坐标系与参数方程(知识总结)

坐标系与参数方程（知识总结）

坐标系与参数方程

【要点知识】

一、坐标系

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系xOy中的任意一点，在变换嘿宀汽芒的作用下，点P(x, y)对应到l y j y(P>0) 点P(x,y)，我们把淋为平面直角坐标系xOy中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系

(1)极坐标系的概念

如图所示，在平面内取一个定点。，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正

方向(通常取逆时针方向)，这样我们就建立了一个极坐标系

(2)极坐标

设点M是平面内一点，极点。与点M的距离叫做点M的极径，记为，；以极轴Ox为始边，射线OM 为终边的■ xOM叫做点M的极角，记为「我们把有序数对(；)叫做点M的极坐标，记为M(T).

(3)极径、极角的取值范围

一般地，极径，-0，极角：R.

3.极坐标与直角坐标之间的互化

如图所示，设点M是平面内任意一点，记点M 的直角坐标为(x,y)，极坐标为(；,".我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：

(i)直角坐标化极坐标:x=，cos：，y=，sin：；

(ii)极坐标化直角坐标：，'2 = x2 y2, tanr」

x (X").

【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角

坐标互化的重要关系式.解题时，大家要根据题意灵活选用•

4.几个简单曲线的极坐标方程

（1）圆的极坐标方程：圆心在C（a,O）（ a

0），半径为a的圆的极坐标方程为「二2a cos’ ；

（2）直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是-的直线l的极坐标方程为 --和

4 4

5.柱坐标系与球坐标系

（1）柱坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设点P 是空间中任意一点，它在Oxy平面上的射影为点Q，用（〉）（；-0，0"：八：2：：）表示点Q在Oxy平面上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（P,e,z）

（z€R）表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组（T,z）叫做点P的

柱坐标，记作P（；,Hz），其中，-0，0亠2：，z R.

【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式：

(2)球坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设点P 是空间中任意一点，连结OP，记|OP=r，OP与Oz轴正向所夹的角为、，设点P在Oxy平面上的射影为点Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的正角为

0，这样点P的位置就可以用有序数组亿仆)表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系

(或空间极坐标系)；相应地，把有序数组(r, ,r)叫做点P的球坐标，记作P(r, ,r)，其中r_o，0 宀：：,° 62.

【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式:

x = r cos J cos

y = r COSTS in :

z = rsin 0

二、参数方程

1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f⑴ ly = g(t) ①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x,y)都在这条曲线上，那么我们就把方程

组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x，y 的变数t叫做参变数，简称参数.

2.参数方程与普通方程之间的互化

曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式• 一般地，可以通过消去参数，由参

数方程得到普通方程；反之，如果已知变数x，y

中的一个与参数t的关系，例如x = f(t)，则我们可

以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参

数的关系y=g(t)，由此得到的方程组x=f⑴就是该l y = g(t)

曲线的参数方程•

【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x , y的取值范围保持一致.

3.几个简单曲线的参数方程

（1）圆的参数方程：圆心在原点O ,半径为r的圆的参数方程为f X = rC^

, y = r sin 日

（r为参数）；

（2）椭圆的参数方程：中心在原点O ,焦点在x轴上的椭圆的参数方程为X = acos（「为参

数）；

_y = bsi n 甲

（3）双曲线的参数方程：中心在原点。，焦点在x轴上的双曲线的参数方程为x = asec（,为参

=bta n 甲数），这里，sec®是®的正割函数，并且sec—爲；

（4）抛物线的参数方程：以原点O为顶点，以x轴为对称轴，开口向右的抛物线y2=2px（p 0）

、x年

（不包括原点）的参数方程为七玄寸气口为参数）；

y

i ta n°

（5）直线的参数方程：过点Mo”。』。），倾斜角为（“ 2）的直线l的参数方程为厂沟：

咒（t

2 / = y。+tsin^ 为参数）；

(6)渐开线的参数方程：xMo—g) (「为

y = r(sin ® ® cos®)

参数)；

(7)摆线的参数方程：严

r(：sin：) Z为参

[y = r(1-cos护) 数).