运筹学数学建模7-9
第二章——运筹学建模方法
1第二章、运筹学建模方法综述2定义问题和收集数据 数学建模模型求解 检验模型 准备应用模型 实施3运筹学研究小组首先要做的是研究相关系统，并使被研究的问题得到明确的说明。
包括确定合适的目标、实际的限制条件、研究领域和组织的其他领域间的相互关系、可选择的行动路线、制定决策的时间限制等。
2.1定义问题和收集数据4针对美国企业的大量调查发现，管理层趋向于采取满意利润目标和其他目标相结合的方式代替长期收益最大化。
典型地，其他目标包括维持稳定收益、增加市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高员工士气、维持企业的家族控制以及提高企业声望。
另外，存在包含与盈利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。
2.1定义问题和收集数据5商业企业一般涉及以下五个方面所用者（股东等），追求盈利员工，期望合理工资水平上的稳定雇佣 客户，期望以合理的价格获得可靠的产品 供应商，期望声誉以及产品的合理出售价格政府以及国家，期望公正的税收和考虑国家利益6例：在为旧金山警察局所开展的运筹学研究中，建立了一个优化调度和配置巡警的计算机系统。
这个新系统每年为警察局节约1100万美元，同时增加了300万美元的交通管理收入，并且将反映时间减少了20%。
在评估该项研究的合适目标时，确定了三个基本目标：(1). 维持高水平的居民安全(2). 维持高水平的警员士气(3). 最小化运作成本7收集数据通常，研究小组会花费大量的时间收集问题的数据。
大部分数据既用于获得对问题的充分理解，又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。
82.2 数学建模商业问题的数学模型，是描述问题实质的方程和相关数学表达式的系统。
n 个相关的可量化的决策，称为决策变量(decision variables)(x 1, x 2, …x n )绩效（如收益）的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数（例如，P =3x 1+2x 2+…+5x n ），这个函数称为目标函数(objective function)9 任何对决策变量值的约束也能够被数学表示，通常是通过等式或不等式（例如：x 1+3x 1x 2+2x 2≤10），这些用于限制的数学表达式称为约束(constraints)。
开设《运筹学与数学建模》交叉课程教学探讨
个分支 。一方 面 ， 由于课时量不足 ， 教师选取教学 内容 时容易 出现 随意性 和盲 目性 ； 另一 方面 ， 教学 中为强化 运筹学 的应 用 ， 消弱理论教学 ， 而导致学生对 知识的 从
理解不透彻 ， 在实 际应用 中心有余而力不足。
于一篇 阅读短文 ， 书中的内容很多 ， 一本好 书对孩子们 来 说犹如一场文化 盛宴 ， 孩子们会从不 同方面去欣赏 、 去理解 ， 每个人 的感触都 是不 同的 ， 这就 给了他们 巨大 的 自由空间 ， 让他们 自由发挥 自己的思想 。因为言之有 物 ， 生们很 放松 ， 分享 书 中精彩 情节 时 ， 生可 以 学 在 学 朗读 ， 带领大家一起来 分享读的乐趣 ， 可 以用 自己的 也 语言复述 。形式多种 多样 ， 阅读课其乐融 融 ， 学生们也 很享受这种 阅读的乐趣 。
一
问题 ；２建立 数学模 型 ；３模 型求解 ；４解 的检验 ； （） （） （） （ ） 的控制 ；６ 解 的实施 。大部分 教学 只涉及 步骤 ５解 （） （ ） 即建 立简单 数学模 型 ， 细介绍 运筹 学 的算 法 理 ３， 详 论， 与利用运筹学解决 实际 问题 的相差甚 远 。因此 ， 学
在 问题等方 面进行分析 。
．
关键词 ： 筹学； 运 数学建模 ； 学； 教 案例
中 图分 类 号 ： ４ ． Ｇ６ ２ ３ 文 献 标 志 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ４ ９ ２ （０ ２ ０ — １ ６ ０ １ ７ — ３４ ２ １ ）８ ０ ０ － ３
运筹 学应用 分析 、 试验 、 量化 的方法 ， 对经 济管理
２ 筹学解决 实际问题 的步骤是 ：１ 提 出和形成 ． 运 （）
系统 中人 、 、 财 物等 资源进行 统筹安 排 ， 为决策 者提供 有依据的最优方 案 ， 以实现最有效 的管理 。 该课程 主要 培养学生在掌握数学优 化理论 的基础 上 ，具备建立数 学模型和优化计算 的能力 。本文提 出一种新 的教学改 革思路 ，将运筹学 和数 学建模两 门课 程合并为一 门课 程， 即开设大 容量交 叉课程 《 运筹 学与 数学建模 》 来取 代《 筹学》 数学 建模 》 门课 程 ， 用案例 教学 和 运 和《 两 采 传统教学相结合 的教学方法 ，数学建模 和优化算法 理 论并重 的教学模式 。这样既可 以避 免出现极端教学 和 随意选取教学 内容 的现象 ，又可 以将 新颖 的教学方 法 与传 统方法 相结合 ， 照分析 问题 、 学建模 、 按 数 优化算 法理论分析及 其方 案制定 、实施 等解 决实 际问题 步骤 展开教学 。 面就该课程开设 的必要性 、 下 意义 、 可行性 、 注意事项及其存在 问题等方面进行分 析。 开设《 运筹学与数学建模》 课程的必要性 １ 一般 院校 的运筹学课程 的教学课 时大约为６ 或 ． ４ ５（ ６ 包含试验 教 学 ）所 以教学 中不能囊 括运筹 学 的各 ，
数学建模与运筹学
数学建模与运筹学数学建模与运筹学是运用数学的方法和技巧解决实际问题的一门学科。
它在现实生活中有着广泛的应用，不仅在工程领域中扮演着重要的角色，也在各个领域中发挥着巨大的作用。
通过对问题进行数学建模和优化，我们能够得到有效的结果和决策，帮助人们更好地应对挑战和实现目标。
1. 数学建模数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程。
它是一种抽象思维和数学思维相结合的过程，能够将复杂的问题简化，提取出重要的因素和变量。
数学建模的核心是构建数学模型，根据模型的特点和要求进行问题的描述和求解。
数学建模广泛应用于科学研究、工程设计、经济管理等领域，为决策提供了科学的依据。
2. 运筹学运筹学是解决优化问题的一门学科，它通过数学建模和分析，寻求最优解。
运筹学包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等方法，能够解决多种实际问题。
例如，在物流管理中，通过优化路径和资源分配，可以降低成本和提高效率；在生产计划中，通过优化生产调度和资源利用，可以提高产能和降低库存成本。
运筹学的应用可以帮助组织和企业做出更好的决策，实现资源的合理利用和效益的最大化。
3. 数学建模与运筹学的应用数学建模与运筹学广泛应用于各个领域，以下以几个典型的应用为例进行介绍。
（1）交通运输规划：通过数学建模和运筹学方法，可以优化城市道路网、航空航线和火车运行图，提高交通运输的效率和安全性。
（2）物流配送优化：数学建模和运筹学方法可以确定最优的配送路径和运输方式，降低成本、减少时间和资源的浪费。
（3）资源分配与计划：在能源领域，通过数学建模和运筹学方法，可以进行电网调度、电力优化和能源供应的规划，实现可持续发展和低碳经济。
（4）金融风险管理：数学建模和运筹学方法可以用于评估和管理金融市场的风险，帮助投资者和机构做出科学的决策。
4. 数学建模与运筹学在实践中的挑战数学建模与运筹学在实践中也面临一些挑战。
首先，实际问题往往具有复杂性和不确定性，需要进行合理的简化和假设。
数学建模经典问题——旅行商问题
度最短的两条边之和； C*(T)：最优回路长度；
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于是，dmin(i, 1)代表与第i个结点关联的所有边 中最长边的长度，dmin_j(i, 1) 代表与第i个结点关联 的所有边中次长边的另一个结点编号(其中一个结点 编号为i)，第i结点的dmin(i, k)和dmin_j(i, k)可由距 离矩阵w轻易求得。
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当然，用该方法有时会找不到TSP的最优解， 因为很可能在进行了几轮迭代后，却找不到新的不 等式。Padborg与Hong曾计算了74个TSP，其中54 个得到了最优解，其余的虽未得到最优解，却得到 了很好的下界，如果与近似方法配合，可以估计近 似解的精确程度。如，他们解过一个有313个城市的 TSP，获得一个下界41236.46，而用近似方法能得 到一条长为41349的路线，于是可估计出所得近似解 与最优解的误差不超过0.26%。
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早在1954年，Dantzig等人就曾提出过一种方 法（非多项式算法），并且求出了一个42城市的 TSP最优解。到了1960年代，不少人用分支定界法 解决了许多有几十个城市的TSP。还有人提出了一 些近似方法，也解决了许多有几十个城市甚至上百 个城市的TSP（有时找到的仅是近似解）。更值得 注意的是，从1970年代中期开始，Grotschel与 Padberg等人深入研究了TS多面体的最大面 （facet），并从所得结果出发获得了一种解TSP的 新算法，可以解决一些有100多个城市的TSP，且都 在不长的时间内找到了最优解。
一、数学模型 1. 标准TSP 旅行商问题（简称TSP），也称货郎担问题或 旅行推销员问题，是运筹学中一个著名的问题，其 一般提法为：有一个旅行商从城市1出发，需要到城 市2、3、…、n去推销货物，最后返回城市1，若任 意两个城市间的距离已知，则该旅行商应如何选择 其最佳行走路线
数学建模 运筹学模型(一)
运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2.进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1.营养配餐问题的数学模型或更简洁地表为其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2.合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有或更简单地写为3.运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ， 而∑∑===m i n j ji b a11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为4.目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1： 检验和销售费每月不超过4600元；p 2： 每月售出产品I 不少于50件；p 3： 两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设4600305021≤+x x 检验销售费用802≥x 120221≤+x x 设d 1表检验销售费偏差，则希望+1d 达最小，有,11+d p 相应的目标约束为+--++1121305d d x x = 4600； 2d 表产品I 售量偏差，则希望-2d 达最小，有,22-d p 相应的目标约束 以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望--43,d d 达最小，考虑到费用比例为80：20=4：1，有)4(433--+d d p .相应的目标约束应为12023321=-+++-d d x x 和+--++44213d d x x =150，以d 5表甲车间加班偏差，则有,54+d p 相应目标约束为 20553=-++-+d d d ，以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望-6d 达最小，有相应约束为80662=-++-d d x .最后优先级p 6可利用+++43d d 表示，考虑到权系数，有),4(436+++d d p 其目标约束由于利用超生产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为5.最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树．意味着该图是连通的无圈的简单图.在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6.最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.狄克斯屈（）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切0≥ij w w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下： P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一.若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.售出量两车间总工时开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ， v j ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号.以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号.这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号.这意味着已求得了v s 到v t 的最短路.狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，}{\s v V S =为临时标号点集，再令0)(=i v P ，S v t ∈；2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， v j ）的终点S v j∈，计算并令 3°从一切S v j ∈中选取并令选取相应的弧（v i ， v r ）.再令4°若∅=S ，则停止，)(j v P 即v s 到v j 的最短路长，特别)(t v P 即v s 到v t 的最短路长，而已选出的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令i rv v ⇒，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为4°若r = t 则结束，)(r v P 即为所求最短路长；否则令i r v v ⇒，返2°.。
数学建模--运输问题
运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo 编程求解出最终结果。
关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。
考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。
关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。
首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。
即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。
但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。
关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。
这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。
因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。
得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。
关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
《运筹学》题库完整
运筹学习题库数学建模题（5）1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。
解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =70x 1+120x 2s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0300103200643604921212121x x x x x x x x ， 2建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。
解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z = 4x 1+3x 2 s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+,50040005.253000222112121x x x x x x x 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。
每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。
解：建立线性规划数学模型：设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =10x 1+6x 2+4x 3s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++03006226005410100321321321321x x x x x x x x x x x x ，， 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。
每种物品的重量合重要性系数如表所示。
设登山队员可携带的最大重量为25kg,试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。
解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I⎩⎨⎧==≤++++++++++++=7,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。
数学建模 选课策略
选课策略
课号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
课名
微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
1 3 / 4
最优解与1=1，2=0的结果相同——课程最少.
Min Z xi
i 1
9
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课.
x1 x2 x3 x4 x5 2
x3 x5 x6 x8 x9 3
x 4 x 6 x 7 x9 2
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
2 x5 x1 x 2 0 x6 x7 0
模型求解（LINDO） 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21.
x8 x 5 0
2 x9 x1 x2 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
学分最多
Min Z xi
i 1
9
Max W 5 x1 4 x2 4 x3 3x4 4 x5 3x6 2 x7 2 x8 3x9
两目标(多目标)规划
Min {Z , W }
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。 • 以课程最少为目标, 最优解如上，6门 不管学分多少. 课程，总学分21 . • 以学分最多为目标, 不管课程多少. 最优解显然是选修 所有9门课程 .
数学建模_运筹学模型(四)
产品生产规划某医院为病人配制营养餐要使用到两种食品A 和B ，每种食品A 含蛋白质50g ，钙400mg ， 热量1000单位，价值14元；食品B 含蛋白质60g ，钙200mg ，热量800单位，价值8元.若病人每天需从食物中获取蛋白质，钙及热量分别为55g ，800mg 和3000单位，问如何选购食品才能在满足营养要求条件下使花费最小？试组建线性规划模型并求解后回答：（1）问题的最优方案及最优值分别是甚麽？最优方案是否有选择余地？ （2）各种营养要求的满足情况怎样？若限制蛋白质摄入量不超过100单位，会出现甚麽问题？解：本题属于简单的线性规划模型的建立与求解问题，并要求作出一点模型分析工作.按要求，先来建立模型，根据题设，设购买两种食品分别为21,x x （kg ），则有总花费数额函数21814x x z +=，自然我们希望求出这样的21,x x 取值，使得函数z 取最小值.可以写为min 21814x x z +=. 又根据营养最低要求，应有蛋白质需求条件： ,55605021≥+x x 钙的需求条件： 40080020021≥+x x ， 热量的需求条件： ,3000800100021≥+x x 非负性条件： .0≥j x将上述条件合在一起，即可获得本问题的线性规划模型如下：m i n 21814x x z+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧..t s ,0,30008001000,800200400,556050212121≥≥+≥+≥+j x x x x x x x利用图解法易于得到其最优解为),310,31(*=X 即食品A 购买31（kg ），B 购买310（kg ），最低花费=*z 394元.由此可回答所提问题：（1）最优解与最优目标值如上所述，最优方案无选择余地，因为最优解点是在后两个约束条件直线的交点上，而不是在可行域的某条边界线段上.（2）钙和热量需求得到满足（最低量），蛋白质需求超最低标准3485个单位.以上结论是将最优解代入各个约束条件得到的.若限制蛋白质摄入量不超过100单位，则第一个约束条件应修改为,55605010021≥+≥x x在原来的求解图上加上条件,100605021≤+x x 则可见可行域不存在，故无解.2.某工厂生产两种产品A 、B 分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表（1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内；（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；（4）尽量减少加班时间. 解： （1）建立模型设：①每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； ②周末加班时间内生产哪种产品不限； ③生产A 产品用x 班，生产B 产品用y 班，周加班时生产A 产品用x 1小时，生产B 产品用y 1小时.则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+=++≤+≤+=+且为整数0,,,101:2148:987084581011111111y x y x y x x x y y x x y y y x（2）求解现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：8≤x ，5≥y ； 将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：1179720128y x y -+= 现在就是在满足5≤y ，1011≤+y x 条件下，使上式两端的取值尽量接近.显然5=y ，01=x ，101=y因此 5=x制定方案为，生产A ，B 两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B .运输规划问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。
数学建模之运筹学
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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数学模型的分类
1、按模型的应用领域分类： 生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型 数学社会学模型 2、按是否考虑随机因素分类： 确定性模型 随机性模型 3、按是否考虑模型的变化分类： 静态模型 动态模型
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
形成一个 比较清晰 的‘问题’
模型假设
针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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模型建立
用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具
模型求解
各种数学方法、软件和计算机技术
模型分析
如结果的误差分析、统计分析、模型对数据 的稳定性分析
16.6 3.55
18 3.54
21 3.31
24 2.89
27 2.22
30 1.29
33.3 0
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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上面的表中，我们给出了外侧刹车痕迹的有关值，而且，经过测量还 发现，该车并没有偏离它所行驶的转弯路线，也就是说，它的车头一直指 向切线方向。可以假设，该车的重心是沿一个半径为r的圆做圆周运动。 假设磨擦力作用在该车速度的法线方向上，并设汽车的速度v是一个常 数。显然，磨擦力提供了向心力，设磨擦系数为μ, 则
第一讲 数学建模简介及数学规划模型
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汽车的最终位置
刹车痕迹
现在，让我们帮警察计算一下司机所报速度的真实性。 连接刹 车痕迹的初始点和终点，用x表示沿连线汽车横向所走出的距离， 用y表示竖直的距离，如下图
运筹学在数学建模中的应用
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?
Yes
(约束条件不变)
三种形式的LP问题全都是等价的，即一种形式 的LP可以简单的变换为另一种形式的LP，且它
们有相同的解 .
2015年7月15日星期三7时 58分35秒
对于非标准形式的线性规划，可通过下列办法化成标 准形式 ①若求 max f
x ,可化为求 min( f ( x))
②若约束条件中含有不等式 Ax b 或 Ax b 则可引 进新变量 xn 1（称为松弛变量），化为等式约束： 或 Ax xn1 b Ax xn1 b ③总假定 b 0 ，否则在等式两边乘以-1即可
可行区域：所有的可行点组成的集合称为(LP) 问题的可行区域. 记为D
D { x Ax b, x 0}
2015年7月15日星期三7时 58分35秒
线性规划模型的解的几种情况
线性规划问题
有可行解(Feasible)
无
可 行 解 （Infeasible）
有 最 优 解 （ Optimal ）
结果解释
最优解下“资源”增加 1单位时“效益”的增 量
VARIABLE
X1
X2
20.000000
30.000000
0.000000
0.000000 DUAL PRICES 48.000000 2.000000 0.000000 2
ROW SLACK OR SURPLUS 2) 3) 4) 0.000000 0.000000 40.000000
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
编号
运费表{zij / wij}
ui
-2 / 20 2 / 11 3 0 / 6 3
I 5 9 10 7 / 2 10
-1 / 18 3 / 7 4 1 4
vj 5 1 0 3
分配表{xij}
5
5
3 3 4 x24 10 3+ 12 15
3 3 12 12
中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在转移。此时，一要耐心， 二要正确选择出变量 踏石法迭代中需注意的问题： 1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未 选够数或未选对
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2 3 12 12
销地
运量
1
产地
13
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2
5
19
10
3 12 15
3 12 12
m n 7 有6个基变量
34
f (x) wij xij 205
i1 j1
幻灯片 6
2、最低费用法 采用最小费用优先分配的原则，看一步
3、求入变量 xij 的最大值及新基变量的解 从 xij 出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“ ”和“+”，表示“ ” 和“+” xij ，从而迭代后仍满足分配的平衡 标有“ ”的变量中最小者就是出变量 xij* ，对应 xij*的值就是所求入变量 xij 的最大值 标有“ ”的变量减去 xij*，标有“+”的变量加上 xij*
运筹学线性规划数学模型
s.t.
a21x1 a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amn xn (, )bm
x1, x2 ,, xn 0
n : 变量个数; m : 约束行数; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; bi : 右端项; aij : 技术系数
单位产 品消耗
产品名称
甲
乙
可供利用的原料
原料
数量（吨/日）
原料名称
A
1
2
6
B
2
1
8
产品售价 （千元/吨）
3
2
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
提出三个问题大家考虑：
1.问题的未知数是什么？ 2.以什么准则进行决策？ 3.约束条件是什么？
求解线性规划问题的任务是：在满 足约束条件的所有(x1，x2，…，xn)（可 行解）中求出使目标函数达到最大(小)z 值的决策变量值(x1*，x2*，…，xn*)（最 优解）。
1.和式
n
max（或min）Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j
j 1
(或
，)bi
表彰在数学规划有突出贡献的人1939年前苏联数学家康托洛维奇出版生产组织和计划中的数学方法一书1975年康托洛维奇和库普曼斯因最有资源配置理论的贡献荣获诺贝尔经济学奖线性规划是研究线性不等式组的理论或者说是研究高维空间中凸多面体的理论是线性代数的应用和发展
第一章 线性规划问题及单纯形法
数学建模个人工作计划
一、工作目标作为一名数学建模爱好者，我计划在未来的时间里，通过系统学习和实践，提高自己在数学建模方面的技能和理论水平。
具体目标如下：1. 熟练掌握数学建模的基本理论和方法；2. 提升数学建模的实战能力，能够在实际项目中独立完成建模任务；3. 拓展知识面，了解不同领域的数学建模应用，为跨学科研究打下基础；4. 积极参加数学建模竞赛，争取在比赛中取得优异成绩。
二、工作计划1. 理论学习阶段（1-3个月）（1）系统学习数学建模的基础知识，包括线性代数、概率论与数理统计、运筹学、优化理论等；（2）深入学习数学建模的经典方法，如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图论等；（3）了解不同领域的数学建模应用，如经济、管理、工程、生物、环境等。
2. 实践操作阶段（4-6个月）（1）选择具有代表性的数学建模案例，进行独立建模；（2）在建模过程中，不断优化模型，提高模型精度；（3）总结建模过程中的经验教训，积累实战经验。
3. 竞赛准备阶段（7-9个月）（1）积极参加数学建模竞赛，锻炼自己的团队协作能力和应急处理能力；（2）在比赛中，充分发挥自己的优势，争取取得优异成绩；（3）分析比赛中的不足，为今后的建模工作提供借鉴。
4. 持续提升阶段（10-12个月）（1）参加各类数学建模培训和讲座，拓宽视野，提升自己的建模能力；（2）关注数学建模领域的最新动态，了解前沿技术；（3）撰写数学建模相关的论文，发表研究成果。
三、工作总结1. 定期对自己的工作计划进行总结，分析自己在建模过程中的优点和不足；2. 根据总结结果，调整自己的工作计划，确保工作目标的实现；3. 在完成每项任务后，进行自我评估，总结经验教训，为今后的工作提供借鉴。
通过以上工作计划，我相信在未来的时间里，自己能够在数学建模方面取得显著的进步，为我国数学建模事业贡献自己的力量。
运筹学数学建模7-9
a21 x1 a22 x2 L a2n xn (, )b2 , L
am1 x1
am2 x2
L
amn xn
(, )bm ,
xi 0, x j 0, i i1 ,L , ik , j j1,L , jl .
线性规划模型标准型:
线性规划模型标准型矩阵表示：
maxz= c1 x1 +c2x2 +…+cnxn
X [x1, x2,L , xn ]T ,
xi 0, i 1,L , n.
b [b1, b2 ,L , bm ]T , b 0,
1.线性规划的一般形化为标准型的一般步骤 (1) Min f = cX 转化为max z = cX
(2) ai1 x1 ai 2 x2 L ain xn bi 加松弛变量yi ai1 x1 ai2 x2 L ain xn yi bi
模型分析与假设对目标函数的贡献与x取值成正比对约束条件的贡献与x取值成正比对目标函数的贡献与x取值无关对约束条件的贡献与x取值无关每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工出a的数量和时间是与各自产量无关的常每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工出a的数量和是与时间相互产量无关的常数加工a的牛奶桶数是实数线性规划模型其临床表现为持续性进行性的多个智能功能域障碍的临床综合征包括记忆语言视空间能力应用辨认执行功能及计算力等认知功能的损害
(1) x3 = x4 x5 , x4 , x5 0 (2) x1 +x2 +x3 +x6 =7 (3) x1 x2 +x3 x7 =2
合理下料问题
设按第i种下料方式的
有长度为8米的某型号圆钢， 现需要长度为2.5米的毛坯
圆钢xi根，i=1,2,3,4
数学建模 运筹学模型(一)汇总
运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1. 进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2. 进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型. 具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单. 运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单. 你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求. 目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型. 另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型. 这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型. 还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到. 另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1. 营养配餐问题的数学模型m i Z n =C 1x 1+C 2x + C n x n⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ≥b 1, ⎪⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n ≥b 2, ⎪ s ⋅t⋅⎨⎪a x +a x + +a x ≥b , m 22mn n m ⎪m 11⎪⎩x j ≥0(j =1, 2, , n或更简洁地表为m i Z n =∑C x jj =1n j⎧n ⎪∑a ij x j ≥b i ⎪j =1s ⋅t ⋅⎨⎪x ≥0(i =1, 2, , m j ⎪j =1, 2, , n ⎩其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2. 合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品. 单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位. 问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有m a Z x =C 1x 1+C 2x 2+ +C n x n⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ≤b 1, ⎪⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n ≤b l , ⎪ s ⋅t⋅⎨⎪a x +a x + +a x ≤b , m 22mn n m ⎪m 11⎪⎩x j ≥0(j =1, 2, , n或更简单地写为m a z x =∑Cj =1n j x j⎧n ⎪∑a ij x j ≤b i ⎪j =1 s ⋅t ⋅⎨i =1, 2, , m ⎛⎫⎪x ≥0 j =1, 2, , n ⎪⎪⎪j ⎝⎭⎩3. 运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量. 假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ，而写成为∑a i =1m i =∑b j =1n j 表示产销平衡. 那么产销平衡运输问题的一般模型可以min Z =∑∑c ij x iji =1j =1m n⎧n ⎪∑x ij =a i ⎪j =1⎪⎪m s ⋅t ⋅⎨∑x ij =b j ⎪i =1⎪⎛i =1, 2, , m ⎫⎪x ij ≥0 j =1, 2, , n ⎪⎪⎪⎝⎭⎩4. 目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理. 已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1：检验和销售费每月不超过4600元；p 2：每月售出产品I 不少于50件；p 3：两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设50x 1+30x 2≤4600x 1≥50 售出量x 2≥80 2x 1+x 2≤120 两车间总工时x 1+3x 2≤150+ 设d 1表检验销售费偏差，则希望d 1达最小，有p 1d 1+, 相应的目标约束为 5x 1+30x 2+d 1--d 1+ = 4600； --达最小，有p 2d 2, 相应的目标约束 d 2表产品I 售量偏差，则希望d 2-+x 1+d 2-d 2=50,以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望d 320=4：1，有--p 3(4d 3+d 4 . 相应的目标约束应为 --达最小，考虑到费用比例为80：, d 4-+-+=150， -d 42x 1+x 2+d 3-d 3=120和x 1+3x 2+d 4以d 5表甲车间加班偏差，则有+-+d 3+d 5-d 5=20， p 4d 5+, 相应目标约束为以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望d 6达最小，有相应约束为-+x 2+d 6-d 6=80.++++表示，考虑到权系数，有p6(4d 3+d 4, 其目标约束由于利用超生+d 4- 最后优先级p 6可利用d 3产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为---+-++m i z n =p 1d 1++p 2d 2+p 3(4d 3+d 4 +p 4d 5+p 5d 6+p 6(4d 3+d 4 ⎧50x 1+30x 2+d 1--d 1+⎪-+x 1+d 2-d 2⎪⎪-+2x +x +d -d 1233⎪⎪-+s ⋅t ⋅⎨x 1+3x 2+d 4-d 4⎪+-+d +d -d 355⎪⎪x 2+d 6--d 6+⎪-+⎪⎩x 1, x 2≥0, d l , d l≥0=4600=50=120=150=20=80(l =1, 2, , 65. 最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树意味着该图是连通的无圈的简单图. ．在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6. 最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.狄克斯屈（E.D.Dijkstra ）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切w ij ≥0 w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下：P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一. 若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ，vj ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号. 以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号. 这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号. 这意味着已求得了v s 到v t 的最短路.狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，=V \{v s }为临时标号点集，再令P (v i =0，v t ∈S ； 2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， vj ）的终点v j∈，计算并令 min{T (v j , P (v i +w ij }⇒T (v j3°从一切v j∈中选取并令 min{T (v j }=T (v r ⇒T (v r 选取相应的弧（v i ， vr ）. 再令 S {v r }⇒S , \{v r }⇒=∅，则停止，P (v j 即v s 到v j 的最短路长，特别P (v t 即v s 到v t 的最短路长，而已选出 4°若的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令v r ⇒v i ，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为 4°若r = t 则结束，P (v r 即为所求最短路长；否则令v r ⇒v i ，返2°.。
《数学建模》课程设计方案0[推荐精品]
![《数学建模》课程设计方案0[推荐精品]](https://img.taocdn.com/s3/m/73089e7cae1ffc4ffe4733687e21af45b307fe19.png)
《数学建模》课程系统设计方案为了落实教育部批准的《关于广播电视大学开展人才培养模式改革和开放教育试点的报告》的精神，更好地实施“中央广播电视大学开放教育试点理学科数学类数学与应用数学专业（本科）教学计划”，搞好本课程的教学过程管理和教学支持服务工作，实现本专业培养目标，特制定《数学建模》课程设计方案。
一、课程的性质与任务“数学建模”课程是限选课。
但它既不同于必修课，也不同于其它限选课和选修课，而是一门充分应用其它各数学分支的应用类课程，其主要任务不是“学数学”，而是学着“用数学”，是为培养善于运用数学知识建立实际问题的数学模型，从而善于解决实际问题的应用型数学人材服务的。
从这个意义上讲，本课程的开设将对提高广大学生优良的数学素质和出色的工作能力，从而顺利开展中、小学的创新教育和素质教育等诸方面起到重要作用，其发展潜力巨大，前景十分客观。
通过本课程的学习，使学生较为系统的获得利用数学工具建立数学模型的基本知识、基本技能与常用技巧，培养学生的抽象概括问题的能力，用数学方法和思想进行综合应用与分析问题的能力，并着力导引实践—理论—实践的认识过程，培养学生辩证唯物主义的世界观。
二、课程的目的与要求根据整个教学计划的内容安排，以及学生主要是成人、在职、业余学习的特点，本课程将主要介绍初等数学模型，微分方程模型，运筹学模型和概率统计模型这四类常见数学模型中的较基本、较简单的部分，使学生对数学建模的基本想法与做法有一个较全面的初步的了解，为应用所学数学知识解决实际问题奠定一个较好的基础。
1.对相关课程内容的基本要求由于本课程的特点，对学生的基本数学基础有下列要求：熟练掌握常微分方程的基本内容，概率论与统计分析基础，运筹学中的线性规划、目标规划的初步知识，图论基础知识、决策论、存贮论与排队论初步知识。
2.通过本课程的学习，应达到下列基本目标：(1)深化学生对所学数学理论的理解和掌握；(2)使学生了解数学科学的重要性和应用的广泛性，进一步激发学生学习数学的兴趣；(3)熟悉并掌握建立数学模型的基本步骤、基本方法和技巧；(4)培养学生应用数学理论和数学思想方法，利用计算机技术等辅助手段，分析、解决实际问题的综合能力；(5)培养学生的数学应用意识，同时进一步拓宽学生的知识面，培养学生的科学研究能力。
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a21 x1 a22 x2 L a2n xn (, )b2 , L
am1 x1
am2 x2
L
amn xn
(, )bm ,
xi 0, x j 0, i i1 ,L , ik , j j1,L , jl .
线性规划模型标准型:
线性规划模型标准型矩阵表示：
maxz= c1 x1 +c2x2 +…+cnxn
(3) ai1 x1 ai 2 x2 L ain xn bi 加剩余变量yi
ai1 x1 ai 2 x2 L ain xn yi bi
(4) 若存在可正可负变量xi 令
xi xi1 xi2 , xi1 , xi 2 0.
例 将下述线性规划问题化为标准型 标准型 min z = x1 +2x2 3x3 maxz = x12x2 +3(x4 –x5 )+0x6 +0x7
例1 加工奶制品的生产计划
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天: 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大
Байду номын сангаас
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
A1 A2 现有资源
一
设备 1 2 8台时
、
甲 4 0 16公斤
从
表： 制订生产计划,使 每天获利最大
乙 0 4 12 公斤 利润 20 30 （元）
设生产A1、A2分别x1、x2公斤 决策变量
现 实 问 题 到
max z= 20x1+30x2 (1)
目标函数
线 性
x1 2x2 8, (2)
约
连续性无关xi取值连续
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数
每桶牛奶加工出A1,A2的数量 和时间是与各自产量无关的常 数 A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数
每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 是与时间相互产量无关的常数
加工A1,A2的牛奶桶数是实数
例2 工厂生产两种 产品A1,A2,已知生 产单位产品情况如
线性 规划
劳动时间
12x1 8x2 480
模型
加工能力 非负约束
3x1 100
x1, x2 0
(LP)
模型分析与假设
比 xi对目标函数的
例 “贡献”与xi取值
性 成 xi对正约比束条件的
“贡献”与xi取值
可 加
成 xi对正目比标函数的 “贡献”与xj取值
性 无 xi对关约束条件的
“贡献”与xj取值
X [x1, x2,L , xn ]T ,
xi 0, i 1,L , n.
b [b1, b2 ,L , bm ]T , b 0,
1.线性规划的一般形化为标准型的一般步骤 (1) Min f = cX 转化为max z = cX
(2) ai1 x1 ai 2 x2 L ain xn bi 加松弛变量yi ai1 x1 ai2 x2 L ain xn yi bi
(1) x3 = x4 x5 , x4 , x5 0 (2) x1 +x2 +x3 +x6 =7 (3) x1 x2 +x3 x7 =2
合理下料问题
设按第i种下料方式的
有长度为8米的某型号圆钢， 现需要长度为2.5米的毛坯
圆钢xi根，i=1,2,3,4
100根，长度为1.3米的毛 坯200根，如何选者下料方
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
每天 50桶牛奶 时间480小时
获利24元/公斤 获利16元/公斤 至多加工100公斤A1
决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
获利 24×3x1
获利 16×4 x2
每天获利 Max z 72x1 64x2
原料供应
x1 x2 50
max z= cX
s.t . AX b
(LP)
s.t
.
a11 x1 a12 x2 L a21 x1 a22 x2 L
L
a1n xn a2n xn
b1 , b2 ,
X 0
c [c1, c2,L , cn ], A [aij ]mn.
am1
x1
am 2
x2
L
amn xn
bm ,
运筹学理论与建模
河北联合大学理学院 肖继先
主要内容
第一部分 线性规划建模方法 第二部分 整数规划建模方法 第三部分 指派问题 第四部分 动态规划建模 第五部分 图论与网络优化
第一部分 线性规划建模方法
一、从现实问题到线性规划模型 二、线性规划模型的求解 三、线性规划建模实例
一、从现实问题到线性规划模型
x1 x2 x3 7,
s.t
x1 x2 x3 3x1 x2 2x3
2,
5,
x1, x2 0, x3 无约束
x1 x2 x4 x5 x6 7,
s.t
x31
x1
x2
x2
x4
x5 x7 2x4 2x5
2, 5,
x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0.
min z= x1+x2 +x3 +x4
式，所需总用料最省? 解：可能的下料方式：
s.t
.
3 x1 2 x2 x3 2x2 4x3 6x4
100, 200,
xi 0, i 1, 2, 3, 4.
2.5 1.3 13 0 22 2 31 4
有一组决策变量,约束条件是决 策变量的线性等式或不等式,目 标函数是决策变量的线性函数, 这样的规划问题称为线性规划.
40 6
记为（LP）
例.某小区一个24小时营业便利店,一 天各时段所需服务员最少人数如下 min z= x1+x2+ x3+x4+x5+x6
表.根据实际情况,要求每个服务员必
须连续工作八小时,试建立需服务员
总人数最少的排班方案数学模型.
s.t
.
班次 1 2 3 4 5 6
x6 x1 4, x1 x2 8, x2 x3 10, x3 x4 7, x4 x5 12,
s.t. 04 xx11
0 x2 4 x2
16, 12,
(3) (4)
束 条
规 划 模 型
x1 0, x2 0. (5)
件
线性规划模型一般形式：
max(min) z= c1 x1 +c2x2 +…+cnxn
a11 x1 a12 x2 L a1n xn (, )b1 ,
s.t
.