15章中国数学事业的复苏
3 中国古代数学
CONTENTS
原 创 出 品
结绳记事，规矩使用，十进制计数法，分数应用及筹算 几何思想
高次方程的数值解法，中国剩余定理 “天元术”和“四元术”
勾股定理和《周髀算经》，九章算术，刘徽和祖 式父子
中国传统数学的衰败与复苏
数学是中国古代最为发达的学科之一， 通常称为“算术”即“算数之术”。
古代中国的术语“算术”相当于英文中的 mathematics 而不是 arithmetic，其所研究的内容大体上是今天数学教科书中的算术、代数、 几何、三角等方面的内容.后来，算术又称为算学、算法.宋元时期开始使 用“数学”一词，此后算学、数学两词并用.1939年6月，经中国数学名 词审查委员会确定用“数学”而不再用“算学”
精湛的几何思想
除了那些出土的陶器（如图4-4）等给我 们展示了那个时代各种精美的几何图形外， 更令我们感兴趣的是战国时期（公元前475 前221）的诸子百家，和古希腊的数学学派 一样，他们的著作包含了理论数学的萌芽， 其中最为杰出的是“墨家”和“名家”
墨家
墨家的代表著作《墨经》记载了许多几何概念，如 •“平同高也”（即两条直线或两个平面间的可就来距离处处相等称为平行）； •“中，同长也”（即直线段的中点至两端点的距离相等，或圆的圆心（球的球心） 到圆周（球表面）的距离相等）； •“圆，一中同长也”（即圆或球，皆有一个中心即圆心或球心，圆周或球表面上任 一点到中心的距离相等）； 这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义几何概念的明证.在这部著作中甚 至还涉及有穷和无穷的概念，称“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”
就 “ 左 准 绳 ， 右 规 矩 ， 载 四
《 史 记 》 记 载 ， 夏 禹 在 治 水
它 们 的 起 源 也 是 很 早 的 ，
江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学(文)试题及参考答案
江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,3,4,5,6,8120A B xx x ==-+>∣，则()RA B ⋂=（ ）A.{}2,3,4,5B.{}2,3,4,5,6C.{}3,4,5D.{}3,4,5,62.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()()23i i (z a =++其中)a R ∈为“等部复数”，则复数i z a +在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“x y >”的一个充分条件可以是（ ） A.12x ye-> B.44x y > C.1xy> D.22xt yt > 4.已知两个非零向量,a b 满足(2)a a b ⊥-，且3a b a b+=-，则,a b 的夹角为（ ）A.3π B.2π C.23π D.4π5.在区间()1,5-与()1,5内各随机取1个整数，设两数之和为M ，则2log 2M >成立的概率为（ ） A.35 B.58 C.815 D.7156.函数()3sin x x f x x x+=-的大致图象为（ ）A. B.C. D.7.作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题.为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录作出频率分布直方图如图：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%.则下列说法中，正确的是（ ） A.0.0018a =B.若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C.根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为310D.这100份花费费用的中位数是4200元8.过双曲线222x y -=上任意一点(),P x y 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形OAPB 的面积为（ ） A.12B.1C.2D.4 9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比51t -=的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin1822427sin 27t t --的值为（ ）A.-4B.4C.-2D.210.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()1112,33nn n n nna S S S S++=-=+，则2023S =（ ） A.202331- B.202331+ C.2023312+ D.2022312+ 11.若球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3,BC AB ==E 在线段BA 上，3BA BE =，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）A.83π B.2π C.43π D.π12.已知函数()222ln 1xx ax f x e x++=-，当()0,x ∞∈+时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(],1∞-B.(2,1e ∞⎤--⎦ C.(],e ∞- D.(],2∞-二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若前n 项和为n S 的等差数列{}n a 满足712812a a a +=-，则17S =__________.14.已知变量x y ､满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则32x y +的最大值__________.15.已知圆221:1O x y +=，圆222:(2)4O x y -+=.请写出一条与两圆都相切的直线方程：__________.16.函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()33y f x =+为偶函数，()32y g x =++为奇函数，对x ∀∈R ，均有()()21f x g x x +=+，则()()77f g =__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为x （千元），带动的销量为y （千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.y10 12 13 18 19 21 24 27（1）根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程.（2）（i ）若该省A 城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？（ii ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A 城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：()()()()()()()11222111ˆˆˆ,,nniiiii i nnni iii i i x x y y x x y y r ba y bx x x x x y y =====----===----∑∑∑∑∑.参考数据：()()()8821169,20i i i i i x x y y x x ==--=-=∑∑.18.（12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知222sin sin cos cos sin 2A B A B C +++=（1）求角C ； （2）若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 面积的取值范围.19.（12分）如图所示，圆锥的高3PO =，底面圆O 的半径为1，延长直径AB 到点C ，使得1BC =，分别过点,A C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E ，点D 是切线CE 与圆O 的切点.（1）证明：平面PDE ⊥平面POD ； （2）点E 到平面PAD 的距离为1d ，求1d 的值. 20.（12分）已知函数()313f x ax x =+，函数()2sin x g x e x x =-+. （1）求函数()g x 的单调区间；（2）记()()()F x g x f x =-'，对任意的()0,0x F x ≥≥恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）已知椭圆方程：22221(0)x y a b a b +=>>，其离心率为22e =，且,P Q 分别是其左顶点和上顶点，坐标原点O 到直线PQ 的距离为233. （1）求该椭圆的方程；（2）已知直线:2l y kx =+交椭圆于,A B 两点，双曲线：22142x y -=的右顶点,E EA 与EB交双曲线左支于,C D 两点，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出定值.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂､多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程下图所示形如花瓣的曲线G 称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为2sin2ρθ=.（1）若射线:6l πθ=与G 相交于异于极点O 的点P ，求OP ；（2）若,A B 为G 上的两点，且23AOB π∠=，求AOB 面积S 的最大值. 23.（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()322f x x x x =+---. （1）求()f x 的最小值m ；（2）若,a b 为正实数，且20a b m ++=，证明不等式22111a b b a +≥++.江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）参考答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.68 14.5 15.20(x +=或20)x += 16.61616.由函数()33f x +为偶函数，则()()3333f x f x +=-，即函数()f x 关于直线3x =对称，故()()6f x f x =-；由函数()32g x ++为奇函数，则()()3232g x g x ++=--+-，整理可得()()334g x g x ++-+=-，即函数()g x 关于()3,2-对称，故()()46g x g x =---；由()()21f x g x x +=+，则，可得()()266(6)1f x g x x -+-=-+，得()()24(6)1f x g x x +-=-+故()()()()2214(6)1f xg x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨--=-+⎪⎩，解得()()2621,620f x x x g x x =-+=-， ()()772822616f g =⨯=.故答案为：616.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答.17.（1）3345566810121318192124275,1888x y ++++++++++++++====.经计算可得()()()8182169ˆˆˆ3.45,18 3.4550.7520iii i i x x y y bay bx x x ==--====-=-⨯=-∑∑. 所以所求线性回归方程为ˆ 3.450.75yx =+. （2）（i ）当10x =时，ˆ 3.45100.7535.25y=⨯+=，所以预计能带动的消费达3.525万辆.（ii ）因为3035.2510%35.25->，所以发放的该轮消费补贴助力消费复苏不是理想的.发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A 城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A 城市人口数量有限､商品价格水平､消费者偏好､消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.年轻人开始更加注重出行的舒适性和环保性，而传统燃油车的排放和能耗等问题也逐渐成为了消费者们考虑的重点.（只要写出一个原因即可）. 18.（1）因为222sin sin cos cos sin 2A B A B C +++= 所以()()2222sin sin sin 1sin 1sin C A B A B -=+-+-可得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理可得：222a b c ab +-=.由余弦定理知，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===因为()0,C π∈，所以3C π=（2），由（1）知，3C π=所以23A B π+=又ABC 是锐角三角形， 可得02B π<<且2032B ππ<-<解得62B ππ<< 由正弦定理知：sin sin b c B C =又2b =可得sin sin b C c B ⋅==所以2sin 11233sin 2sin 223sin 2tan ABCB Sbc A B B B ππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==⨯-== ⎪⎝⎭因为62B ππ<<所以tan B >ABCS<<故ABC面积的取值范围为⎝.19.（1）由题设，PO ⊥平面,ABD D 又是切线CE 与圆O 的切点，CE ∴⊂平面ABD ，则PO CE ⊥，且OD CE ⊥，又,,PO OD O PO OD ⋂=⊂平面,POD CE ∴⊥平面POD ， 又CE ⊂平面PDE ，所以平面PDE ⊥平面POD . （2）,30,OD CE CD OCD AE CE ∠⊥∴==∴==1111111333332P ADE ADE E PAD PAD V S PO V S d d --=⋅===⋅=⋅113d ∴=20.（1）()2sin xg x e x x =-+则()'2cos xg x e x =-+且()00g =，令()()()()()(),'sin ,0,,'sin 1sin 0,x x x g x x e x x x e x x x ϕϕ∞ϕϕ'==-∈+=->-≥在()0,∞+上单调递增，所以()()()00x g x g ϕ''=>=，所以()g x 的单调递增区间为()0,∞+，()(),0,'2cos cos 10x x g x e x x ∞∈-=-+<-≤，所以()g x 的单调递减区间为(),0∞-.（2）()()()22sin 1xF x g x f x e x x x =-'=-+--，且()00F =，()[)cos 22,0,,x F x e x ax x ∞='+--∈+令()()()','sin 2,x G x F x G x e x a ==--令()()()','cos 1cos 0xH x G x H x e x x ==-≥-≥，所以()'G x 在[)0,+∞上单调递增， ①若()()1,''01202a G x G a ≤≥=-≥， 所以()'F x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()'00F x F '≥=， 所以()()00F x F ≥=恒成立. ②若()1,'01202a G a >=-< ()()()'ln 222sin 220G a a +=-+>，所以存在()()00,ln 22x a ∈+，使()0'0G x =，故存在()00,x x ∈，使得()0G x '<，此时()G x 单调递减，即()F x '在()00,x 上单调递减， 所以()()00F x F ''=，故()F x 在()00,x 上单调递减， 所以此时()()00F x F =，不合题意.综上，12a.21.（1）由已知可知：()(),0,0,P a Q b -，所以PQ =POQ 中，等面积可得：1122ab =2,a b ==所以该椭圆方程为22142x y +=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 由()2,0E 可设直线AE 方程：1122x x y y -=+直线BE 方程：2222x x y y -=+ 将直线AE 与双曲线22142x y -=联立可得：()2212111211424420x x x y y y y y --+-+=. 又因为2211142x y -=代入上式中可得：()()111221122420x x x y y y y --+= 解得：1312y y x =-代入直线AE 方程：314x x =所以C 点坐标为11124,y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理可得D 点坐标为：22224,y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以直线CD 的斜率()()2112122112121212222222441444444CD kx kx y y x x x x x x k x x x x x x ⎛⎫++-----+ ⎪⎝⎭====----.所以直线CD 的斜率为定值该定值为-122.（1）62sin2πϕρρθ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩（2）设()[)2,,0,23A B A B πρθρθθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 2sin2A ρθ= 42sin 23B πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭12sin 23AOBA B Sπρρ=⋅⋅142sin22sin 223πθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1sin2sin2cos222θθθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭11sin 4264πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当462ππθ-=时即6πθ=时AOBS23.（1）()min 1102101()251313x x x f x f x x x x =-<⎧⎪+≤≤⎪=∴⎨-+≤<⎪⎪-≥⎩（2）由（1）可知2a b +=()()()()222222221111111211144114a ab b a b a b a b ab a b b a b a ⎡⎤++⎛⎫++++=+++≥++=⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦或由柯西不等式114≥=当且仅当1a b ==时取等号.。
数 学 史 上 的 三 次 危 机
形的研究属于几何学的范畴。古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象是由于工具的制作与测量的要求所促成的。规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具。
墨经》中对一系列的几何概念，有抽象概括，作出了科学的定义。《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式。在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题。例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体的体积的阳马鳖需的二比一原理(刘徽原理)；5世纪祖(日恒)提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；还有以内接正多边形逼近圆周长的极限方法(割圆术)。但自五代(约10世纪)以后，中国在几何学方面的建树不多。
刘徽在他注解的《九章算术》中，还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率的一般方法。
虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。
中国数学发展的现代化进程
中国数学发展的现代化进程中国数学有悠久灿烂的历史。
有史以来的两千多年间，特别是公元13世纪前（宋元时代），在当时占统治地位的数学各分支的许多重要领域内，一直是独立发展，遥遥领先于世界，对世界数学发展有着特殊的贡献和巨大影响。
明、清（17世纪），西方数学开始输入中国，使中国数学开始走上现代化的道路。
但由于封建制度的腐朽和帝国主义列强的侵略，中国数学到近代逐渐落伍。
到20世纪初，中国数学已落后世界数学水平二百年以上！1911年的辛亥革命前后，中国大量向美国派遣留学生。
1912年京师大学堂更名为北京大学，并于1918年创建中国第一个数学系。
此后，一小部分在国外获得博士学位的中国数学家回国走上教学岗位，各地大学纷纷办起数学系，使中国的数学水平有所提高。
例如，在美国康奈尔大学毕业并获哈佛大学博士学位后返国的姜立夫，1920年创办南开大学数学系；1921年，熊庆来和段子燮创办东南大学（现南京大学）数学系；1924年，陈建功和黄际遇创办武昌大学数学系；胡明复在上海大同大学、陈建功和苏步青先后至浙江大学、熊庆来1926年在清华大学分别创办数学系。
当时的南开大学系是“一人系”，姜立夫靠他的博学多能，在难以想象的困难条件下培养了如刘晋年、江泽涵、申又枨、陈省身、孙本旺、吴大任等一批中国数学界的栋梁之材。
然而，在当时数学是一门自生自灭的学科，得不到应有的重视。
当日本数学家高木贞治留学德国哥廷根，向大数学家希尔伯特学习代数数论后归国，并于1920年创立类域论解决希尔伯特第9问题而使日本数学跻身世界一流水平之时，中国现代数学尚未诞生。
1921年，陈建功在日本《东北数学杂志》上发表论文《关于无穷积的一些定理》，“无论在时间上或在质量上，都标志着中国现代数学的兴起”（苏步青：《陈建功选集》序言）。
1928年，陈建功在日本《东京帝国学士院进展》上发表博士论文《关于具有绝对收敛傅里叶级数的函数类》，成为第一位在日本取得理学博士学位的外国科学家，这标志着中国现代数学研究首次达到国际先进水平。
《普通高中数学课程标准》解读.pdf
普通高中《数学课程标准（实验）》解读主编：严士健张奠宙王尚志2003年11月目录第一部分背景第一章数学的历史发展与价值第二章社会需求第三章国际比较第四章对我国课程发展的认识第二部分理念与目标第一章课程基本理念第二章课程目标第三部分框架与内容第一章框架说明第二章必修内容第三章选修1-2内容第四章选修3-4内容第五章数学探究、建模、文化第四部分实施建议说明第一章教学建议第二章评价建议第三章教材编写建议第五部分变化、挑战与展望第一部分背景第一章数学的历史发展及重要价值作为一个数学教育工作者和数学教师，应该对数学有一个比较正确和比较全面的认识，包括它的发展历程、思想脉络、应用以及对社会发展的作用、文化价值和教育价值．这些对于教育工作是十分重要的．我国以往对数学史及其思想发展有一些很好的著作，也翻译过一些国外的优秀著作，但是从数学教育的角度来认识数学的历史和发展，则研究得很不够．这是一个需要进行多方面研究的大课题．我们在这里只是提出制定高中数学课程标准时的一些学习体会和思考，一方面作为大家审视、批评我们工作的资料；一方面是希望对这些问题提出一些初步看法和资料，和大家共同探讨这些问题，以求得进步，这有利于数学教育工作的进一步发展和改进．本文不是严格意义下的历史，着重的是想通过历史事实来探索一些应该注意的事项．所以对于资料出处常常没有注明，数学结论也不是完全按照出现的先后来叙述，至于全面性的问题就更难顾及．关于数学史，读者可以参考有关资料，在这里我们也向读者推荐以下著作：[1]M．克莱因，古今数学思想，第1—4册，上海科学技术出版社，1979(2003年重印)，上海．[2]李文林主编，数学珍宝——历史文献精选，科学出版社，1998，北京．[3]李文林，数学史概论（第二版），高等教育出版社—施普林格出版社，2000，北京．一、数学发展的历史回顾为了能够更好地根据历史事实来了解事物的本来面貌，同时也考虑到老师们对于数学发展资料占有较少，我们首先对数学发展的历史作一些简单的回顾．1．数学的早期发展数学归根结底是伴随着人类对客观世界的认识，从事生产和交换而产生的，不论是埃及和美索布达米亚的文化，还是中国和印度的文化都是这样．正是需要计数，才产生了记数制．巴比伦位于古代贸易通道上，商业活动范围很广．巴比伦人用他们的算术和简单代数知识表示长度和度量，兑换钱币和交换商品，计算单利和复利，计算税额，给农民、教会和国家之间分配收获的粮食．在他们的早期历史中，经济对算术发展的影响是无容置疑的．在埃及、中国、印度等古代文明的地区，也大都如此．埃及的尼罗河泛滥以后，土地面积的再确定；金字塔修建过程中为了保证坡度的稳定；巴比伦运河的修建中横断面的设计、土方的计算；印度神庙的设计和修建；中国天体的观测等等活动促进了几何知识的发现和积累．总之，在开始阶段，人类为了解决实际问题的需要，陆续创造了一些比较零散的实用算术和几何的知识和方法，是数学的原始积累阶段．在古代实用算法和数学知识积累到一定阶段，出现了一些带有纯数学性质和理论性问题的讨论，例如圆周率，圆面积、体积以及球体积、面积的确定，勾股数的一般表达．因此对数学知识和算法进行系统整理与理论概括是必然的趋势．2．古典数学在西方，这个整理和理论概括的过程不是由古埃及人和巴比伦人，而是由古希腊人完成的．古希腊的学者在吸收了古埃及和美索布达米亚的数学之后，开始了进一步探索的过程．泰勒斯(Thales，约公元前625-547年)领导的爱奥尼亚学派，开始了希腊命题证明的过程．毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580-500)继泰勒斯之后，将这门科学改造为自由的教育形式，首先检验其原理,并用一种无形和理智的方式探讨其定理．毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”，它的算术更多地成为数字本身的智力活动，这是向理论数学过渡时期的观念上的飞跃；由于数形结合，也实质上推动了几何学的抽象化倾向；“万物皆数”的信念，又使他们成为相信自然现象可以通过数学来理解的先驱．古希腊人还提出一些在理论上需要解决的问题，如三大几何作图问题，不可公度问题；发现了一些新的数学对象，如圆锥曲线；发现了一些处理数学问题的方法，如穷竭法．特别是，古希腊人提出了论证数学的原则和总结出演绎规则．柏拉图（Plato，公元前427—前374）认为数学是一切学问的基础，据说在他所开设的学院的大门上写着“不懂几何者莫入”，他还给出了许多几何定义，并坚持对数学作演绎整理．亚里士多德（Aristotle，公元前384—前322）对定义作了更精密的讨论，深入研究了作为数学推理的出发点的基本原理,将他们区分为公理和公设．他的最大贡献是将前人使用的数学推理规律规范化和系统化，从而创立了独立的逻辑学，其中的基本逻辑原理矛盾律和排中律成为数学间接证明的核心．进一步在这些论证数学的原则和规则的指导下，欧几里得（Euclid）系统总结了当时的数学（主要是几何）的成果，形成了数学的公理演绎系统，产生了伟大的数学著作《原本》1．古希腊数学的论证传统也成为人类的一项宝贵思想财富．其后又陆续将算术（数论）从几何中分离出来，创立了三角学（和天文学在一起，不分球面与平面）．在这个整理和总结的过程中，数学知识、理论和方法得到了空前的发展，同时广泛地应用于自然界的各个领域．在公元4，5世纪之交，基督教在被罗马奉为国教后，将希腊学术视为异端邪说，横加迫害．到公元640年，亚历山大学术宝库的剩余资料最后被阿拉伯征服者付之一炬，希腊古代数学从此结束．与希腊数学相比，中世纪的东方数学，虽然也有过像中国魏晋时期刘徽（公元3世纪）和祖冲之（公元429—500）父子深刻的论证思想和高超的论证技巧，但是没有形成论证数学的传统．而在中国和印度，则是表现出强烈的算法精神．即着重从解决一类实际问题或科学问题出发，概括出具有结构而应用广泛的一般性计算方法．例如，在中国，有中世纪阿拉伯数学著作和斐波那契的《算经》中称为“契丹算法”2的“盈不足”术——一种通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法，“百鸡问题”的线性不定方程的解法，线性同余式组的解法（孙子定理），线性方程组的标准消元法（即后来的高斯消去法），求高次代数方程的根的近似值的方法，高次内插法的“招差术”，高阶等差数列求和的“垛积术”等等．在印度，虽然它的古代天文数学受外来文化影响较深，然而它的数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点．东方数学的这些算法不能再被看作是经验方法，而是代数学中的构造方法．在历史上，它们在代数学中占有重要的地位；从现代数学看，它们是数学机械化的前驱．这种算法风格与欧几里得几何的演绎风1在我国，《原本》常被译为《几何原本》，“几何”二字是1607年徐光启、利玛窦的中译本所加．2由于中世纪时，中国的北方一度为契丹族统治，所以中东对中国有契丹之称．直到现在，俄罗斯还称中国为Κитай．格不同而又相辅相成．3．近代数学的兴起．公元5-11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，天主教会成为欧洲社会的绝对势力，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态．另一方面，由于罗马人偏于实用而不发展抽象数学，以至黑暗时期的欧洲，不但希腊时代的抽象数学传统中断，而且在数学上毫无成就．只是由于宗教教育的需要，有一些水平低下的算术和几何教材．1100年左右，欧洲人通过贸易和游历以及十字军的东征进入阿拉伯世界，于是从阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希腊以及东方古典学术．这些学术的发现激起了他们的极大兴趣，有一部分学者也就对这些学术著作进行收集、翻译和研究，可以说12世纪是欧洲数学的翻译时代．最终导致了文艺复兴时期欧洲科学和数学的高涨．因此我们可以说在5世纪以后，希腊时代和亚历山大时期数学的优秀传统在欧洲中断了，转移到阿拉伯世界．阿拉伯世界吸收了印度（可能还有中国）的数学以后又转移到欧洲．欧洲数学真正的复苏，要到15，16世纪，数学的发展与科学的革命紧密结合在一起才成为现实．数学在认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表人物高度强调．达·芬奇(1452-1519)就这样说过：“一个人如果怀疑数学的极端可靠性就是陷入混乱，它永远不能平息诡辩科学中只会导致不断空谈的争辩．…．因为人们的探讨不能成为科学的，除非通过数学上的说明与论证．”伽利略（Galileo）干脆认为宇宙“这本书是用数学的语言写成的”．科学中数学化趋势的增长促使数学本身走向繁荣．文艺复兴促成的东西方数学的结合，为近代数学的兴起及往后的惊人发展铺平了道路．社会的发展和科学的进展都提出了研究物体运动规律的需要，从而提出创造新的数学工具来描述和研究运动的问题．变量数学就是在这种社会背景下应运而生的,它是近代数学的主要部分，解析几何是它发展的第一个里程碑．牛顿（Isaac Newton，1642—1727）和莱布尼兹(Leibniz,G．W．，1646—1716)在古希腊的“穷竭法”“求抛物线弓形面积”等思想的启发下，发现了微积分，为研究运动提供了一个有效的工具．微积分的创立,被誉为”人类精神的最高胜利”．在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生（如微分方程），从而形成了“分析数学”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域，再次推动人类文明进入了一个新阶段．由于绘画、制图的刺激，导致了富有文艺复兴特色的学科——透视学的兴起．进一步，通过研究透视法所产生的数学问题而诞生了射影几何学．射影几何的方法是综合的，所得的结果也是定性的，这与当时要求数学得到实践需要的定量结果的潮流有距离．因此射影几何诞生后不久，很快就让位于代数、解析几何和微积分．直到十九世纪人们才又对它重新关注。
近代中国数学落后的原因
近代中国数学落后的原因小教102 林杨倩 1011011069【摘要】：中国数学在古代曾处于世界领先地位，但到近代却落后了。
落后的主要原因是：①中国作为一个农业社会，已没有多少问题需要数学去解决了，因此就不能再推动数学前进了。
②中国古代数学的主要动力天文学，到了近代基本上耗竭了。
③中国数学发展的内在动力，也变得极其微弱。
这三个原因的综合作用，导致了中国近代数学的落后。
【关键词】：中国；近代数学；落后原因【正文快照】：12世纪黑暗时期过后，欧洲数学逐渐复苏，大量数学著作被翻译的同时，斐波那契游历北非及地中海沿岸诸国，回意大利后写成《算经》，吹响欧洲数学经历漫长黑暗后走向复苏的号角的号角。
之后欧洲数学逐步推进，从代数学开始，拉开了近代数学的序幕。
从实际生产中抽离后，数学蓬勃发展，如代数学的确立、三角学的分离、射影几何的诞生、计算技术的改进、对数的发明与应用等。
数学抽象化后，16世纪，因笛卡尔和费马的工作，诞生了解析几何。
17世纪，牛顿和莱布尼茨的研究，使微积分得以正式创立。
18世纪，近代数学进入分析时代。
到了19世纪，数学更是跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期。
欧洲数学蓬勃发展之时，在世界的东方，号称“天主上国”的中国，数学的处境又是怎样的呢？1368--1911，整个明清两代，五百余年，不仅未产生能与《数学九章》相媲美的数学杰作，而且相当长时间内，宋元数学的精粹“天元术”、“四元术”这样一些求解方程的方法，长期失传，无人通晓。
此刻的中国数学景象何其惨淡！一直以来，中国传统数学在世界数学史上都是有一席之地，甚至处于领先水平。
殷商甲骨文中已使用完整的十进制记数，春秋战国时代出现严格的十进位制筹算记数，记数法是数学运算的基础，这说明中国数学的萌芽是较早的。
至于勾股定理，现存最早的《周髀算经》以文字形式叙述了勾股算法，三国的赵爽完成了勾股定理的证明。
中国古典数学最重要的数学著作《九章算术》在代数方面的成就----方程术、正负术、开方术更是具有世界意义。
数学史朱家生版+课后题目参考答案解析+第五章
1.导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么因为中世纪时期是欧洲最为混乱的时期,也是其经济、政治、文化、军事等全面停滞发展的时期,当时的欧洲居民生活在水深火热之中,所以被称为黑暗时期.1、政治的黑暗、政权的分散：自罗马帝国衰亡后,中欧、西欧被来自东欧的日耳曼民族统治,日耳曼民族又有很多种族,因此相互征伐不断,如法兰克帝国、神圣罗马帝国、英格兰王国、教皇国等等,这些国家相互征伐、动乱不已,而且中世纪时期虽然是欧洲的封建时期,但却不集权、不统一,类似分封制的封建制度导致封建国家缺乏强有力的基础,例如神圣罗马帝国、皇帝仅仅是一个称号而已.而封建地主又对百姓盘剥,加之战乱不断、瘟疫横行,民不聊生.2、宗教的干涉：这一时期的基督教对各国的干扰极强,甚至对政权的建立、稳定都十分重要.宗教严格的控制文化教育、人们的生活：一方面他们严格要求中下层教士及普通百姓,另一方面,上层教士又和封建势力相勾结,腐败没落,压榨百姓和人民,中世纪的宗教裁判所又有极大的权力,可以处死他们所认为的异端分子,由于思想、科学被严格控制,这一时期的欧洲思想、文化、科学鲜有成就.3、经济的没落,由于盘剥严重、科技落后,这一时期的经济几乎没有发展,没有进步就代表了落后；4、瘟疫盛行：宗教的干涉,科技的落后,医学的不发达,导致瘟疫的盛行,540年~590年查士丁尼瘟疫导致东地中海约2500万人死亡；1346年到1350的鼠疫导致欧洲约2500万人死亡,灾难极大地打击的了欧洲的经济、政治甚至人口的发展.简而言之,这一时期的欧洲百姓生活在一种暗无天日,毫无希望的生活里,所以被称为黑暗时期.2、在欧洲中世纪黑暗时期曾经出现过那些知名的数学家，他们在当时那样的背景下各自做了哪些数学工作答：罗马人博伊西斯（罗马贵族），曾不顾禁令用拉丁文从古希腊着作的片段中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，他把这些内容称为“四大科”，其中的数学着作还被教会学校作为标准课本使用了近千年之久，但博伊西斯本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。
古书中关于有理数运算法则的记载
一、先秦时期——中国古代数学的萌芽（一）结绳记事（二）规矩的使用1、规矩是中国传统的几何工具，分别用于圆与方的问题。
2、中国传统几何学大部分内容是围绕圆与勾股展开的。
（三）十进位制记数法、分数的应用及筹算1、对世界数学最伟大的贡献：（王朝商代）已采用十进位制记数法，并有十、百、千、万等专用的大数名称。
2、分数的概念及其应用，在《管子》、《墨子》、《商君书》《考工记》中记载3、“九九歌”标志着乘除法运算法则成熟，春秋战国时代，算术四则运算已经成熟4、算筹是中国古代的计算工具（筹即小竹棍或小木棍），用算筹表示数有纵横两种摆法（四）精湛的几何思想战国时期（公元前475——前221）的诸子百家著作中的理论数学萌芽1、墨家——《墨经》：A试图用形式逻辑的方法定义几何概念a、平，同高也（两条直线或两个平面间的距离处处相等称为平行）b、中，同长也(直线段的中点至两端点的距离相等，或圆的圆心（球的球心）到圆周（球表面）的距离相等)_c、圜，一中同长也（圆或球，皆有一个中心，即圆心或球心，圆周或球表面上任一点到中心的距离相等）B涉及有穷和无穷的概念2、名家——《庄子》：无穷的概念、著名的论断（早期的极限思想)与芝诺悖论具有异曲同工之妙（五）数学教育的开始1、周代，国家已把数学列为贵族子弟的必修课之一二、汉唐时代——中国传统数学体系的形成主要标志：《九章算术》（一）《周髀算经》和勾股定理1、《周髀算经》介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，包含的数学内容;分数运算、勾股定理2、中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期数学家赵爽给出的（二）《九章算术》（东汉末年）1、标志着中国传统数学体系的形成2、全书共246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活密切联系3、九章:第一章方田（土地测量）第二章粟米(粮食交易的比例问题）第三章衰分（配分比例问题）商业、手工业、及社会制度第四章少广（开平方、开立方的算法）第五章商功（立体图形的体积算法，柱、锥、台、球体）筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面第六章均输（复杂的配分比例问题）均输术——实行“均输制”在数学上的反应，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摆摊徭役等实际问题，这很类似于条件及值问题。
第二十五章概率初步单元提升卷2024-2025学年人教版数学九年级上册
人教版九年级上册数学第二十五章概率初步单元提升卷一.单选题1．事件“从一个只装有白球和红球的口袋中摸出一个球，这个球是黑球”是（）A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．无法确定2．从“绿水青山就是金山银山”这何话中随机选取一个汉字，选中“山”的概率是（）A．25B．13C．310D．383．如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以构成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点P的概率是（）A．14B．13C．38D．494．某日，甲、乙随机乘坐由平阳站开往雁荡山站的直达动车，具体车次如图.各车次各等级座位均有票，则两人乘坐同一趟车的概率是（）A．18B．14C．12D．345．在一个不透明的袋子里，装有3个红球，2个白球，1个黄球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为白球的概率是（）A．34B．12C．13D．146．下列事件中，不可能事件是（）A．未来3天内将下雨B．三角形的两个内角的和小于第三个内角C．经过交通信号灯的路口遇到红灯D．三根长度分别为2cm、3cm、5cm的木棒摆成三角形7．下列说法正确的是（）A．“买10张中奖率为110的奖券必中奖”是必然事件B．“汽车累计行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件C．射击奥运冠军射击一次，命中靶心是必然事件D．天气预报说“明天下雪的概率为80%”，但“明天下雪”仍是随机事件8．一个不透明的口袋中装着只有颜色不同的红、白两球共10个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回搅匀，如此这样共摸球100次，发现70次摸到红球，估计这个口袋中有（）个红球．A．7 B．8 C．9 D．109．如图，电路图上有3个开关A，B，C和一个小灯泡，同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，C都可以使小灯泡发光.下列操作中，使“小灯泡发光”的事件是随机事件的是（）A．不闭合开关 B．只闭合1个开关 C．只闭合2个开关 D．闭合3个开关10．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（）A．25B．13C．415D．15二.填空题11．甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，4个人看也不看就随便各拿了1本，那么至少有一人拿错的可能有种．12．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有7个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%左右，由此可以推算出a的值大约是．13．如图，一个自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为120 转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动，若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止，乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为．14．甲、乙、丙、丁四人围坐在一张方桌周围(共四个座位)，甲、乙两人坐在相对位置的概率是.16．某数学小组做抛掷一枚质地不均匀纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如表．抛掷次数50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747数“正面向上”的频0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494率则抛掷该纪念币正面朝上的概率约为．（精确到0.01）15．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是．三.解答题17．有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为______．（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率．18．阳春三月，万物复苏，全国各地迎来了开学潮．某校全体师生齐聚操场，举行今年春季开学典礼暨安全教育第一课活动，德育校长就用电、食品、交通、防火、防诈骗、防校园欺凌、一盔一戴等安全方面给全校师生进行了知识讲解，让全校师生了解校园安全知识，增强了师生们“珍爱生命，安全第一”的常识．随后，七、八年级举行了一次校园安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．（1）从获得优秀奖的这四名学生中随机抽取一名进行经验分享，恰好抽到七年级学生的概率是．（2）从获得优秀奖的这四名学生中随机抽取两名进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．19．琪琪的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给琪琪，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：琪琪和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将两人抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则琪琪去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用画树形图或列表的方法求琪琪去看比赛的概率；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．20．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：抽取件数（件）50 100 200 300 500 1000合格频数49 94 192 285 m 950合格频率0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n（1）表格中m的值为，n的值为．（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率．（3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？21．东东和乐乐都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，经过商量，他们计划用摸球的方式确定一人参加．在一个不透明的袋子里装有四个小球，分别标上1、2、3、4(这些球除数字外都相同)．游戏规则：第一次，先将袋中的小球摇匀后，东东从袋子中随机摸出一个小球，记下所摸小球上的数字，摸到偶数不放回，摸到奇数放回；第二次，再将袋子中的小球摇匀后，乐乐从袋子中随机摸出一个小球，记下所摸小球上的数字．若二人所摸到小球上的数字之和大于5，东东参加；否则，乐乐强参加．（1）“东东从袋子中随机摸出一个小球，摸到小球上的数字是6”属于事件；(填“必然”“不可能”或“随机”)（2）请用面树状图或列表的方法说明这个游戏对双方公平吗?22．为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：类别A类B类C类D类阅读时长t （小时）01t ≤< 12t ≤< 23t ≤< 3t ≥ 频数 8 m n 4请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）此次调查共抽取了_________名学生，m = _________，n = _________；（2）扇形统计图中，B 类所对应的扇形的圆心角是_________度；（3）已知在D 类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．。
《中国数学发展的若干主攻方向》简介
《中国数学发展的若干主攻方向》简介
喻纬
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1995(000)005
【摘要】《中国数学发展的若干主攻方向》,是一部通过对国家自然科学基金委员会组织实施的“七五”数学重大项目和“八五”数学重点项目等的介绍,帮助大家了解我国数学研究的现状和水平的著作。
“现代数学中若干基本问题的研究”,是国家自然
【总页数】1页(P50-50)
【作者】喻纬
【作者单位】江苏教育出版社
【正文语种】中文
【中图分类】O112-1
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中国古代数学ppt课件
4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《杜忠算术》和《许商算术》是中国有 记载可考的最早的数学著作
《算数书》是目前中国所能见到的最早 的数学专著
《周髀算经》是比《九章算术》更早的 一本具重要影响的数学专著
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4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《周髀算经》是一部介绍宇宙模型的天 文学著作，但其包含了深刻的数学内容， 如分数运算、勾股定理等
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
勾股章第6题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐。问水深、葭长 各几何？答曰，水深一丈 二尺，葭长一丈三尺。”
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4.2.2 《九章算术》
中国数学中关于开平方、开立方的方法 都是二项展开式的原则运用。因此，找 出二项展开式中的系数的规律就可以利 用它来进行对高次幂的开方。中国数学 史上，较早给出二项式展开式中的系数 规律的是北宋数学家贾宪。
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4.3.1 高次方程的数值解法
贾宪利用贾宪三角进行高次开方 x2 =(a+b)2 , 称为“增乘开方法” 秦九韶在其名著《数书九章》中将“增
乘开方法”推广到高次方程的求解，称 为“正负开方术”
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4.3.2秦九韶的数学成就
《孙子算经》中提出了“物不知其数问 题”并给出了解答，但对这类问题的研 究只是初具雏形。秦九韶把这个问题和 解法进行了推广，创立了“大衍求一 术”，得到了孙子剩余定理，从理论上 彻底解决了一次同余式组的一般解法。
高中数学选择性必修二 高考训练 练习习题 课时作业(六)
课时作业(六) 等差数列的前n 项和(二)[练基础]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a 1＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1n，则a 5的值等于( ) A ．120 B ．－120C ．130D ．－1303．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，那么它的通项公式是( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝4n －1D ．a n ＝4n ＋14．现在200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．295．为了参加学校的长跑比赛，高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3 600米，最后三天共跑了10 800米，则这15天小李同学总共跑的路程为( )A ．34 000米B ．36 000米C ．38 000米D ．40 000米6．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”．题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A ．174斤B ．184斤C ．180斤D ．181斤7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，则a 5＝________，a n ＝________．8．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元．9．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝a n (a n ＋2)，求数列{a n }的通项公式．10．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．(1)求第六排的座位数；(2)某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？(提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多)[提能力]11．无穷数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，则( )A ．{a n }可能为等差数列B ．{a n }可能为等比数列C ．{a n }中一定存在连续三项构成等差数列D ．{a n }中一定存在连续三项构成等比数列12．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为( )A ．71B ．72C ．89D ．9013．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，则a n ＝____________________．14．植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在第n (n ＝1，2，…，41)个树坑旁边，则将树苗集中放置在第________个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小．15．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2，且a n ＞0. (1)求a 1，a 2；(2)求{a n }的通项公式；(3)令b n ＝20－a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．[培优生]16．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．。
数列练习题2(含解析)
数列1．（2020·广西高三一模（文））若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．82．（2020·全国高三月考（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152B ．142C ．132D ．1223．（2020·河南高三期中（文））已知：数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若12024a =，且20202019320202019S S -=，则2021S =（ ） A ．212021⨯B ．222021⨯C ．232021⨯D ．242021⨯4．（2020·广东广州市·高三月考）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，23S =，415S =，则5a =（ ） A ．16B ．12C ．8D ．45．（2020·吉林市第二中学高三期中（文））中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（ ） A ．71B ．72C ．89D ．906．（2014·全国高三一模（文））已知函数且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．-100D ．102007．（2017·太原市小店区黄陵街道初级中学校高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =（ ）A ．12n -B ．112n -C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭8．（2017·马山县教师进修学校（马山县金伦中学）高三期末（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =， ， A ．6332B ．3116C ．12364D ．1271289．（2020·万载县第二中学高三月考）函数222,3()11,316x ax a x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，且为递增数列．则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．（2015·河北高三月考（文））已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比q是正整数，前n 项和为n T ，若211,a d b d ==，且222123123a a a b b b ++++是正整数，则298S T 等于（ ）A ．4517B ．13517C ．9017D ．27017二、解答题11．（2020·贵州安顺·高三其他模拟（文））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足123n n a S +=+，且13a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .1213344n n n T +-⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭12．（2020·山西高三期中（文））已知{}n a 是等差数列，37a =，且2618a a +=.若n b =（1）求数列{}n a 通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T .13．（2020·全国高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且237n S n n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．14．（2020·安徽高三月考（文））已知数列{}n a 满足：1a =1，11(2)n n n a a n n++=+. （1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .15．（2020·河北桃城区·衡水中学高三期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，()*13nn n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足的()312nn n n n b a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nnn n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.1．（2020·广西高三一模（文））若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【分析】因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得378a =，所以72a =，因此231174a a a ==.故选：C.2．（2020·全国高三月考（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152 B ．142 C ．132 D ．122【答案】A【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =，故61a =，即511a q =.又2121512a a a q ==，所以91512q =， 故12q =， 所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A.3．（2020·河南高三期中（文））已知：数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若12024a =，且20202019320202019S S -=，则2021S =（ ） A ．212021⨯ B ．222021⨯C ．232021⨯D ．242021⨯【答案】D【分析】因为数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，12024a =，20202019320202019S S -=， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1=20241S 为首项，3为公差的等差数列，所以20211+20203=2024+20203=4202120211S S =⨯⨯⨯， 所以2202142021S =⨯， 故选：D4．（2020·广东广州市·高三月考）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，23S =，415S =，则5a =（ ） A ．16 B ．12C ．8D ．4【答案】A【分析】设公比为q ，由23S =，415S =，则()()21411311151a q q a qq⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，所以215q +=，得2q，11a =，∴45116a a q ==.故选：A.5．（2020·吉林市第二中学高三期中（文））中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（ ） A ．71 B ．72C ．89D ．90【答案】C【分析】设这些老人的年龄形成数列{}n a ，设最年长者的年龄为1a ， 则由题可知数列{}n a 是公差为-1的等差数列，且191520S =，则()191191819+115202S a ⨯=⨯-=，解得189a =. 故选：C.6．（2014·全国高三一模（文））已知函数且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．0 B ．100 C ．-100D ．10200 【答案】B 【解析】由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－1＋101 ＝100，选B.7．（2017·太原市小店区黄陵街道初级中学校高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =（ ）A ．12n -B ．112n -C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：因为()1122n n n n S a S S ++==-，所以13=2n n S S +，则数列{}n S 是等比数列，132n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选D.8．（2017·马山县教师进修学校（马山县金伦中学）高三期末（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =， ，A ．6332B ．3116C ．12364D ．127128【答案】A 【解析】由题意得，111121,1,n n n a a a a S S -=-==- ，则21nn S =- ，即666332S a = ，故选A. 9．（2020·万载县第二中学高三月考）函数222,3()11,316x ax a x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，且为递增数列．则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】{}n a 是单调递增数列，所以0a >，数列{}n a 是单调递增数列22303321142222316a a a a a ⎧<<⎪⎪⇔⇔<<⎨⎪-⋅+<-⎪⎩. 故选：B ．10．（2015·河北高三月考（文））已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比q是正整数，前n 项和为n T ，若211,a d b d ==，且222123123a a a b b b ++++是正整数，则298S T 等于（ ）A ．4517B ．13517C ．9017D ．27017【答案】B【解析】：，数列{a n }是以d 为公差的等差数列，且a 1=d ，;又数列{b n }是公比q 的等比数列，且b 1=d 2，，;，222123123a a ab b b ++++，N *．又，q 是正整数，，1+q+q 2=7，解得q=2．，298S T ；故选B ．二、解答题11．（2020·贵州安顺·高三其他模拟（文））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足123n n a S +=+，且13a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3n n a =；（2）1213344n n n T +-⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭.【分析】（1）∵123n n a S +=+，∴2n ≥时，123n n a S -=+， ∴112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，∴()132n n a a n +=≥，又∵21239a S =+=，∴213a a =，∴{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，∴1333n n n a -=⨯=； （2）由（1）知，3n n a =，所以3nn b n =⋅，∴213233n n T n =⨯+⨯++⋅①，∴231313233n n T n +=⨯+⨯++⋅②，由①-②得：231233333n n n T n +-=++++-⋅()11313132331322n n n n T n n ++-⎛⎫-=-⨯=-⋅- ⎪-⎝⎭1213344n n n T +-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭12．（2020·山西高三期中（文））已知{}n a 是等差数列，37a =，且2618a a +=.若n b =（1）求数列{}n a 通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+；（2）12n T =. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得31261272618a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩. 因此，数列{}n a 的通项公式为1(1) 32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+；（2）由（1）得n b ==2==.因此，12nT=++⋅⋅⋅=.13．（2020·全国高三月考（文））已知数列{}n a的前n项和为n S，且237nS n n=-．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）求数列14n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n T．【答案】（1）610na n=-，*n∈N；（2）()223nnTn=-.【分析】（1）当1n=时，114a S==-；当2n≥时，()()221373171610n n na S S n n n n n-=-=---+-=-若1n=时，16104a=-=-故610na n=-，*n∈N．（2）依题意，()()()()4111161064353233532n n n n n n⎛⎫==-⎪------⎝⎭故() 111111111111321144735323232223 nnTn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭．14．（2020·安徽高三月考（文））已知数列{}n a满足：1a=1，11(2)n nna a nn++=+.（1）求证：数列1nan⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析；（2）1(1)22n n T n +=-+.【分析】（1）设1n n a b n =+，则1111n n a b n ++=++， ∴112112()1211n n n n n n n n a a n b a n n n a a b a n n n+++++++====+++ ∵1112b a =+=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 即数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列 （2）由（1）得，1222n n n b -=⨯=，即12n n a n += ∴2n n n c a n n =+=⋅.∴1231122232...(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+ ∴23412122232...(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+ 两式相减得231222 (22)n n n T n +-=++++-⋅∴1(1)22n n T n +=-+. 15．（2020·河北桃城区·衡水中学高三期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，()*13n n n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足的()312n n n n n b a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112n n n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）231n n a =-；（2）23λ-<<. 【分析】（1）由()*13n n n a a n N a +=∈+， 得13131n n n na a a a ++==+， ，11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列， 所以1113322n n a -+=⨯，即231n n a =-. （2）12n n n b -= ()0122111111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯, ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 两式相减得:012111111222222222n n n n T n n -+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-， ，1242n n n T -+=-， 因为不等式()112n n n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，所以()12142n n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立， 因为1242n t -=-单调递增， 若n 为偶数，则1242n λ-<-，对一切*n N ∈恒成立，，3λ<； 若n 为奇数，则1242n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，，2λ-<，，2λ>- 综上：23λ-<<.。
2025版高考数学一轮总复习学案 第10章 高考大题规范解答——概率统计
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
②砸蛋的人先砸1个金蛋，若砸出的是一等奖，则再砸2个金蛋；若 砸出的不是一等奖，则再砸3个金蛋，砸蛋人的得分为两次砸出金蛋的 记分之和．
(1)若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等奖，求该局甲获胜的概率； (2)若由乙砸蛋，如果乙先砸出的是二等奖，求该局乙得分ξ的分布 列和数学期望E(ξ)．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
(2)①当 x＝10 时，^y＝35.25， 所以预计能带动的消费达 35.25 百万元．(9 分) ②因为|30－35.3255.25|>10%，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是 理想的．(11 分) 发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比 如：A 城市经济发展水平不同，居民的收入水平直接影响了居民的消费 水平，A 城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄 构成等因素一定程度上影响了消费总量(只要写出一个原因即可)．(12 分)
i＝1
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
8
(yi－－y )2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，(3 分)
i＝1
代入公式可得相关系数 r＝
69 20×
252＝4 2335≈0.97.(4
分)
8
xi－－x yi－－y
i＝1
＝
8
xi－－x 2
8
yi－－y 2
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
[解析] (1)记“甲先砸出的是一等奖，甲获胜”为事件 A， 则 P(A)＝C11CC16＋27 C23＝291＝37.(2 分) (2)如果乙先砸出的是二等奖，则可以再砸 3 个金蛋，则得分情况有 6 分，7 分，8 分，9 分，10 分，11 分．(4 分) P(ξ＝6)＝CC3733＝315，P(ξ＝7)＝CC23C37 13＝395， P(ξ＝8)＝CC13C37 23＝395，P(ξ＝9)＝C13CC11＋37 C33＝345，
中国数学之三
贾宪的“增乘开方法”
贾宪的“增乘开方法”尽管已经可以用于解高 次方程，但贾宪本人却只是单纯地用它来处理 开方问题，而且在他以及以前的中国数学家的 论述中，由开方引出的方程其系数都是正数。 虽然12世纪北宋学者刘益对方程系数必须为正 的限制已经有所突破，并在他所著的《议古根 源》一书中允许方程的系数为负数，但由于该 书的亡失，其方法并没有流传下来。将“增乘 开方法”推广到高次方程一般情况的是南宋时 期的数学家秦九韶。
杨辉的著作有两个主要特点：
其一是深入浅出，文笔流畅，图文并茂，便于 教学和民间流传；
其二是广泛征引了前代数学典籍精华，以致一 些数学家的原著虽已失传，但其主要内容通过
杨辉的书得以保存。
杨辉最重要的著作是《详解九章算法》。“详
解”包括三个方面：一是“解题”，即解释题
意、名词术语，校勘文字，并对题目作出评注；
这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学 史上占有突出的地位。
数学家、数学教育家
杨
辉
宋代数学在向高深发展的同时，简算法、数学 歌诀、初等级数和纵横图等也得到了很大的发 展和普及。 南宋末期的数学家兼数学教育家杨辉是这方面 工作的杰出代表。 杨辉，字谦光，南宋末钱塘人，生平不详。 杨辉一生著述甚丰，有《详解九章算法》等五 种21卷。
秦九韶“正负开方术”
《数书九章》这部传世名著是秦九韶1244-1247 年在家守母孝期间撰写的，其主要内容是他此 前十数年间埋头钻研的数学结果。 这部著作继承了中国古代传统数学的特色，特 别是受《九章算术》的影响，采用了问题集的 形式。但其中问题的复杂程度和解题水平均高 于以往的著作，它代表了当时中国乃至世界中 世纪数学的最高成就。
简述中国数学发展史
中国数学发展史【摘要】数学发展史就是数学这门学科的发展历程。
人们的思想在不断的发生变化，数学中的很多思想也是人类不断发展的体现。
该论文就围绕中国数学的发展历程和思想进行了简单的概括和论述。
介绍了从古至今中国数学的发展历程，讲述了中国数学思想的特点及中国数学对世界的影响以及中外数学文化的交流影响，总结了从数学发展史中得到的启示。
【关键词】中国数学；数学发展史；数学思想一、中国数学的发展历程中国数学的起源与早期发展据《易·系辞》记载：“伏羲作结绳”，“上古结绳而治”，后世圣人易之以书契。
其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。
这是位值制的最早使用。
算筹是中国古代的计算工具，这种方法称为筹算。
筹算在春秋时代已很普遍。
在几何学方面《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。
在公元前2500年，我国已有圆、方、平、直的概念。
对几何工具也有深刻认识。
算术四则运算在春秋时期已经确立，乘法运算已广为流行。
“九九表”一直流行了约1600年。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。
著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题。
《庄子》中则强调抽象的数学思想。
其中几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想。
此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。
中国数学体系的形成与奠基这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。
秦汉是中国古代数学体系的形成时期。
在这一时期，数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。
现传中国历史最早的数学专著是1984年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简《算数书》。
西汉末年﹝公元前一世纪﹞编纂的《周髀算经》，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)分数、等差数列、勾股定理于测量术；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。
张云帆阅读理解
张云帆阅读理解张云帆是中国当代知名数学家，被誉为“世界数学之光”、“中国数学第一人”，他的著作以及数学成果都在学术界得到广泛的认可和赞誉，他的贡献也被视为推进中国数学事业的重要推手。
张云帆出生于1964年，是一个充满天赋的少年，在小学和初中期间就已经展现出了非凡的才华。
在他10岁那年，他就解决了一道由一位著名的教授所提出的数学难题，并成功地发表了论文，这让他成为了中国数学界的领袖和明日之星。
张云帆在求学过程中，曾先后进入了北京大学和哈佛大学攻读数学学位，并在学术界造成了很大的影响。
他在求学期间主要从事数学分析、代数学和数论等领域的研究，并在这些领域中取得了丰硕的成果。
他最著名的研究成果之一，是关于解决质数分布规律的一个数学问题的解答，这项成果被视为中国科学事业中的一个重要突破，同时也为全球数学研究提供了一种新的思路和解题思路。
在国内外学术界的认可和赞誉下，张云帆于1994年回到了中国，在担任清华大学的教授和院长的同时，继续开展他的数学研究。
此后他陆续发表了一系列的数学论文，其中包括那些基于代数学和微分几何等领域的研究成果。
同时，他也担任了多个数学学会的主席，并带领着中国数学界走上了更加顶级水平的道路。
除了在学术领域中的重大成就外，张云帆还把自己的数学成果赋予了一定的教育功能。
他在中国推动数学教育的改变，在过去的几年间，他致力于推向“数学奥林匹克”的改革，并在其位于华北地区的中小学教育机构中进行了一系列的教学和研究。
总的来说，张云帆是中国数学界中最杰出的领袖之一，他的数学成就和贡献不仅在中国，而且在世界范围内都得到了广泛的认可。
他的工作和贡献让人们看到了中国数学事业中无限的潜力和发展空间，同时也给人们带来了信仰和勇气，为中国的数学事业注入了新的活力和动力。
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304050601. 某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了 4个员工，则广告部门的员工人数为（ ）A. B. C. D. 061720242. 福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，小明利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第7列数字开始由左到右依次读取数据，则选出来的第3个红色球的编号为（ ）49 54 43 54 15 37 17 93 39 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A. B. C. D. 3. 要从4名女生和2名男生中选出3名学生组成课外学习小组，则是按分层抽样组成的课外学习小组的概率为（ ）A. B. C. D.687069714.下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A. B. C. D. 5. 攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天气预报数据，下列说法的是（ ）错误这天的单日最大温差为度的有天这天的最高气温的中位数为度这天的最高气温的众数为度这天的最高气温的平均数为度A. B. C. D. 0，3，3，11.20，3，2，560，3，2，11.20，2，3，566. 数据﹣5，3，2，﹣3，3的平均数，众数，中位数，方差分别是（ ）A. B. C. D. 7. 某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（ ）A. B. C. D.一样稳定变得比较稳定变得比较不稳定稳定性不可以判断8. 已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据（ ）A. B. C. D. 中位数众数方差频率分布9. 甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近，为了判断甲、乙两名同学成绩哪个稳定，需要知道这两个人的（ ）A. B. C. D. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差10. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A. B. C. D. 1030人97人950人970人11. 某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（ ）A. B. C. D. 12.如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为、 ， 中位数分别为m 甲 ， m 乙 ， 则（ ）＜ ， m 甲＜m 乙＜ ， m 甲＞m 乙＞ ， m 甲＞m 乙＞ ， m 甲＜m 乙A. B. C. D. 13. 在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的 ，且样本容量为160，则中间一组的频数为 。
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为了纪念我国数学史上 这位先驱者，在1982年李 善兰逝世100周年时，中 国科技史学会召开了“李 善兰与中国近代科学”的 科学讨论会。
§3、中国数学事业的复苏
1911年10月10日辛亥革命推翻了满清 王朝，结束了千年封建统治，一批批知识 分子在寻求中国富强之路，在数学领域出 现了一批追赶世界水平的青年。这批青年 以中国留学生为主体，他们摆脱了中国传 统数学的束缚，涉足世界数坛，竭尽全力 学习、引进并开始发展近代数学，使中国 数学事业在沉睡中苏醒。
温州—数学家的故乡
• 姜立夫是浙江温州地区人； • 我国著名数学家苏步青、柯召、李锐夫、 谷超豪及美籍华人数学家项武义（美国加 州伯克利分校教授）也是温州地区人； • 苏步青与李锐夫还是姜立夫的同县人。这 恐怕不是偶然的巧合，而是与姜立夫的影 响有关。——现象！
兴办数学系
• 20世纪二十、三十年代，各地大学 先后创办数学系，虽然开始规模很 小，但近代数学教育有了一个良好 开端，以大学为基础的现代数学事 业终于起步，据1934年教育年鉴 统计，当时各地大学数学系情况如 下张幻灯片列表所示：
李善兰的学术成就（3）
• 李善兰还有不少独创性的工作，其中一些是中西 数学融会贯通的结果。他的《垛积比类》是继北 宋沈括、元朝朱世杰之后，使我国在高阶等差级 数方面形成一套特有的理论从而达到高峰的著作。 • 李善兰博学多才，能诗善文，曾有几种诗文集流 传于世。 • 李善兰还是一个教育家，1863年后，一直任同文 馆总教习，负责教学事务，前后40年，直到临终。
转机
• 鸦片战争之后，数学有了新的转机。西 方数学再次闯入中国，而且开始传入变量 数学，中西数学结合之光重新放射。其中， 做过重要贡献的有戴煦、李善兰等人。
戴煦
• 戴煦（1805-1860）， 字鄂士，号鹤墅，钱 塘人。曾对数学家向 名达的《象数一原》 做了续写，著有《四 元玉鉴细草》，同时 对西方数学进行了编 辑工作。
梅文鼎家族
• 徐光启、李之藻之后，继续研究西方数学成就较 大、影响较深的是清初康熙年代的梅文鼎家族。 • 在祖国数学残弦欲断之时，梅文鼎和梅珏成、江 永、戴震、汪莱、罗士琳等安徽数学家，在江淮 大地上掀起了声势浩大的中国数学和天文学的复 兴运动。著名数学史家严敦杰先生对此评价说： “在十七—十八世纪我国数学研究，主要为安徽 学派所掌握，而梅氏祖孙为中坚部分”。日本著 名科学史家汤浅光朝对梅文鼎的数学成就也给予 高度评价，称他是“清朝前半期有代表性的数学 家”。
§2、数学发展的徘徊与转折
• 西方数学的输入，打开了中国固步自封、抱残守 缺的门户，在中国的数学原野上曾碰撞出希望的 火花不。但康熙死后（1723年）的一百多年里， 清朝的历代皇帝又继续采取闭关锁国的政策，西 方数学不能陆续传入中国。知识分子经过几次文 字狱的袭击，只能埋头古书的注释，不敢问津新 的数学。 • 挖掘一度被遗忘和埋没了的古代精湛的数学理论， 也曾取得可喜的成果。但终因思想陈旧、方法繁 杂、符号落后、信息闭塞，未得突破性进展。
梅文鼎
• 梅文鼎（1633---1721）， 字定九，号勿庵，安徽宣 城人。他毕生研究数学和 天文学，六十萎的老树 发了新芽。他的数学著作 有70多种，而他的孙子梅 珏成编辑的《梅氏丛书辑 要》60卷最为完备。所论 遍及算术、代数、几何、 三角的各个分支，并能深 入浅出，融中西数学为一 体。
梅文鼎家族—祖孙四代
• 梅文鼎一家四代，包括其弟梅文鼐、梅文 ， 子梅以燕，孙梅珏成、梅王干成，曾孙梅金分 等都通晓数学，并为发展数学而竭尽全力。 其中，梅珏成（1861---1760）不仅编辑其 祖父的《梅氏丛书辑要》，撰写《赤水遗 珍》，而且在康熙皇帝支持下，参与编辑 初等数学的百科全书—《数理精蕴》53卷， 为保存我国古代数学文化、疏解西方数学 立了大功。
校名 燕京大学 山东大学 四川大学 武汉大学 暨南大学 安徽大学 东北大学 大夏大学 金陵大学 厦门大学
系主任 陈在新 黄际遇 谢苍璃 曾王咸益 汤彦颐 郭坚白 冯祖荀 沈 璇 余光琅 张希陆
教员数 4 2 8 9 / 6 8 7 4 2
学生数 14 28 68 29 9 8 30 17 8 6
历届毕业生数 29 / 10 4 / / 13 17 / 9
中国近代科技史上著名的人物—— “三胡”
• 胡明复，我国第一个得到博士学位的数学 家。学成回国，协同其兄胡敦复创办上海 大同大学，主持数学系。 • 其兄胡敦复（1886-1979）也是当时中国著 名数学家，是1935年成立的中国数学会的 发起人。 • 其弟胡刚复（1892-1966）是当时著名的物 理学家。他们兄弟三人，后人称为“三 胡”，他们是中国近代科技史上著名的人 物。
代表人物
• 前期有胡明复、姜立夫等； • 后期有熊庆来、陈建功、苏 步青、陈省身、许宝马录、华 罗庚等。
胡明复（1891.5---1927.6.12）
• 生于江苏泗阳县。1910年官费留美。 先在康奈尔大学学习哲学，获文学 士；后在哈佛大学专攻数学，于 1917年获博士学位（我国第一个得 到博士学位的数学家）。他的博士 论文《平直微积分方程论》是研究 线性微分方程与积分方程的，在当 时是相当先进的学科方向。同年， 胡明复学成回国，协同其兄胡敦复 创办上海大同大学，主持数学系。 不幸于1927年6月溺水而亡。
姜立夫（1890-1970）
• 原名姜蒋佐，浙江平阳人。 早年留学美国康奈尔大学， 1916年首次向我国介绍 了射影几何学，引入了无 穷远点、无穷远直线等概 念。1918年在哈佛大学 获博士学位。1920年就 教于南开大学，是南开的 奠基人之一。
姜立夫（续）
• 数学系被称为“一人系” • 讲课声音洪亮，字句清楚，要言不繁，不写讲稿， 往往只带一页写有提纲的日历，但讲起来却层次 分明，论证严谨，说理透彻。 • 为我国培养了一批国人熟知的数学人才，如刘晋 年、江泽涵、申又枨、陈省身、吴大任等，。其 中，江泽涵是我国拓扑学的奠基人，吴大任是我 国著名的微分几何专家，而陈省身则是现代微分 几何的巨匠，在世界上享有盛誉的数学大家。
李善兰
• 李善兰（1811—1882） 是19世纪我国清代著名的 科学家、数学家。9岁读 《九章算术》 ，15岁读 《几何原本》，终生潜心 于科学和数学研究，学术 深湛，著译丰富，仰承汉 唐，荟萃中外，实为我国 数学史上杰出的人物。
李善兰的学术成就（1）
• 李善兰精通中国古算，编著13卷24种《则 古昔斋算学》。其中《垛积比类》发展了 贾宪、杨辉三角形理论，得到了一批组合 论公式。他得出的母函数及欧拉数等为中 国之首创。他讨论了级数 求和问题，得 到了闻名中外的“李善兰恒等式”。 • 李善兰继徐光启之后，与英国传教士伟烈 亚力共同翻译欧氏《几何原本》后9卷，前 后费时4年
清代故宫数学文物（1）
清代故宫数学文物（2）
清代故宫数学文物（3）
永恒的纪念
• 为了表彰梅文鼎对数学发展所作的贡献， 中国数学会、中国科学史学会于1988年11 月1日—6日在中国安徽合肥、宣州召开了 《纪念梅文鼎诞生355周年国际学术讨论会 暨第三次全国数学史年会》；会议学术委 员会主席吴文俊院士，会议组织委员会主 席安徽省副省长杜以谨。 • 宣城梅文鼎纪念馆
李善兰的学术成就（2）
• 李善兰又与英人艾约瑟合译《重学》12卷及《圆锥曲线论》 3卷，其中《重学》是中国近代科学史上第一部专译。他 还翻译了两本我国第一次出版的《代数》13卷和《代微积 拾级》18卷，这是第一次把西方的初等代数、解析几何、 初等微积分介绍到我国，影响深远。 • 他还翻译了牛顿名著《自然哲学的数学原理》，当时译名 为“奈瑞原理”（奈瑞是牛顿的旧译名）。在此过程中， 李善兰创造了很多合适的专用名词，多数沿用至今，如微 分、积分、函数、法线、渐进线等等。他还引进了西方一 些合适的符号，如“∵”、“∴”、“∞”等等。但也采 用了一些不妥的做法。
§1、西方数学的输入
• 西方数学的输入与传教士来华有关。 • 中国古代数学发展至宋元达到顶峰，但自 元朱世杰之后却出现了残弦欲断的现象， “中算沉寂”就使得西方数学有可能传入 中国。
“西学东渐”和徐光启、李之藻、梅 氏家族
• “西学东渐”引起了中西两大文化在历史上的首度直接交 汇。 • 传教士入华的动机和目的无疑是其肩负的宗教使命，然而 中国社会人文环境的特殊性，迫使他们走上了“学术传教” 的道路。 • 徐光启（1562—1633）、李之藻等人为代表，他们对引 进和吸纳西学尤其是西方科技表现出巨大的兴趣，而徐光 启发出的“欲求超胜，必先会通”的呼声，凸现了其作为 早期启蒙学者的远见卓识，恰是明清之际面临西方文化挑 战的中国知识界所能唱出的时代最强音。 • 梅氏家族也为引进西方数学，融中西数学为一体，起过重 要作用。
第十四章
中国数学事业 的复苏
序
• 在14—16世纪的近三百年中，欧洲经过 “文艺复兴”，正处于初等数学的发展和 完善阶段，而我国的初等数学研究在此期 间却每况愈下，失去了数学发展的领先地 位。当16、17世纪西欧超越初等数学时期， 向变量数学发展的时候，我们对西方的数 学还全然不知。在这时期，西方数学逐步 输入我国，经过长时间的徘徊，直到1911 年10月10日辛亥革命之后，我国的数学事 业才开始复苏。
同治四年夏月刻本《几何原本十五卷》 中《几何原本杂议》
李之藻
• 李之藻（1565---1630），字振之，又字我 存，仁和（今杭州）人。是徐光启的朋友。 他早年随利玛窦学习西洋历法，共同编译 了《圆容较义》。他与徐光启一起编著 《崇祯历书》137卷，其中数学理论和计算 工具也大都是西方的。他自己还编有《天 学初函》20种，详细地介绍了西方数学。 • 传入的数学仅限于初等数学。
校名 浙江大学
大同大学
南开大学
系主任 教员数 学生数 历届毕业生数 苏步青 52 14（文 / 理学院 总数） 100 吴在渊 3 53（理学院总 （理学 数） 院总数） 12 / 姜立夫 23 （理学 院总数）