)．

设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的法向量，

则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC ―

→＝0，n ·CB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

－22x 1＋y 1－22z 1＝0，

2x 1＝0.

所以可取n ＝(0，－1，－2)．

设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAB 的法向量，

则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·PA ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

22x 2－2

2z 2＝0，

y 2＝0.

所以可取m ＝(1,0,1)．

则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－23×2＝－3

3.

由图知二面角A -PB -C 为钝角，

所以二面角A -PB -C 的余弦值为－33

. 2．(2019·合肥一检)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD

是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，M 为棱

AE 的中点．

(1)求证：平面BDM ∥平面EFC ；

(2)若DE ＝2AB ，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值．

解：(1)证明：连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，

则N 为AC 的中点，

又M 为AE 的中点，∴MN ∥EC .

∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ，

∴MN ∥平面EFC .

∵BF ，DE 都与平面ABCD 垂直，∴BF ∥DE .

∵BF ＝DE ，

∴四边形BDEF 为平行四边形，∴BD ∥EF .

∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，

∴BD ∥平面EFC .

又MN ∩BD ＝N ，∴平面BDM ∥平面EFC .

(2)∵DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，∴DA ，DC ，

DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D -xyz .

设AB ＝2，则DE ＝4，从而D (0,0,0)，B (2,2,0)，M (1,0,2)，

A (2,0,0)，E (0,0,4)，

∴DB ―→＝(2,2,0)，DM ―→＝(1,0,2)，

设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DB ―→＝0，n ·DM ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0. 令x ＝2，则y ＝－2，z ＝－1，

从而n ＝(2，－2，－1)为平面BDM 的一个法向量．

∵AE ―→＝(－2,0,4)，设直线AE 与平面BDM 所成的角为θ，

则sin θ＝|cos n ，AE ―→|＝|n ·AE ―→||n |·|AE ―→|

＝4515，

∴直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为4515

.

3．如图，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，△ABC 是等边三角形，AC ＝2AE ，M 是AB 的中点．

(1)求证：CM ⊥EM;

(2)若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2，求二面角

B -CD -E 的余弦值．

解：(1)证明：因为△ABC 是等边三角形，M 是AB 的中点，

所以CM ⊥AM .

因为EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以CM ⊥EA .

因为AM ∩EA ＝A ，所以CM ⊥平面EAM .

因为EM ⊂平面EAM ，所以CM ⊥EM .

(2)以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为

y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系

M -xyz ，如图所示．

因为DB ⊥平面ABC ，所以∠DMB 为直线DM 与平面ABC 所

成的角，

所以tan ∠DMB ＝BD MB

＝2，即BD ＝2MB ，所以BD ＝AC . 不妨设AC ＝2，又AC ＝2AE ，则CM ＝3，AE ＝1.

故B (0,1,0)，C (3，0,0)，D (0,1,2)，E (0，－1,1)．

所以BC ―→＝(3，－1,0)，BD ―→＝(0,0,2)，CE ―→＝(－3，－1,1)，CD ―→＝(－3，1,2)． 设平面BCD 与平面CDE 的一个法向量分别为m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

m ·BC ―→＝0，m ·BD ―→＝0，得⎩⎨⎧ 3x 1－y 1＝0，2z 1＝0，令x 1＝1，得y 1＝3， 所以m ＝(1，3，0)．

由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CE ―→＝0，n ·CD ―→＝0，得⎩⎨⎧

－3x 2－y 2＋z 2＝0，－3x 2＋y 2＋2z 2＝0. 令x 2＝1，得y 2＝－

33，z 2＝233. 所以n ＝⎝⎛⎭

⎫1，－33，233. 所以cos 〈m ，n 〉＝

m ·n |m ||n |

＝0.