中考数学第22题专题

22题专题作业

昌平

22．已知，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 边上，且∠EDF ＝45°． （1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形； （2）猜想tan ∠ADF 的值，并写出求解过程．

大兴

22.已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 和CD 边上的两点，AE ⊥BF 于点G ，且BE=1．

（1）求出△ABE 和△BCF 重叠部分（即△BEG ）的面积；

（2）现将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E 落在CD 边上的点E′处，问△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

A

B C

D

第22题图 2

第22题图1

东城

22．如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，EF 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是 ；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝2

1

∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

22．阅读下面的材料：

小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：

()()()0210.a

b b

a a

b b

b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值.

小明是这样解决问题的：由新定义可知a =1，b =-2，又b ＜0，所以1※（-2）= 1

2 .

请你参考小明的解题思路，回答下列问题： (1) 计算：2※3= ；

(2) 若5※m =5

6

，则m = .

(3) 函数y =2※x （x ≠0）的图象大致是（ ）

y x O

y

x O

y x

O

y

x

O

A B C D

丰台

22．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形

互为同相似，如图1，111A B C ∆∽ABC ∆，则称111A B C ∆与ABC ∆互为同相似；如果对

应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，

222A B C ∆∽ABC ∆，则称222A B C ∆与ABC ∆互为异相似.

1

1

B

C 2

2

图1 图2

（1）在图3、图4和图5中，△ADE ∽△ABC ， △HXG ∽△HGF ，△OPQ ∽△OMN ，其中

△ADE 与△ABC 互为 相似，△HXG 与△HGF 互为 相似，，△OPQ 与△OMN 互为 相似；

B

E

A D

C

G X

H

F

N

Q

O

P

M

图3 图4 图5

（2）在锐角△ABC 中，∠A <∠B <∠C ，点P 为AC 边上一定点（不与点A ，C 重合），过这

个定点P 画直线截△ABC ，使截得的一个三角形与△ABC 互为异．相似．．，符合条件的直线有_____条.

海淀

22．阅读下面材料：

小明观察一个由11⨯正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值． 请回答：

（1）如图1，A 、B 、C 是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D ，作出线段CD ，使得CD ⊥AB ；

（2）如图2，线段AB 与CD 交于点O ．为了求出AOD ∠的正切值，小明在点阵中找到了点E ，连接AE ，恰好满足AE CD ⊥于F ，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．

请你帮小明计算：OC =_______________；tan AOD ∠=_______________；

C

A

B

F O

E

D

B

A C

图1 图2 图3

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，计算：tan AOD ∠=_______________．

门头沟

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 度数．

小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C ，连接PP ′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．

图1 图2

请回答：图1中∠APB 的度数等于 ，图2中∠PP ′C 的度数等于 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 坐标为（3-，1），连接AO ．如果点B 是x 轴上的一动点，以AB 为边作等边三角形ABC . 当C （x ，y ）在第一象限内时，求y 与x 之间的函数表达式．

门头沟

O

D

B

A

C