中考数学第22题专题

22题专题作业
昌平
22．已知，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 边上，且∠EDF ＝45°． （1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形； （2）猜想tan ∠ADF 的值，并写出求解过程．
大兴
22.已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 和CD 边上的两点，AE ⊥BF 于点G ，且BE=1．
（1）求出△ABE 和△BCF 重叠部分（即△BEG ）的面积；
（2）现将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E 落在CD 边上的点E′处，问△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
A
B C
D
第22题图 2
第22题图1
东城
22．如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，EF 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝2
1
∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
22．阅读下面的材料：
小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：
()()()0210.a
b b
a a
b b
b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值.
小明是这样解决问题的：由新定义可知a =1，b =-2，又b ＜0，所以1※（-2）= 1
2 .
请你参考小明的解题思路，回答下列问题： (1) 计算：2※3= ；
(2) 若5※m =5
6
，则m = .
(3) 函数y =2※x （x ≠0）的图象大致是（ ）
y x O
y
x O
y x
O
y
x
O
A B C D
丰台
22．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形
互为同相似，如图1，111A B C ∆∽ABC ∆，则称111A B C ∆与ABC ∆互为同相似；如果对
应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，
222A B C ∆∽ABC ∆，则称222A B C ∆与ABC ∆互为异相似.
1
1
B
C 2
2
图1 图2
（1）在图3、图4和图5中，△ADE ∽△ABC ， △HXG ∽△HGF ，△OPQ ∽△OMN ，其中
△ADE 与△ABC 互为 相似，△HXG 与△HGF 互为 相似，，△OPQ 与△OMN 互为 相似；
B
E
A D
C
G X
H
F
N
Q
O
P
M
图3 图4 图5
（2）在锐角△ABC 中，∠A <∠B <∠C ，点P 为AC 边上一定点（不与点A ，C 重合），过这
个定点P 画直线截△ABC ，使截得的一个三角形与△ABC 互为异．相似．．，符合条件的直线有_____条.
海淀
22．阅读下面材料：
小明观察一个由11⨯正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值． 请回答：
（1）如图1，A 、B 、C 是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D ，作出线段CD ，使得CD ⊥AB ；
（2）如图2，线段AB 与CD 交于点O ．为了求出AOD ∠的正切值，小明在点阵中找到了点E ，连接AE ，恰好满足AE CD ⊥于F ，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC =_______________；tan AOD ∠=_______________；
C
A
B
F O
E
D
B
A C
图1 图2 图3
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，计算：tan AOD ∠=_______________．
门头沟
22．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 度数．
小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C ，连接PP ′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．
图1 图2
请回答：图1中∠APB 的度数等于 ，图2中∠PP ′C 的度数等于 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 坐标为（3-，1），连接AO ．如果点B 是x 轴上的一动点，以AB 为边作等边三角形ABC . 当C （x ，y ）在第一象限内时，求y 与x 之间的函数表达式．
门头沟
O
D
B
A
C
24．矩形ABCD 一条边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在CD 边上的点P 处．
图1 图2
（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ．
① 求证：△OCP ∽△PDA ；
② 若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO 和OP ，连接BP ．动点M 在线段AP 上（不
与点P 、A 重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN =PM ，连接MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问动点M 、N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF 的长度；若变化，说明理由．
密云
22. 阅读下面材料:
小明遇到下面一个问题：
如图1所示，AD 是ABC ∆的角平分线， ,AB m AC n ==，求
BD
DC
的值. 小明发现，分别过B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为,E F .通过推理计算，可以解决问题（如图2）.请回答，
BD
DC
=________. 2
图1
F
D A
A
C
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，四边形ABCD 中，2,6,60,AB BC ABC BD ==∠=︒平分ABC ∠，
CD BD ⊥.AC 与BD 相交于点O .
3
O
D
A
（1）
AO
OC
=______. （2）tan DCO ∠=__________.
平谷
22．阅读下面材料：
如图1，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与点B 、C 重合），连结AD ．
（1）当点D 是BC 边上的中点时，S △ABD ：S △ABC = ；
（2）如图2，在△ABC 中，点O 是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合），且AD =nOD ，连结BO 、CO ，求S △BOC ：S △ABC 的值（用含n 的代数式表示）； （3）如图3，O 是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合），连结BO 并延长交AC 于点F ，连结CO 并延长交AB 于点E ，补全图形并直接写出
OD OE OF
AD CE BF
++
的值．
石景山
22．阅读下面材料：
小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 边上的点，且AE=BC ，BD=CE ，BE 与AD 的交点为P ，求∠APE 的度数； 小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B 作BF//AD 且BF=AD ，连接EF ，AF ，从而构造出△AEF 与△CBE 全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：APE ∠的度数为___________________． 参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：
图3
图2 图1
图1 图2
P
D
E
B
C
F P
D E
A
B
C
图3
B
O
A
C
如图3，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，D 、E 分别为CB ，CA 上的点，且
BC AE 21=
，CE BD 21
=，BE 与AD 交于点P ，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin APE ∠的值． 顺义
22．阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在△ABC 中，
，
，BC=2三边的长分别为，求∠A 的正切值．
小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC （△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC 相似的格点△DEF ，从而使问题得解．
（1）图2中与A ∠相等的角为 ， A ∠的正切值为 ； （2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在△GHK 中，HK=2，
HG=，
KG=HK ，求+∠α∠β的度数．
延庆
22．探究发现:
如图1，△ABC 是等边三角形，点E 在直线BC 上，∠AEF =60°，EF 交等边三角形外角平分线CF 于点F ，当点E 是BC 的中点时，有AE =EF 成立；
数学思考: 某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
C
B A
图2
D
E
F C
B
A
图1G
K H α
β图3
图4
A
E
C
F
B
A
B
C
C
B
A
当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），结论AE =EF 仍然成立．请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 延长线”；“点E 在线段BC 反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE =EF ．
拓展应用:当点E 在线段BC 的延长线上时，若CE=BC ，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S △ABC ：S △AEF 的值． 燕山
22．阅读下面材料：
小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．
小辉发现，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转90º，得到△ACF ，连接EF （如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE ＝45°，可证△F AE ≌△DAE ，得FE ＝DE ．解△FCE ，可求得FE (即DE )的长．
如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°．E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝2
1
∠BAD ．猜想线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并说明理由．
图1 图2
图3
图1
A
B
C D
E
图2
F
A
B
C D
E
图3
E
F
D
A
B
C。